2017年高中数学专题突破练10三角函数的图象与性质新人教A版必修320170727419

专题10三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)．
2．三角函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．
例1(1)作出函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象．
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其单调区间．
1
变式训练1(1)用“五点法”画函数y＝cos x，x∈[0，4π]的简图时，正确的五个点是() A．(0，0)，(π，1)，(2π，0)，(3π，－1)，(4π，0)
π 3
B．(0，0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0)
2 2
C．(0，1)，(π，－1)，(2π，1)，(3π，－1)，(4π，1)
π 3
D．(0，1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)
2 2
xπ
(2)函数y＝tan( －)在一个周期内的图象是()
2 3
例2求下列函数的单调区间：
1 π2xπ
(1)y＝sin( －)；(2)y＝－|sin(x＋)|.
2 4
3 4
2
π
变式训练2求函数y＝sin (3)的单调区间．
－2x＋
x x x
例3已知函数f(x)＝2sin ·cos＋3cos .
4 4 2
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
π
(2)令g(x)＝f(x＋)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
3
变式训练3若f(x)sin x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是()
A．sin x B．cos x
C．sin 2x D．cos 2x
3
A级
ππ
(4)(ω>0)的最小正周期为π，则f(等于() 1．已知函数f(x)＝sin
ωx＋8 )
1 1
A．1 B. C．－1 D．－
2 2
π3π
2．函数y＝－sin x，x∈[ 2 ]的简图是()
－，
2
1 π
3．函数y＝tan( x－)的图象是中心对称图形，它的一个对称中心是()
2 3
2 5π
A．(－π，0) B．( ，0)
3 3
ππ
C．( ，0) D．(－，0)
3 6
π
(－x)的最大值为()
4．函数f(x)＝cos 2x＋6cos
2
A．4 B．5 C．6 D．7
5．函数y＝2sin x的最小正周期是________．
6．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是____________________．
π
(的最大值为________，此时x＝________．
7．函数y＝3－2cos
x＋4)
B级
π
8．函数y＝tan(2x－)的单调增区间是()
4
kππkπ3π
A．( －，＋)，k∈Z
2 8 2 8
kππkπ5π
B．( ＋，＋)，k∈Z
2 8 2 8
4
πkπ3π
C．(kπ－，－)，k∈Z
8 2 8
π5π
D．(kπ＋，kπ＋)，k∈Z
8 8
9．函数y＝sin x2的图象是()
10．函数y＝cos 2x＋sin2x，x∈R的值域是()
1
A．[0，1] B．[ ，1] C．[－1，2] D．[0，2]
2
π
11．函数y＝cos（2x－）的定义域是________．
3
12．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．
13．求函数y＝cos2x－sin x的值域．
1 π28π
(，x∈，若该函数是单调函数，求实数a的最大值．14．设函数y＝－2cos
x＋3)[，a]
2 5
5
专题10三角函数的图象与性质典型例题
例1(1)解列表：
x 0 π
2
Π
3π
2
π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
π3π
在直角坐标系中描出以下五点(0，1)，( ，0)，(π，1)，( ，2)，(2π，1)如图连线．
2 2
(2)解由于y＝|tan x|＝
ππ
{tan x，x ∈[kπ，kπ＋，kπ），)
]，－tan x，x ∈（kπ－(k∈Z)
2 2
ππ
所以其图象如图所示，单调增区间为[kπ，kπ＋)(k∈Z)；单调减区间为(kπ－，
2 2
kπ](k∈Z)．
变式训练1(1)C[“五点法”是在所给定区间内找五个关键点，一般在正、余弦函数图象中
找时，需五个点距离相等，所以需x1＝0，x2＝π，x3＝2π，x4＝3π，x5＝4π.]
x ππx ππ(2)A[由函数y＝tan( －)的解析式可得它的周期为2π，再由kπ－< －<kπ＋，
2 3 2 2 3 2
π5π
k∈Z，求得函数的定义域为{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z}．]
3 3
1 π2x 1 2x π
例2解(1)y＝sin( －)＝－sin( －)．
2 4
3 2 3 4
π2x ππ
故由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)．
2 3 4 2
3π9π
⇒3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)，为单调减区间；
8 8
π2x π3π
由2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)．
2 3 4 2
6
9π 21π
⇒3k π＋ ≤x ≤3k π＋ (k ∈Z )，为单调增区间．
8 8
3π 9π 9π 21π ∴递减区间为[3k π－ ，3k π＋ ](k ∈Z )，递增区间为[3k π＋ ，3k π＋ ](k ∈Z )． 8 8 8 8
π π 3π π (2)由 y ＝－|sin(x ＋ )|的图象可知其增区间为[k π＋ ，k π＋ ]，减区间为[k π－ ，k π 4 4 4 4
π
＋ ](k ∈Z )． 4
π 变式
训练 2 解
y ＝－sin (
2x － ，
3)
π
它的增区间是 y ＝sin
(2x － 3)的减区间，
π
它的减区间是 y ＝sin
(2x － 3)的增区间．
π π π
由 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z ， 2 3 2 π 5π
得 k π－ ≤x ≤k π＋ ，k ∈Z . 12 12 π π 3π
由 2k π＋ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z ， 2 3 2 5π 11π 得 k π＋ ≤x ≤k π＋ ，k ∈Z . 12 12
π 5π
故所给函数的减区间为
[
，k π＋ ，k ∈Z ； k π－ 12
]
12 5π
11π
增区间为
[
12 ]
，k ∈Z .
