高三数学第一学期期末复习练习卷(1)

高三数学第一学期期末复习练习卷〔1〕
班级 姓名 座号
一、选择题〔共10小题,每题5分〕
1.复数12z i =+,21z i =-,那么在12z z z =⋅复平面上对应的点位于〔 〕 (A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
2.有3张奖券,其中2张可中奖,现3个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,那么他抽到中奖券的概率是〔 〕 (A)
13
(B)
16
(C)
23
(D)
12
3.命题tan 1p x R x ∃∈=：
，使,命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<,以下结论： ①命题“p q ∧〞是真命题； ②命题“p q ∧⌝〞是假命题； ③命题“p q ⌝∨〞是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝〞是假命题 其中正确的选项是〔 〕 (A)②③ (B)①②④
(C)①③④
(D)①②③④
4.2tan =θ,那么
=-----+)
sin()2sin(
)
cos()2
sin(
θπθπ
θπθπ〔 〕
(A)2
(B)－2
(C)0
(D)
3
2
5.01
lg =-
x
x 有解的区域是〔 〕 (A)(0,1]
(B)(1,10]
(C)(10,100]
(D)(100,)+∞
6.向量(12)a =，
,(4)b x =，,假设向量a b ∥,那么x =〔 〕 (A)2
1-
(B)
2
1
(C)2-
(D)2
7.两点(2,0),(0,2)A B -,点C 是圆022
2
=-+x y x 上任意一点,那么ABC ∆面积的最小值是〔
〕
(A)23-
(B)23+
(C)2
23-
(D)
2
2
3- 8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别求得
那么哪位同学的试验结果表达A 、B 两变量更强的线性相关性？〔 〕 ()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 (D) 丁
9.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为〔 〕 (A)1 (B)
12 (C)13
(D)16
10.抛物线x y 82
=,过点(2,0)A )作倾斜角为
3
π
的直线l ,假设l 与抛物线交于B 、C 两点,弦BC 的中垂线交x 轴于点P ,那么线段AP 的长为〔 〕
(A)
163
(B)
83
(D)二、填空题〔共4小题,每题5分〕
11.圆C 的方程是θρsin 2a =,它关于极轴对称的圆的方程为 ；它关于直线4
3π
θ=对称的圆的方程为 . θραρcos 2,sin 2a a -=-=
12.在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下,目标函数2S x y =+的最大值为______2______.
13.在ABC ∆中,假设,,AB AC AC b BC a ⊥==,那么ABC ∆
的外接圆半径2
r =,将此
结论拓展到空间,可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中,假设SA SB SC 、、两两垂直,
,,SA a SB b SC c ===,那么四面体S ABC -的外接球半径
R =
． 14.在如下程序框图中,输入0()cos f x x =,那么输出的是_ sin x _________.
左视图
主视图
三、解做题
15、3)2
(cos 32)2cos()2sin(2)(2-+++⋅+
=θ
θθ
x x x x f . 〔1〕化简)(x f 的解析式；
〔2〕假设0πθ≤≤,求θ使函数)(x f 为偶函数.
〔3〕在〔2〕成立的条件下,求满足)(x f =1,∈x [ππ,-]的x 的集合. 解：〔1〕32
)
2cos(132)2sin()(-++⋅
++=θθx x x f
=)3
2sin(2)]2cos(23)2sin(21[2)2cos(3)2sin(π
θθθθθ++=+++=++
+x x x x x
(2)πθ≤≤0 ∴当6
π
θ=
时,)2
2sin(2)(π
+
=x x f =x 2cos 2此时,)(x f 为偶函数.
(3)由(2)可知)(x f =x 2cos 2当)(x f =1,即x 2cos 2=1得2
1
2cos =x , 那么 )(3
223
22Z k k x k x ∈-
=+=π
ππ
π或
)(6
6
Z k k x k x ∈-=+
=π
ππ
π或
∵],[ππ-∈x ∴
6
656,65ππππ==-=-
=x x x x 或或或 ∴x 的集合为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
==--
=65,6,6,65ππππx x x 16、如图,三棱锥P-ABC 中,∠ACB=90 ,PA 面ABC,AD
〔1〕证实：PB ⊥平面ADE ；
〔2〕假设PA=AB=2,求三棱锥P-ADE 体积的最大值. 〔1〕证实：∵A C ⊥BC,PA ⊥BC ∴BC ⊥面PAC ∴BC ⊥AD 又∵AD ⊥PC ∴AD ⊥面PCB
∴AD ⊥PB 又∵AE ⊥PB ∴PB ⊥面ADE .
〔2〕解：∵PA=AB=2,AE ⊥PB,PA ⊥面ABC
∴PE =AE=2 ∴V P-ADE =3
1
S ⊿ADE ·PE
=
31⨯2
1
AD ·DE ·2=62·AD ·DE ≤122〔AD 2·DE 2〕=122AE 2=
62
∴V P-ADE 的最大值为
62 此时AD=DE=2
2AE=1 ,AC=332<2
17、)(x f =n
n x a x a x a x a +⋯⋯+++33221,且1a ,2a ,3a ,……,n a 组成等差数列,又
2)1(n f =,n f =-)1(.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕试比拟)2
1
(f 与3的大小,并说明理由.
