专题04 一次函数(考题猜想,易错必刷30题13种题型专项训练)(教师版)八年级数学上册课时同步考点

专题04一次函数（易错必刷30题13种题型专项训练）
➢函数关系式
➢函数自变量的取值范围➢函数的图象➢正比例函数的图象
➢一次函数图象与系数的关系➢一次函数图象上点的坐标特征➢一次函数的定义➢正比例函数的定义➢一次函数的图象➢一次函数图象与几何变换➢待定系数法求一次函数解析式➢
一次函数的应用
➢
一次函数综合题
一．函数关系式（共1小题）
1．某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x （x ＞3）千米，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系为　y ＝1.2x +3.4　．
【答案】y ＝1.2x +3.4，
【解答】解：依据题意得：y ＝7+1.2（x ﹣3）＝1.2x +3.4，故答案为：y ＝1.2x +3.4，
二．函数自变量的取值范围（共1小题）2．函数y ＝中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ＞1
C ．x ≥1且x ≠2
D ．x ≠2
【答案】C
【解答】解：依题意得：x ﹣1≥0且x ﹣2≠0，解得x ≥1且x ≠2
．
故选：C．
三．函数的图象（共5小题）
3．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②乙开车速度是80千米/小时；
③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
④出发3小时时，甲乙同时到达终点；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：由图象可得，当t＝1时，s＝0，
即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确，
甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，故②正确；
出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故③正确；
在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误，
故选：C．
5．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：B．
6．把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，
所以函数图象均为匀速上升，
由此可排除B，C选项，
刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，
注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，
所以水面以较快速度均匀上升，
当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，
底面积是圆柱体的底面积，
所以水面以较慢速度均匀上升，
所以排除A选项，选项D符合题意，
故选：D．
7．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：
①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
②这次比赛全程是10千米．
③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
正确的结论为　①③　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min，
∴再行1千米用的时间为9分钟，
∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确；
②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min，
所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min，
所以全长为48×0.25＝12km，故错误；
③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t，
解得t＝38，正确，
故答案为：①③．
四．一次函数的定义（共1小题）
8．已知函数y＝（m﹣1）+1是一次函数，则m＝　﹣1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．
因而有m2＝1，
解得：m＝±1，
又m﹣1≠0，
∴m＝﹣1．
五．正比例函数的定义（共1小题）
9．如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（ ）
A．0B．1C．0或2D．2【答案】A
【解答】解：由题意得：
|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，
∴k＝2或k＝0且k≠2，
∴k＝0，
故选：A．
六．一次函数的图象（共2小题）
10．函数y1＝|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．x＞2【答案】C
【解答】解：由图象可知：在（﹣1，1）左边，（2，2）的右边，y1＞y2，∴x＜﹣1或x＞2．
故选：C．
11．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右下降，则﹣a＜0，
此时，一次函数y＝的图象与y轴交于负半轴，故A选项正确，B选项错误；
若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右上升，则﹣a＞0，
此时，一次函数y＝的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项错误；而D选项不合题意．
故选：A．
七．正比例函数的图象（共1小题）
12．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a、b为常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝abx经过一、三象限，
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝abx经过二、四象限，
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，y＝abx经过二、四象限，
若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝abx经过一、三象限，
故选：C．
八．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
13．已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．﹣≤m＜4C．﹣≤m≤4D．m
【答案】B
【解答】解：根据题意得
，
解得﹣≤m＜4．
故选：B．
九．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
14．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
15．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　±6　．【答案】见试题解答内容
【解答】解：直线y＝3x+b与两坐标轴的交点为（0，b）、（﹣，0）
则直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积：•|b|•|﹣|＝6
解得：b＝6，b＝﹣6，
则b的值是±6．
故答案为：±6
16．在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与l1交于点E．若点E坐标为（1，n）．
（1）求E的坐标和m的值；
（2）点P在直线l2上，若S
＝3，求点P的坐标．
△AEP
【答案】（1）E（1，4），m＝2；
（2）P（1.5，5）或（0.5，3）．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x+5＝4，即点E（1，4），
将点E的坐标代入y＝mx+m得：4＝m+m，
