2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第五章四边形微专题(十一)十字模型
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1
1
∵CG＝CB,∴GH＝HB＝ BG＝ CH,
2
2
1
∴tan∠BCH＝ ＝ .
2
∵由(2)得∠DAE＝∠ABF,
∴∠BCH＝∠ABG＝∠DAE,
1
∴tan∠DAE＝ ＝ ＝ ,
2
即E是边DC的中点.
理由；
2025版
数学
解：成立,选择小丽的猜想证明：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADF＝∠BCD＝90°,
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
∴∠DAF＝∠CDE,
∴∠DAF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AF⊥DE.(答案不唯一)
甘肃专版
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数学
又∵DO＝DE,∴∠DOE＝∠DEO,
∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO＝∠BAO,
∵BF⊥AE,∴∠AGB＝∠OGB＝90°,
∵BG＝BG,∴△ABG≌△OBG(AAS).
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数学
(2)解：∵四边形ABCD为正方形,
∴AB＝AD,∠BAF＝∠ADE＝90°.
∵BF⊥AE,
∴∠AGB＝90°,∠BAG＋∠ABF＝90°.
∵∠BAD＝∠BAG＋∠DAE＝90°,
∴∠ABF＝∠DAE,∴△ADE≌△BAF(ASA),
∴AE＝BF.
1
∵AE⊥BF,∴S四边形AFEB＝ BF2＝18.
2
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数学
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(3)证明：作CH⊥BG于点H,则∠BHC＝90°,∴∠HBC＋∠BCH＝90°,
∴∠BCH＝∠ABG,∴△BHC≌△AGB(AAS),∴CH＝BG.
AE,MN相交于点G,且AE⊥MN,求 的值.(用含m,n的式子表示)
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数学
解：过点N作NK⊥AB于点K,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC＝KN,∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°,
∵AE⊥MN,
∴∠AGM＝90°,∴∠MAG＋∠AMG＝90°,
∵∠MNK＋∠AMG＝90°,
∴∠MNK＝∠MAG,∴△MNK∽△EAB,
交DC于点E,过点B作BF⊥AE于点G,交AD于点F,连接FE,BE.
【问题解决】
(1)若DO＝DE,求证：△ABG≌△OBG；
(2)若BF＝6,求四边形AFEB的面积；
(3)如图③,连接CG,若CG＝BC,
求证：E是边DC的中点.
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数学
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴AB∥DC,∴∠DEO＝∠BAO.
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(3)小美通过以上结论总结发现,当点E,F分别在射线CB,DC上运动时,若AF⊥DE
于点G,则点G的运动轨迹是半圆,请在图③中作出点G的运动轨迹；
解：如图,半圆AGD即为所求作.
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数学
甘肃专版
【知识迁移】
(4)如图④,在矩形ABCD中,CD＝m,BC＝n,E,M,N分别是BC,AB,DC上一点,连接
∴ ＝ ＝ ＝ ,∴ ＝ .
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数学
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2.【教材背景】课本上有这样一道题目：如图①,在正方形ABCD中,E是边AB
的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.发现其中CE＝DF.
【拓展延伸】如图②,在正方形ABCD中,O为对角线BD上一点,连接AO并延长,
D上,EF⊥GH
BD
不过顶点型
在矩形ABCD中,点
E,F,G,H分别在
AD,BC,AB,DC
上,EF⊥GH
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图示
结论
数学
甘肃专版
图示
△ABF≌△DAE；
BF＝AE
EF＝GH
结论
＝
＝
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数学
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1.【问题情景】
(1)数学活动课上,老师提出了一个问题：如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是
∴∠DAF＋∠ADG＝90°,
∵∠ADG＋∠CDE＝90°,
∴∠DAF＝∠CDE,
∴△ADF≌△DCE(ASA),∴AF＝DE.
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数学
②证明小丽的猜想：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADC＝∠BCD＝90°,
= ,
在Rt△ADF和Rt△DCE中,ቊ
= ,
BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,请同学们结合图形提出自己的猜想并证明；
以下是小亮和小丽的猜想：
小亮：若AF⊥DE,则AF＝DE；
小丽：若AF＝DE,则AF⊥DE.
请证明以上结论；
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证明：①证明小亮的猜想：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADF＝∠DCE＝90°,
∵AF⊥DE,
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数学
微专题(十一)
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十字模型
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数学
甘肃专版
正方形中的十字模型
类型
过顶点型
不过顶点型
矩形中的十字模型
类型 过顶点型
在正方形
在正方形ABCD
在矩形
ABCD中,点
中,点E,F,G,H
ABCD中,
已知 E,F分别在
分别在
已知
点E在AD
CD,AD
AB,CD,BC,A
上,CE⊥
上,AE⊥BF
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
∴∠DAF＝∠CDE,
∴∠DAF＋∠ADG＝∠CDE＋∠ADG＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AF⊥DE.