解：〔1〕∵2
21)1(n a a a f n =+⋯++= ∴
212
)
(n a a n n =+,即n a a n 21=+ ∴n d n a 2)1(21=-+……① 又∵n a a a a a a f n n =+-⋯-+-+-=--14321)1(
∴
n d n
=2
,即2=d 代入①式得11=a ∴12)1(1-=-+=n d n a a n 〔2〕∵n n f 21
)12(21521321)21(32⨯-+⋯+⨯+⨯+=
∴1221
)12(2152131)21(2-⨯-+⋯+⨯+⨯+=n n f 两式相减得
n n n f 21)12()212121(21)21(12--+⋯+++=-=32
1
)12(21212<---+-n n n 18、椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q,O 是原点,假设OP 、OQ 斜率之积为4
1
-, 〔1〕求证：2
2
OQ OP +为定值； 〔2〕求PQ 的中点M 的轨迹方程. 〔1〕证实：设P 、Q 的两点坐标分别为P 〔11,y x 〕、Q 〔22,y x 〕
∵⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧-=⋅=+=+411416
14162
21122222121x y x y y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=212
1222221214164 164x x y y x y x y 由①⨯②得)(1616162221221x x y y +-=+2121x x … ④ 由③代入④得162
22
1=+x x 由①+②得4)(4
182
1212
221=+-
=+x x y y ∴202
22
22
12
12
2
=+++=+y x y x OQ OP 〔定值〕
〔2〕设P 、Q 的中点为M 〔y x ,〕,那么有y y y x x x 2,22121=+=+ 由①+②+③⨯2 得)2(32)2(4212
22
1212
22
1x x x x y y y y ++-=++
2
212
21)(32)(4x x y y +-=+ ∴321642
2
=+y x 即12
82
2=+y x
故PQ 的中点M 的轨迹方程为12
82
2=+y x 19、为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图,要求0
60=∠ACB ,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米. 为了广告牌稳固,要求AC 的长度越短越好,求AC 最短为多少米？且当AC 最短时,BC 长度为多少米？
解：如图,设BC 的长度为x 米,AC 的长度为y 米,那么AB 的长度 为〔y －0.5〕米. 在△ABC 中,依余弦定理得：
ACB BC AC BC AC AB ∠•-+=cos 2222 即2
1
2)5.0(222⨯
-+=-yx x y y 化简,得41)1(2-=-x x y ∵1>x ,∴01>-x 因此1
41
2--
=x x y 方法一：232)
1(43)1(141
2+≥+-+-=--
=x x x x y .
当且仅当)1(431-=
-x x 时,取“=〞号,即2
31+=x 时,y 有最小值32+.
方法二：2
222/)1(412)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x 解⎪⎩
⎪⎨⎧=+->041212x x x ,得231+=x ∵当2311+<<x 时,0/<x y ；当231+>x 时,0/
>x y
.∴当2
3
1+
=x 时,y 有最小值32+. 20、1
2
)(log 2+-+=
x a ax x f 〔0,>∈x k a 〕
〔1〕求函数)(x f y =的解析式,当)(x f y =是奇函数时,确定常数a 的值；
〔2〕当)(x f y =是奇函数时,其单调性如何？试用单调性的定义对称的结论加以证实. 〔3〕设)(1
)(*∈+=
N n n n n g ,当)(x f y =是奇函数时,猜测)(n f 和)(n g 的大小.〔理科用数学
归纳法加以证实〕
解：〔1〕设),0(log 2R t x x
t ∈>= 那么1
22
2)(+-+⋅=t
t a a t f ∴)(x f y =的解析式为1
22
2)(+-+⋅=x x a a x f 〔R x ∈〕
C A B
∵1222)(+-+⋅=x
x a a x f =12
+-x a a 1222)(+⨯-=-x x a x f ∴)1(21
2)
12(22)()(-=++-
=--a a x f x f x x ∴当)(x f 为奇函数时,1=a ,且)(x f =1
22
1+-
x 〔2〕设21x x < ∵122122)()(2
121+-+=-x x x f x f =)
12)(12()
22(221
21++-x x x x 由21x x <⇒02222
2121
<-⇒<x x x x 且012,01221>+>+x x
0)()(21<-x f x f ,即)()(21x f x f < 故)(x f y =是奇函数时,它在R 上是增函数.
〔3〕∵)
12)(1(1221)1221()()(++--=+-+-=-n
n n n n n n n g n f ∴设)(n ϕ=)12(2+-n n
当1=n 时,0)1(<ϕ,故)1()1(g f < 当2=n 时,0)2(<ϕ故)2()2(g f < 当3=n 时,0)3(>ϕ故)3()3(g f >
猜测：当3≥n 时,)()(n g n f > 以下用数学归纳法证实, ①当3=n 时,猜测成立.
②假设k n =时,)()(n g k f > )3(≥k 成立,那么当1+=k n 时
)32(22)32(2)1(1+-⨯=+-=++k k k k k ϕ
∵0)12(2)(>+-=k k k
ϕ ∴0)12(222>+-⨯k k
,即2422+>⨯k k
因此,欲证3222+>⨯k k
只需证3224+>+k k 即可 ∵0123224>-=--+k k k ∴3224+>+k k 从而0]1)1(2[2
1
>++-+k k 成立.这就是说当1+=k n 时)1()1(+>+k g k f 成立.
综合①②可知,当3≥n 时,当N n n ∈≥,3时,)()(n g n f >
于是当1=n 或2=n 时,)()(n g n f <；当N n n ∈≥,3时,)()(n g n f >。