解得：m＝2；
（2）由（1）知，直线l2：y＝2x+2，
设点P的横坐标为t，则P（t，2t+2），
过点P作PM∥y轴交直线l1于点M，
则M（t，﹣t+5），
∴PM＝|2t+2﹣（﹣t+5）|＝|3t﹣3|，
∵直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B，
∴A（5，0），
∴S
＝PM•（x A﹣x E）＝3，即|3t﹣3|•（5﹣1）＝3，
△AEP
解得t＝1.5或t＝0.5，
∴P（1.5，5）或（0.5，3）．
一十．一次函数图象与几何变换（共2小题）
17．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（ ）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），
代入直线y＝2x+b，可得
4+b＝3，
解得b＝﹣1，
一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），
（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），
代入直线y＝kx+3，可得
2k+3＝﹣1，
解得k＝﹣2．
故选：D．
18．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（ ）
A．b＜1B．﹣≤b＜1C．1＜b＜4D．0≤b＜1
【答案】B
【解答】解：如图，所得的折线的函数解析式为，
当x＝﹣1时，y＝2+1＝3，即A（﹣1，3）；
当x＝2时，y＝4﹣1＝3，即B（2，3）；
当y＝0时，x＝，即C（，0）；
把A（﹣1，3）代入y＝x+b中，可得b＝4，
把B（2，3）代入y＝x+b中，可得b＝1，
把C（，0）代入y＝x+b中，可得b＝﹣，
∵函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，
∴，即﹣≤b＜1，
故选：B．
一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
19．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（ ）
A．3B．2C．﹣2D．2或﹣2
【答案】C
【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，
∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，
令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，
令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，
当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，
∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，
令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，
令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，
∴故选：C．
一十二．一次函数的应用（共8小题）
20．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），
1+3，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y ＝（100+m ）x +150（100﹣x ），即y ＝（m ﹣50）x +15000，33≤x ≤70
①当0＜m ＜50时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝34时，y 取最大值，
即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大．②m ＝50时，m ﹣50＝0，y ＝15000，
即商店购进A 型电脑数量满足33≤x ≤70的整数时，均获得最大利润；③当50＜m ＜100时，m ﹣50＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，y 取得最大值．
即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑的销售利润最大．
22．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：
目的地车型A 村（元/辆）
B 村（元/辆）
大货车800900小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两
村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：
解得：．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，
最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B 村．最少运费为9900元．
23．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D 两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C D总计/t
A　（240﹣x） （x﹣40）　200
B x　（300﹣x）　300
总计/t240260500（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）填表如下：
C D总计/t
A（240﹣x）（x﹣40）200
B x（300﹣x）300
总计/t240260500依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200
由题意得：
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0
∴w随x的增大而增大
∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：
24．小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，如图表示两人距B地的路程y（m）与行驶时间x（min）之间的函数关系．
马小虎审题不清，将“两人距B地的路程y”看成了“两人距A地的路程y”，由此得到小明的速度为100m/min．（1）A地与B地的距离为　4500　m，a＝　1500　m，b＝　30　min，小明的实际速度为　150　m/min；
（2）求当0≤x≤60时，两人的距离s（m）与x的函数表达式，并在图2中画出图象；
（3）当两人之间的距离不大于2000m时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）A地与B地的距离为4500m，a＝1500m，b＝30min，小明的速度为150m/min；
（2）s＝；图象见解答；
（3）10≤x≤35．
【解答】解：（1）由图象可得，
A地与B地的距离为4500m，
a＝100×15＝1500，
b＝4500÷[（4500﹣1500）÷20]＝30，
小明的实际速度为：4500÷30＝150（m/min），
故答案为：4500，1500，30，150；
（2）由题意可得，
小亮的实际速度为：1500÷15＝100（m/min），
当0≤x≤15时，s＝4500﹣（150+100）x＝﹣250x+4500；
当15＜x≤20时，s＝4500﹣（150+100）×15﹣150（x﹣15）＝﹣150x+3000；
当20＜x≤30时，s＝150（x﹣20）＝150x﹣3000；
当30＜x≤60时，s＝1500+100（x﹣30）＝100x﹣1500；
综上，s与x的关系式为：s＝；图象如图1：
（3）如图2所示，
当y＝2000时，﹣250x+4500＝2000，
∴x＝10，
100x﹣1500＝2000，
∴x＝35，
∴当两人之间的距离不大于2000m时，x的取值范围是10≤x≤35．
25．某农业观光园计划将一块面积为900m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x （m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝3x+12x+12（900﹣3x）＝﹣21x+10800．
