课标版高考文科数学二轮复习 四、转化与化归思想

因为h'(x)= 1 -1≤0,
x
所以函数h(x)在[1,+∞)内为减函数. 又x∈[1,m],所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m,t值恒存在,只需1+ln m-m≥
-1.
因为h(3)=ln
3-2=ln 1e
3 e

>ln 1e =-1,h(4)=ln
4-3=ln 1e
的取值范围是
.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
则当x=1时, f(p)=0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4时恒为正等价于

f f
(0) (4)

0, 0,
即
(x

x
2

3)(x 1 0,
1)

0,
解得x>3或x<-1.
a
;设g(y)=y2ey,则g'(y)=eyy(y+2),则
g(y)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,且g(-1)= 1 <g(1)=e.因
e
为对任意的x∈ 1e ,1,点存在唯一的y∈[-1,1],使得f(x)=g(y)成立,
所以 a
1 e
,
a
⊆ 1e ,
例4 已知在三棱锥P-ABC中,PA=BC=2 34 ,PB=AC=10,PC=AB= 2 41,则三棱锥P-ABC的体积为 ( ) A.40 B.80 C.160 D.240 答案 C
解析 因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等,故可将此三棱锥 放在一个特定的长方体中(如图所示),把三棱锥P-ABC补成一个 长方体AEBG-FPDC,
3.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一
个值c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围是
.
答案 解析
3,
3 2

如果在[-1,1]内没有值满足f(x)>0,则

f f
(1) (1)
0
0,
⇒


则

f f
(2) 0, (2) 0,
即
(log
2
(log2
x)2 x)2
4log2 1 0,
x

3

0,
解得log2x<-1或log2x>3,
即0<x< 1 或x>8,
2
故x的取值范围是 0, 12

∪(8,+∞).
应用四 形、体位置关系的相互转化
C. 2e ,


B. 2e ,e
D. 2e ,
e

1 e

答案 B
解析
设f(x)=ln
x-x+1+a,当x∈ 1e ,1
时,
f
'(x)= 1 x
x
≥0,
f(x)是增函
数,所以x∈ 1e ,1
时,
f(x)∈ a
1 e
,
P-AEB
8×10-4× 1 × 1 ×6×8×10=160.
32
【方法指导】 形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一 种特殊转化方法.主要适用于涉及平行、垂直的证明,如线面平 行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定 理、性质定理实现位置关系的转化.
6.如图,在棱长为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一 条线段,且EF=2,点Q是A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则四面 体PQEF的体积 ( )
证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1. 因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C, 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 所以AB1⊥A1B. 因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以AB1⊥BC. 又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC, 所以AB1⊥平面A1BC,
易知三棱锥P-ABC的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得
x2 y2 100, x 6,

x
2

z2
136,
⇒

y

8,

y2

z2
164
z 10.
从而知V =V -V -V -V -V =V -4V =6× P-ABC AEBG-FPDC P-AEB C-ABG B-PDC A-FPC AEBG-FPDC
【方法指导】 (1)本题是把关于x的函数转化为[-1,1]内关于a的 一次函数的问题. (2)在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参 数),将其看成“主元”,而把其他变元看成常量,从而达到减少变 元简化运算的目的.
4.对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x
2.由命题“存在x0∈R,使 e|x01|-m≤0”是假命题,得m的取值范围是 (-∞,a),则实数a的取值是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.1 D.2 答案 C 由命题“存在x0∈R,使 e|x01| -m≤0”是假命题,可知它 的否定形式“任意x∈R,使e|x-1|-m>0”是真命题,可得m的取值范 围是(-∞,1),而(-∞,a)与(-∞,1)为同一区间,故a=1.
四、转化与化归思想
总纲目录
应用一 一般与特殊的相互转化 应用二 正与反的相互转化 应用三 常量与变量的相互转化 应用四 形、体位置关系的相互转化 应用五 函数、方程、不等式间的相互转化
应用一 一般与特殊的相互转化
例1 已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在[-1,1]上的最小值为-3,则实数a的 取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.[12,+∞)
p p