k π＋ ，k π＋
12
x x x π 例 3 解 (1)∵f (x )＝sin ＋ 3cos ＝2sin( ＋ )， 2 2 2 3 ∴f (x )的最小正周期 T ＝4π.
x π x π
当 sin( ＋ )＝－1时，f (x )取得最小值－2；当 sin( ＋ )＝1时，f (x )取得最大值 2. 2 3 2 3 (2)g (x )是偶函数．理由如下：
x π π 由(1)知 f (x )＝2sin( ＋ )，又 g (x )＝f (x ＋ )， 2 3 3 1 π π x π x ∴g (x )＝2sin[ (x ＋ )＋ ]＝2sin( ＋ )＝2cos . 2 3 3 2 2 2
x x
∵g(－x)＝2cos(－)＝2cos ＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．
2 2
变式训练3B[因y＝sin x是一奇函数，若f(x)sin x还是奇函数，那f(x)不会是奇函数了，
7
1 2π所以排除A、C；当f(x)＝cos x时，f(x)·sin x＝cos x·sin x＝sin 2x为奇函数，且T＝
2 2 ＝π.]
强化提高
π2ππ1．A[因为函数f(x)＝sin
(ωx＋(ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝π＝2，则f(8 )
4)
πππ
＝sin (4)＝sin ＝1，所以选A.] 2 ×＋
8 2
2．D
kπ
3．B[∵y＝tan x的对称中心为( ，0)，k∈Z，
2
1 πkπ2π5π
∴由x－＝，k∈Z，得：x＝kπ＋，k∈Z.当k＝1时，x＝.]
2 3 2 3 3
π3211
4．B[由f(x)＝cos 2x＋6cos
(－x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－2(sin x－2)＋，所以当sin
2 2
x＝1时函数的最大值为5，故选B.]
5．2π
2π 解析
函数y＝2sin x的最小正周期是＝2π.
ω
6．cos 1>cos 2>cos 3
解析∵余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，又0<1<2<3<π，∴cos1>cos 2>cos 3.
3π
7．5＋2kπ(k∈Z)
4
π
解析函数y＝3－2cos
(的最大值为3＋2＝5，
x＋4)
π3π
此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
4 4
πππkππkπ3π
8．A[令kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，解得－<x< ＋(k∈Z)．]
2 4 2 2 8 2 8
ππ9．D[∵y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.又当x2＝，即x＝±时，
2 2
y max＝1，排除B，故选D.]
1－cos 2x
10．A[y＝cos 2x＋sin2x＝cos 2x＋
2
1＋cos 2x
＝.
2
∵cos2x∈[－1，1]，∴y∈[0，1]．]
π5π
11．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
12 12
8
π 解析
要使原函数有意义，则 cos(2x － )≥0，
3 π π π
所以 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z . 2 3 2 π 5π
解得：k π－ ≤x ≤k π＋ ，k ∈Z . 12 12 π 5π
所以，原函数的定义域为[k π－ ，k π＋ ](k ∈Z )． 12 12 12．sin 3<sin 1<sin 2
π
解析 ∵1< <2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
2
π π
y ＝sin x 在
(
2)
上递增，且 0<π－3<1<π－2< ， 0，
2
∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即 sin 3<sin 1<sin 2. 13．解 cos 2x ＝1－sin 2x
1 5 y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1＝－(sin x ＋ )2＋ .
2 4
1 5
∵sin x ∈[－1，1]，∴当 sin x ＝－ 时，y max ＝ ；
2 4 当 sin x ＝1时，y min ＝－1.
1 π
14．解 由 2k π≤ x ＋ ≤2k π＋π(k ∈Z )得 2 3 2 4
4k π－ π≤x ≤4k π＋ π(k ∈Z )． 3 3
2 4
∴函数的单调递增区间是
[
π，4k π＋ (k ∈Z )， 4k π－
π]
3
3
4
10
同理，函数的单调递减区间是
[4k π＋ π，4k π＋ π](k ∈Z )．
3
3 28 2
4 16 47 令
π∈ 4k π－ π，4k π＋ ，即 ≤k ≤ ，
5
[
π]
3
3
15
30
又 k ∈Z ，∴k 不存在． 28 4
10
令 π∈ 4k π＋ π，4k π＋ ，得 k ＝1. 5 [
π]
3 3 28
4
10
1 π 28π 22π
∴ 5π∈[
4k π＋ π，4k π＋
，这表明 y ＝－2cos
在
上是减函数，
π](，
x＋3)[ 3 ]
3 3 2 5
22π
∴a的最大值是.
3
9。