6.3 定积分的计算方法.

1
x
dx

e 2 2 e x d cos x e 2 e x cos x 2 2 e x cos xdx 0 0 0
e 2 1 I, 1 2 从 而I e 1 . 2

2 ） 3 ） 课后练习 , 从略.
2 - ln 2 1 Key : 2） 2
§6.3 定积分的计算方法
一. 定积分的换元积分法
引例 .求
1 2 0
1 x 2 dx
2 x sin t 2 cos tdt
原始方法
法1 ） 1 x dx
1 cos 2t dt 2
回代 1 1 1 1 太繁! t sin 2t C arcsinx x 1 x 2 C 2 2 2 4 1 1 1 3 2 2 原 式 arcsinx x 1 x 2 2 8 0 12 过程： “换元 — 计算—回代— 代上下限” sin t 0, 1 ; sin 0 0, sin 1


3） 2
b a ux vx ux vx dx ？ ux vx a 即可得“定积分分部积 分公式”：
b
牛—莱公式
二. 定积分的分部积分法
b b a ux vx dx ux vx a a ux vx dx b b b 简记为： a uv uv a a uv , 或 b
2
6
2
Th6.3若函数f x 在a , b 上连续, 而函数x t 满足： 1） t 在 , 上为单调函数 ; 2） a , b; 3） t 在 , 上连续,
则有换元公式：

*
b
a
f x dx
1 令x sint , dx cos tdt . 由 于x： 0 , 可 取t： 0 , 代入原式得： 2 6 1 1 3 2 6 cos tdt t sin 2t 6 0 2 4 0 12 8 方法总结
法2 ） 考虑换元的同时 “换限” , 演示如下：
2 1 2 dx2 1 2 d x2 4 1 2 ln x 4 2 2 0 0 2 4 x 2 x 4 2 0 1 l n 2. 2
注释




注 *： 上例表明 ,对于凑微分情形 ,若不进行 变量符号的替换 ,则 积 分 上 下 限 不 需 更. 改
设ux , vx 在a, b 上 连 续 ,则
2 2 8 2
例1 ）I e cos xdx 2 ）I sec tdt 3 ） 0 e 1 ）I 02 e x d sin x e x sin x 2 02 e x sin xdx 0 同样的选择
x 3
2 0
4 0
b b a ux dv x ux vx a a vx du x .
b
应用举例
2 例. 1 ） ln 1 x dx 2 ） 0 x sinxdx
1


1 ） （换元法不易求 , 而 ln 1 x 2 易 求 导 ） 原 式 x ln 1 x 2
1 2 0


f t t dt
（略证）
此结论了解即可
例 重 求
1 x 2 dx
若同样令 x sint , dx cos tdt， 现 考 虑 取 其 它 的 区 ： 间
1 x： 0 , 可 取 2
1 x： 0 2 （ , 满足单调原则 ） 5 t： 6

5 6
5 1 1 3 cos tdt t sin2t 6 2 4 12 8
2
例.求 x 1 xdx
0
3
可选单调区间段
令 1 x t , x t 2 1, dx 2tdt; 又
x： 0 3 , 从 而 原 式 t： 1 2 2
2 1
t
2 1
2
1 2t 2 dt


11 1 5 1 32 t t dt 2 t t 7 3 1 15 5
4 2

注 ： 定 积 分 换 元 法 多于 用需 第 二 换 元 的 情 形 使 ， 得 计 算 更 简 便 ； 而 对 于凑 需 微 分 的 情 形此 ，方 法 往往无明显优势 . 2 x 例. dx 2 0 4 x
法一（第二换元法） 1 dx 1 4 dt 1 4 d t 4 2 0 0 2 4 x 2 4 t 2 0 t4 t 4 u 1 8 du 8 1 1 l n u l n 2. 4 2 u 2 4 2
2 2 x2 t
法二（凑微分法）

4 0
Hale Waihona Puke 2 1 1 2x 0 dx 2 0 1 x
1 1 1 ln 2 2 0 dx 0 dx 2 1 x 1 ln 2 2 2 arctan x ln 2 2 . 2 0 2 ） 原 式 04 xd cos x x cos x 4 04 cos xdx 0