++1卷积积分的数值计算
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卷积积分的计算
1、解析法 、
参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解 析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行 计算。 例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，试计 算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解: 根据卷积积分的定义，可得
2010-12-5
自左向右移动， （2）将ha(-τ)自左向右移动，并在T的整数倍的位置 ） τ 自左向右移动 的整数倍的位置 对应项乘积之和 τ和 τ 对应项乘积之和。 上计算ea(τ)和ha(nT-τ)对应项乘积之和。
ea(τ) τ e0 0 T ha(-τ) τ τ 0 h1 h3 0 τ e0 e1 e2 e3 h2 0 τ e0 e1 e2 e3 ha(-τ) τ h3 0 e1 e2 ea(τ) τ e0 τ 0 e1 ea(τ) τ e0 τ e1
分别如下图(a)，(b)所示。试用图解法求两 信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。
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f (τ)
h(τ)
1 0 (a) h(t －τ) (t ＜0) 1 t －2T t 0 T (c) h(t －τ) (2T＜t ＜3T) 1 0 T 2T 3T t －2T 2T (f) 1 2T 3T T 2T 3T
1
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = = =
∫ ∫ ∫
∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ e −3τ u (τ ) ⋅ e −5( t −τ ) u ( t − τ ) d τ e −3τ e −5( t −τ ) d τ
1 −3t = ( e − e −5 t ) 2 1 −3t = ( e − e −5 t ) u ( t ) 2
1
τ
0
T
2T 3T (b)
τ
h(t －τ)
h(t －τ) (0＜t ＜T) 1 1 2T 3T (d) (e) h(t －τ) (t ＞3T)
(T＜t ＜2T)
τ
t －2T
0
t T
τ
t －2T
0 T t
2T 3T
τ
y(t)
3 2 t 2
τ
0 T 2T 3T (h)
5
τ
0 T (g)
2T 3T t －2T
∑
n
k =1
en− k hk
综合起来，卷积的数值计算近似结果表示如下：
ra ( t ) = T
∑
∞
e ( kT ) ⋅ h ( t − kT ) , t = nT
k=0
4、 数值计算（MATLAB实现） 、 数值计算（ 实现） 实现
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3、数值计算（原理） 、数值计算（原理）
用数值计算法求e(t)*h(t)
e(t) 2 0 T 2T kT t 0 2 t h(t)
步骤： 步骤：
（1）将e(τ)和h(-τ)分解成若干宽度为T的矩形 脉冲，得到近似函数ea(τ)和ha(-τ)
ea(τ) τ e3 e0 e1 h3 0 T 2T kT τ h2 0 τ h1 ha(-τ) τ
t
t
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综合各段结果，有：
0 (t < 0) 1 t 2 (0 ≤ t < T ) 2 1 2 y (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = Tt − t (T ≤ t < 2T ) 2 3 1 2 − t + Tt + T 3 (2T ≤ t < 3T ) 2 2 0 (t ≥ 3T )
对于一些较简单的函数符号，如方波、三角 波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握 图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助 的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。
例：已知
1 0 < t < T t 0 < t < T f (t ) = , h (t ) = 0 t ≤ 0, t ≥ T 0 t ≤ 0, t ≥ T
h1 h3 h2
ha(-τ) τ h1 h2 τ e0 e1 e2 e3
h4 h3 h2 h1
h4 h3 h2 h1
h4 h3 h2 h1
t=0,ra(0)=0Biblioteka t=T,ra(T)=Te0h1
t=2T,ra(2T)=T(e0h2+ e1h1)
推广到一般情况，即t=nT时，
r a ( nT ) = T
在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积 时，对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到， 避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如 下表所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时， 可以利用卷积的一些特性来简化运算。
2010-12-5 2
卷积积分常用公式表
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3
2、图解法 、图解法
1、解析法 、
参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解 析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行 计算。 例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，试计 算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解: 根据卷积积分的定义，可得
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自左向右移动， （2）将ha(-τ)自左向右移动，并在T的整数倍的位置 ） τ 自左向右移动 的整数倍的位置 对应项乘积之和 τ和 τ 对应项乘积之和。 上计算ea(τ)和ha(nT-τ)对应项乘积之和。
ea(τ) τ e0 0 T ha(-τ) τ τ 0 h1 h3 0 τ e0 e1 e2 e3 h2 0 τ e0 e1 e2 e3 ha(-τ) τ h3 0 e1 e2 ea(τ) τ e0 τ 0 e1 ea(τ) τ e0 τ e1
分别如下图(a)，(b)所示。试用图解法求两 信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。
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f (τ)
h(τ)
1 0 (a) h(t －τ) (t ＜0) 1 t －2T t 0 T (c) h(t －τ) (2T＜t ＜3T) 1 0 T 2T 3T t －2T 2T (f) 1 2T 3T T 2T 3T
1
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = = =
∫ ∫ ∫
∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ e −3τ u (τ ) ⋅ e −5( t −τ ) u ( t − τ ) d τ e −3τ e −5( t −τ ) d τ
1 −3t = ( e − e −5 t ) 2 1 −3t = ( e − e −5 t ) u ( t ) 2
1
τ
0
T
2T 3T (b)
τ
h(t －τ)
h(t －τ) (0＜t ＜T) 1 1 2T 3T (d) (e) h(t －τ) (t ＞3T)
(T＜t ＜2T)
τ
t －2T
0
t T
τ
t －2T
0 T t
2T 3T
τ
y(t)
3 2 t 2
τ
0 T 2T 3T (h)
5
τ
0 T (g)
2T 3T t －2T
∑
n
k =1
en− k hk
综合起来，卷积的数值计算近似结果表示如下：
ra ( t ) = T
∑
∞
e ( kT ) ⋅ h ( t − kT ) , t = nT
k=0
4、 数值计算（MATLAB实现） 、 数值计算（ 实现） 实现
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3、数值计算（原理） 、数值计算（原理）
用数值计算法求e(t)*h(t)
e(t) 2 0 T 2T kT t 0 2 t h(t)
步骤： 步骤：
（1）将e(τ)和h(-τ)分解成若干宽度为T的矩形 脉冲，得到近似函数ea(τ)和ha(-τ)
ea(τ) τ e3 e0 e1 h3 0 T 2T kT τ h2 0 τ h1 ha(-τ) τ
t
t
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综合各段结果，有：
0 (t < 0) 1 t 2 (0 ≤ t < T ) 2 1 2 y (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = Tt − t (T ≤ t < 2T ) 2 3 1 2 − t + Tt + T 3 (2T ≤ t < 3T ) 2 2 0 (t ≥ 3T )
对于一些较简单的函数符号，如方波、三角 波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握 图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助 的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。
例：已知
1 0 < t < T t 0 < t < T f (t ) = , h (t ) = 0 t ≤ 0, t ≥ T 0 t ≤ 0, t ≥ T
h1 h3 h2
ha(-τ) τ h1 h2 τ e0 e1 e2 e3
h4 h3 h2 h1
h4 h3 h2 h1
h4 h3 h2 h1
t=0,ra(0)=0Biblioteka t=T,ra(T)=Te0h1
t=2T,ra(2T)=T(e0h2+ e1h1)
推广到一般情况，即t=nT时，
r a ( nT ) = T
在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积 时，对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到， 避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如 下表所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时， 可以利用卷积的一些特性来简化运算。
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卷积积分常用公式表
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2、图解法 、图解法