（2）当y＝6600时，即﹣21x+10800＝6600，
解得：x＝200，
∴2x＝400，900﹣3x＝300，
答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2．
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得：，
整理得：3b+5c＝95，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b＝15，c＝10或b＝10，c＝13，
∴a＝20或a＝22，
∵差价均不超过10
∴a＝20，b＝15，c＝10，
∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15＝36000（元），
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
26．洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了30min．妮妮骑单车以300m/min的速度直接回学校．两人离学校的路程y（m）与各自离开
出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）学校与公园之间的路程为　4000　m，洋洋步行的速度为　100　m/min；
（2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为妮妮路程与时间函数图象，折线O﹣A﹣B为洋洋的路程与时间图象，
则学校与公园之间的路程为4000米，洋洋步行的速度＝＝100m/min，
故答案为：4000，100；
（2）妮妮骑自行车从公园回学校所需时间为4000÷300＝（分钟），
∴妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式为y＝4000﹣300x（0≤x≤）；
（3）当x＝10时，妮妮离学校的路程y＝4000﹣300x＝4000﹣300×10＝1000（米），
由图可知x＝10时，洋洋离学校的路程是2000米，
∴两人相遇是在洋洋慢跑途中，
由4000﹣300x＝x得：x＝8，
∴两人相遇的时间为8min．
27．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）3000÷（50﹣30）＝3000÷20＝150（米/分），答：张强返回时的速度为150米/分；
（2）（45﹣30）×150＝2250（米），点B的坐标为（45，750），妈妈原来的速度为：2250÷45＝50（米/分），
妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50＝60（分），
60﹣50＝10（分），
妈妈比按原速返回提前10分钟到家；
（3）如图：
设线段BD的函数解析式为：y＝kx+b，
把（0，3000），（45，750）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣50x+3000，
线段OA的函数解析式为：y＝100x（0≤x≤30），
设线段AC的解析式为：y＝k1x+b1，
把（30，3000），（50，0）代入得：
解得：，
∴y＝﹣150x+7500，（30＜x≤50）
当张强与妈妈相距1000米时，即﹣50x+3000﹣100x＝1000或100x﹣（﹣50x+3000）＝1000或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）＝1000，
解得：x＝35或x＝或x＝，
∴当时间为35分或分或分时，张强与妈妈何时相距1000米．
一十三．一次函数综合题（共3小题）
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．
（1）点C的坐标为　（4，1）　；求直线BC的表达式；
（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（4，1），y＝﹣x+3；
（2）E（2，2）；
（3）点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）．
【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），OB＝3，
当y＝0时，﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴A（1，0），OA＝1，
如图1，过点C作CG⊥x轴于G，
由旋转得：AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAG＝90°，
∵∠AOB＝∠CGA＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAG＝∠ABO，
∴△BOA≌△AGC（AAS），
∴AG＝OB＝3，CG＝OA＝1，
∴C（4，1），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
故答案为：（4，1）；
（2）如图2，过点E作EF⊥y轴于F，
∵点E为线段BC上一点，
∴设点E的坐标为（m，﹣m+3）（0≤m≤4），
∵四边形AOBE 的面积＝S △AOB +S △ABE ＝S △BEF +S 梯形AOFE ，
∴×1×3+＝•m •（3+m ﹣3）+•（1+m ）•（﹣m +3），
解得：m ＝2，
∴E （2，2）；
（3）分三种情况：
①如图3，四边形ABEP 是平行四边形，
∵A （1，0），B （0，3），E （2，2），
∴由平移得：P （3，﹣1）；
②如图4，四边形APBE 是平行四边形，
由平移得：P （﹣1，1）；
③如图5，四边形ABPE 是平行四边形，
由平移得：P（1，5）；
综上，点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）．
29．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM．
①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标 ，　；
②若△PQB的面积为，求出点M的坐标；
③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，求出点
F的坐标
【答案】（1）直线BC的解析式为，
（2）①，；
②，0）或，0）；
③点F的坐标为，0）．
【解答】解：（1）对于，令x＝0，y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，
∴，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为，
（2）①设点M（m，0），
∴，
∵B（0，3），C（6，0），
∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2，∵∠MBC＝90°，
∴△BMC是直角三角形，
∴BM2+BC2＝MC2，
∴m2+9+45＝（6﹣m）2，
∴，
∴，，
故答案为：，．
②设点M（n，0），
∵点P在直线上，
∴，
∵点Q在直线上，
∴，
∴，
∵△PQB的面积为，
∴，
∴，
∴，0）或，0），
③过点F作FH⊥FK交CK于H，过点H作HE⊥x轴于E，
∵∠CKF＝45°，
∴△KFH是等腰直角三角形，
∴KF＝FH，∠KFO+∠HFE＝90°，
∵∠KFO+∠FKO＝90°，
∴∠HFE＝∠FKO，
∵∠KOF＝∠FEH＝90°，
∴△KOF≌△FEH（AAS），
∴EH＝OF，EF＝OK，
∵点K为线段OB的中点，OB＝3，
∴，，
设F（x，0），则，EH＝OF＝x，则，x），
∵C（6，0），，
设直线CK的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线CK的解析式为，
∵点H在CK上，，x），
∴，解得：，
∴点F的坐标为，0）．
30．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P 是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝HD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．。