1 满足条件的p的取值范围为
2
3,
3 2

.
应用三 常量与变量的相互转化
例3 已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f '(x)-ax-5,其中f '(x)是f(x)的导 函数.对任意a∈[-1,1],都有g(x)<0,则实数x的取值范围为
.
答案 23 ,1
解析 由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,
令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.
由题意得
φ(1) φ(1)
0, 0,
即
3x2 3x2

x x

2 8

0,解得- 2 <x<1.
0,
3
故x的取值范围为 23 ,1 .
2

x2-2x在区间(t,3)上
总不为单调函数,则实数m的取值范围是
.
答案



37 3
,
5

解析 由题意得g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调
函数,则①g'(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g'(x)≤0在(t,3)上恒成立.
由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥ 2 -3x在x∈(t,3)上恒成立,∴m+4
C.[-1,12]
D. 32 ,12
答案 D 解析 当a=0时,函数f(x)=-3x,x∈[-1,1],显然满足条件,故排除A、
B;
(注意,对于特殊值的选取,越简单越好,0,1往往是首选.)
当a=- 3 时,函数f(x)= 3 x3- 9 x,
2
22
f '(x)= 9 x2- 9 = 9 (x2-1),
1,3).
9.已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈ [1,m],m∈Z,且m>1,都有f(x+t)≤3ex,求m的最大值. 解析 因为当t∈[-1,+∞),且x∈[1,m]时,x+t≥0, 所以f(x+t)≤3ex⇔ex+t≤ex⇔t≤1+ln x-x. 所以原命题等价转化为存在实数t∈[-1,+∞),使得不等式t≤1+ln x-x对任意x∈[1,m]恒成立. 令h(x)=1+ln x-x(x≥1).
1.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,那么( )
A.a1a8>a4a5
B.a1a8<a4a5
C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5
答案 B 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1×8<4×5成立.
应用二 正与反的相互转化
例2
若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+ m2
x
取值范围为
.
答案 (-1,3)
解析 设f(x)=x+ 4 (x>0),则f(x)=x+ 4 ≥2 x 4 =4(当且仅当x=2时,
x
x
x
等号成立).因为关于x的不等式x+ 4 -1-a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成
x
立,所以a2-2a+1<4恒成立,解得-1<a<3,所以实数a的取值范围为(-
故x的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞).
5.设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化时,y恒取正值,则x
的取值范围是
.
答案
0, 12

∪(8,+∞)
解析 设f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则f(t)是一次函数,当t∈[-2,2]时, f(t)>0恒成立,
2 22
当-1≤x≤1时, f '(x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(x)min=
f(1)=3 -9 =-3,满足条件,故排除C.
22
综上,选D.
【技法指导】 常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、 特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.对于选择题,在题设 条件都成立的情况下,用特殊值探求正确选项,即通过对特殊情况 的研究来判断一般规律;对于填空题,当结论唯一或题设条件中提 供的信息暗示答案是一个定值时,可以用特殊值代替变化的不定 量.
e,解得 2e<a≤e.
【技法指导】 (1)函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不 等式的问题需要函数帮助. (2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与 方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不 等关系转化为最值(值域)问题,从而求参变量的范围.
8.关于x的不等式x+ 4 -1-a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的
4 e2

<ln 1e =-1,且
函数h(x)在[1,+∞)内为减函数,
所以满足条件的最大整数m的值为3.
x
≥ 2 -3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;
t
由②得m+4≤ 2 -3x在x∈(t,3)上恒成立,
x
则m+4≤ 2 -9,即m≤- 37 .
3
3
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为- 37 <
3
m<-5.
【技法指导】 (1)本题是正与反的转化,由于函数不为单调函数 有多种情况,所以可先求出其反面情况,体现“正难则反”的原 则. (2)题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反 面考虑较简单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定 性命题情形的问题中.
A.是变量且有最大值 B.是变量且有最小值
C.是变量且有最大值和最小值 D.是常数
答案 D 点Q到棱AB的距离为常数,所以△EFQ的面积为定值. 由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥平面EFQ,所以点P到平面EFQ的距离 是常数,于是可得四面体PQEF的体积为常数.
7.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1 C1. 求证:(1)AB∥平面A1B1C; (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
又因为AB1⊂平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
应用五 函数、方程、不等式间的相互转化
例5 已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈ 1e ,1,总存在唯一
的y∈[-1,1],使得ln x-x+1+a=y2ey成立,则实数a的取值范围是
()
A. 1e ,e