奉新县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

奉新县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x y e -=
B.3
y x = C.ln y x = D.y x = 2． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于
x=对称”是“θ=
﹣
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 4． 已知f （x ）
=，则f （2016）等于（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
5． 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧
a x －1，x ≤1
log a
1
x ＋1
，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14
B ．－12
C ．－34
D ．－54
6．
双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（ ）
A ．12
B ．20
C
．
D
．
7． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
8． 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
9． 若椭圆+
=1的离心率e=
，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．
或
C ．
D ．3或
10．如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
11．若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()2y f x x =+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题
13．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2
2
2
4S a b c +=+， 则sin cos()4
C B π
-+
取最大值时C = ．
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 15．设()x
x
f x e =
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
16．已知函数21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x
g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
17．抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：
交于A ，B 两点，C 1与C 2的
两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则= ．
18．已知x 、y 之间的一组数据如下：
x 0 1 2
3 y 8 2 6
4
则线性回归方程
所表示的直线必经过点 ．
三、解答题
19．设函数
．
（1）若x=1是f （x ）的极大值点，求a 的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2
有唯一零点，求正数λ的值．
20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；
（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．
21．已知矩阵A ＝，向量＝
.求向量
，使得A 2＝.
22．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取7080100位，得到数据如表：
70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
2.072 2.706
3.841 5.024
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
23．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

24．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图
1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
（1）求该几何体的体积V；111]
（2）求该几何体的表面积S．
奉新县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，x y e =为增函数，y x =-为减函数，故x y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
2． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立， 反之成立，
即“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
3． 【答案】B 【
解
析
】
4． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=
，
∴f （2016）=f （2011）=f （2006）=…=f （1）=f （﹣4）=log 24=2，
故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
5． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2. 若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．
∴b ＞1，即有log 21b ＋1＝－3，∴1b ＋1＝1
8
，∴b ＝7.
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－3
4，故选C.
6． 【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得
=4，解得m=12．
故选：A ．
7． 【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，
设A 处观测小船D 的俯角为30°，连接BC 、BD Rt △ABC 中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt △ABD 中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30
米
在△BCD 中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
8． 【答案】C
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1=2AB=2AD=2，
A1（1，0，2），C1（0，1，2），=（﹣1，1，0），
B（1，1，0），G（0，1，1），=（﹣1，0，1），
设直线A1C1与BG所成角为θ，
cosθ===，
∴θ=60°．
故选：C．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．
9．【答案】D
【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x 轴和y 轴进行分类讨论．
10．【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x 是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B 11．【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
12．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA ， ∴sinCcosA ﹣sinAcosC=0，即sin （C ﹣A ）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
二、填空题
13．【答案】4
π 【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R
++. 14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 15．【答案】
3
5
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 16．【答案】2，[1,)-+∞.
【解析】
17．【答案】．
【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据，得x C=，∴b=2a；
由AB过C2的焦点，得A（c，），即A（c，4a），
∵A（c，4a）在C1上，
∴16a2=2pc，
又c=a，
∴a=，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．【答案】（，5）．
【解析】解：∵，=5
∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，5）
故选C
【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．
三、解答题
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．
∴．…
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，
即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，
则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…
【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x ，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．
21．【答案】＝
【解析】A 2＝.
设
＝
.由A 2＝，得
，从而
解得x ＝-1，y ＝2，所以＝
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X ～B （3，），
P （X=0）==
，
P （X=1）==，
P （X=2）==，
P （X=3）==，
0 1 3
∴E （X ）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K 2=
=
≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
【解析】（1）为
，故点
在函数
的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线
斜率一定存在。

故有直线
的直线方程为
，令
，可求得
所以
下面用数学归纳法证明 当时，，满足
假设
时，
成立，则当
时，
【解析】
（2）由三视图可知，
该平行六面体中1A D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面11BCC B ， ∴12AA =，侧面11ABB A ，11CDD
C 均为矩形，
2(11112)6S =⨯++⨯=+ 1
考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．。