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数学
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【类比探究】
(2)如图②,当点E,F分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上时,(1)中小亮和
小丽的猜想是否仍然成立？若成立,请选其中一个进行证明；若不成立,请说明
1
∵CG＝CB,∴GH＝HB＝ BG＝ CH,
2
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1
∴tan∠BCH＝ ＝ .
2
∵由(2)得∠DAE＝∠ABF,
∴∠BCH＝∠ABG＝∠DAE,
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∴tan∠DAE＝ ＝ ＝ ,
2
即E是边DC的中点.
理由；
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解：成立,选择小丽的猜想证明：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADF＝∠BCD＝90°,
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
∴∠DAF＝∠CDE,
∴∠DAF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AF⊥DE.(答案不唯一)
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又∵DO＝DE,∴∠DOE＝∠DEO,
∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO＝∠BAO,
∵BF⊥AE,∴∠AGB＝∠OGB＝90°,
∵BG＝BG,∴△ABG≌△OBG(AAS).
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(2)解：∵四边形ABCD为正方形,
∴AB＝AD,∠BAF＝∠ADE＝90°.
∵BF⊥AE,
∴∠AGB＝90°,∠BAG＋∠ABF＝90°.
∵∠BAD＝∠BAG＋∠DAE＝90°,
∴∠ABF＝∠DAE,∴△ADE≌△BAF(ASA),
∴AE＝BF.
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∵AE⊥BF,∴S四边形AFEB＝ BF2＝18.
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(3)证明：作CH⊥BG于点H,则∠BHC＝90°,∴∠HBC＋∠BCH＝90°,
∴∠BCH＝∠ABG,∴△BHC≌△AGB(AAS),∴CH＝BG.
AE,MN相交于点G,且AE⊥MN,求 的值.(用含m,n的式子表示)
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解：过点N作NK⊥AB于点K,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC＝KN,∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°,
∵AE⊥MN,
∴∠AGM＝90°,∴∠MAG＋∠AMG＝90°,
∵∠MNK＋∠AMG＝90°,
∴∠MNK＝∠MAG,∴△MNK∽△EAB,
交DC于点E,过点B作BF⊥AE于点G,交AD于点F,连接FE,BE.
【问题解决】
(1)若DO＝DE,求证：△ABG≌△OBG；
(2)若BF＝6,求四边形AFEB的面积；
(3)如图③,连接CG,若CG＝BC,
求证：E是边DC的中点.
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(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴AB∥DC,∴∠DEO＝∠BAO.
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(3)小美通过以上结论总结发现,当点E,F分别在射线CB,DC上运动时,若AF⊥DE
于点G,则点G的运动轨迹是半圆,请在图③中作出点G的运动轨迹；
解：如图,半圆AGD即为所求作.
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【知识迁移】
(4)如图④,在矩形ABCD中,CD＝m,BC＝n,E,M,N分别是BC,AB,DC上一点,连接
∴ ＝ ＝ ＝ ,∴ ＝ .
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2.【教材背景】课本上有这样一道题目：如图①,在正方形ABCD中,E是边AB
的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.发现其中CE＝DF.
【拓展延伸】如图②,在正方形ABCD中,O为对角线BD上一点,连接AO并延长,
D上,EF⊥GH
BD
不过顶点型
在矩形ABCD中,点
E,F,G,H分别在
AD,BC,AB,DC
上,EF⊥GH
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图示
结论
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图示
△ABF≌△DAE；
BF＝AE
EF＝GH
结论
＝
＝
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1.【问题情景】
(1)数学活动课上,老师提出了一个问题：如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是
∴∠DAF＋∠ADG＝90°,
∵∠ADG＋∠CDE＝90°,
∴∠DAF＝∠CDE,
∴△ADF≌△DCE(ASA),∴AF＝DE.
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②证明小丽的猜想：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADC＝∠BCD＝90°,
= ,
在Rt△ADF和Rt△DCE中,ቊ
= ,
BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,请同学们结合图形提出自己的猜想并证明；
以下是小亮和小丽的猜想：
小亮：若AF⊥DE,则AF＝DE；
小丽：若AF＝DE,则AF⊥DE.
请证明以上结论；
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证明：①证明小亮的猜想：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD＝CD,∠ADF＝∠DCE＝90°,
∵AF⊥DE,
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十字模型
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正方形中的十字模型
类型
过顶点型
不过顶点型
矩形中的十字模型
类型 过顶点型
在正方形
在正方形ABCD
在矩形
ABCD中,点
中,点E,F,G,H
ABCD中,
已知 E,F分别在
分别在
已知
点E在AD
CD,AD
AB,CD,BC,A
上,CE⊥
上,AE⊥BF
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
∴∠DAF＝∠CDE,
∴∠DAF＋∠ADG＝∠CDE＋∠ADG＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AF⊥DE.
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【类比探究】
(2)如图②,当点E,F分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上时,(1)中小亮和
小丽的猜想是否仍然成立？若成立,请选其中一个进行证明；若不成立,请说明