2020届高考数学二轮教师用书：第5章第3节 等比数列及其前n项和

第3节 等比数列及其前n 项和
1．等比数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个非零 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q (q ≠0)表示．
数学语言表达式：a n
a n －1＝ q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 等比中项 ，其中G ＝ ±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝ a 1q n －
1 ； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －
m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q .
推广：当q ≠0,1时，{a n }是等比数列⇔S n ＝Aq n －A (A 为常数且A ≠0)． 3．等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝ a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则
a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *
.
(2)等比数列{a n }的单调性
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是 递增 数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是 递减 数列； 当q ＝1时，数列{a n }是 常数列 .
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 q m (k ，m ∈N *)．
(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n .
等比数列的主要性质
设数列{a n }是首项为a 1，公比是q 的等比数列，S n 是其前n 项和．
1．若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
pa n qb n (其中b ，
p ，q 是非零常数)也是等比数列．
2．S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .
3．若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n
，…成等比数列．
4．若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1
S 偶＝q .
5．等比数列{a n }的单调性
当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1<0，
q >1时，{a n }为递减数列．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [小题查验]
1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且公比a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13
D.13
详细分析：D [{a n }是公比为正数的等比数列，设公比为q ， 则a 2·a 6＝a 24，∴a 24＝9a 4，∴a 4＝9.∴q 2
＝a 4
a 2＝9. ∴q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝1
3
.故选D.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏
灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
详细分析：B [设顶层灯数为a 1，q ＝2 ，S 7＝a 1(1－27)
1－2
＝381，解得a 1＝3.]
3．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
详细分析：C [应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设
正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝2，，∴a 3＝a 1q 2
＝4，故选C.]
4．(教材改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝ ________ ，S 4＝ ________ .
答案：－4 51
5．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝ ________ .
详细分析：设等比数列{a n }公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4， 得q 2＝a 3
a 1＝4，又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.
而S k ＝1－2k
1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.
答案：6
考点一 等比数列的基本运算(自主练透)
[题组集训]
1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
详细分析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]
2．(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝3
4，则S 4＝ ________ .
解：设{a n }的公比为q ，则1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－1
2，
∴S 4＝1－12＋14－18＝5
8.
答案：58
3．(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝ ________ .
详细分析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q )＝－1，a 1(1－q 2)＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝－2，
则a 4＝a 1q 3＝－8.
答案：－8
解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
提醒：运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．
考点二 等比数列的判定与证明(师生共研)
逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养
根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养．
[典例] (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n
n .
(1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．
[思维导引] (1)由数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，的递推关系式先求出a 2，a 3，再利用b n ＝a n
n 求b 1，b 2，b 3；(2)定义法判定并证明数列{b n }为等比数列；(3)先求出数列{b n }的
通项公式．
[解] (1)由条件可得a n ＋1＝
2(n ＋1)
n
a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而
b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.
(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得a n ＋1
n ＋1＝2a n
n ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数
列．
(3)由(2)可得a n
n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.
等比数列的判定方法
(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n
a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，
则{a n }是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －
1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．
(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练]
(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
详细分析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λ
λ－1.
因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－1n －1
.
(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－1n
.
由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝1
32
.
解得λ＝－1.
考点三 等比数列的性质及应用(师生共研)
[典例]
1．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7
＝a 7，则b 3b 11等于( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
[详细分析] A [由等差数列性质得a 2＋a 12＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，又a 7≠0，所以a 7
＝4，b 7＝4，由等比数列性质得b 3b 11＝b 2
7＝16，故选A.]
2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ ________ .
[详细分析] 设数列{a n }的公比为q ，
由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12
， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q
3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14， [答案] 14
3．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ________ .
[详细分析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧
S 奇＝－80，S 偶＝－160，
所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.
[答案] 2
等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：
[跟踪训练]
1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 2
4，则下列结论中正确的是( )
A ．数列{a n }是递增数列
B ．数列{a n }是递减数列
C ．数列{a n }是常数列
D ．数列{a n }有可能是递增数列也有可能是递减数列
详细分析：C [各项均为正数的等比数列{a n }中，因为(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24成立，即a 1a 5
＋a 1a 7＋a 3a 5＋a 3a 7＝4a 24成立．
利用等比数列的定义和性质化简可得a 23＋a 24＋a 24＋a 25＝4a 24，进一步化简得a 23＋a 25＝2a 24. 设公比为q ，则得a 21q 4＋a 21q 8＝2a 21q 6，化简可得1＋q 4＝2q 2，即(q 2－1)2＝0，所以q 2＝1，
故q ＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q ＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C.]
2．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31
32，则公比q ＝ ________ .
详细分析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－1
32.由等比数列前n 项和的性质
知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，
故q 5＝－132，q ＝－1
2.
答案：－
1
2
1．(2020·石家庄市模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( ) A ．28 B ．32 C ．64
D ．14
详细分析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝2，a 5＝16， ∴a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得a 1＝1，q ＝2.则a 6＝25＝32.]
2．(2020·沈阳市模拟)已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27
＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝( )
A. 3
B ．－ 3
C ．－
33
D ．±3
详细分析：B [数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64＝a 3
3，
则a 3＝－4，a 7＝±8
根据等比数列的性质可得a 7＝8舍去， ∴a 7＝－8，∴a 4a 6＝a 3·a 7＝32，
∴tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝tan ⎝⎛⎭⎫323π＝tan ⎝⎛⎭⎫10π＋π－π
3 ＝－tan π
3
＝－ 3.]
3．(2020·淮北市一模)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9
a 5－a 7的值为( )
A ．3
B ．5
C ．9
D ．25
详细分析：D [根据题意，等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45， 则有a 6＝a 4a 7a 5＝15，则q ＝a 6
a 5＝5，
则a 7－a 9a 5－a 7＝a 5·q 2－a 7·q 2
a 5－a 7
＝q 2＝25.] 4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )
A ．16(1－4－
n ) B ．16(1－2－
n ) C.323
(1－4－
n ) D.323
(1－2－n ) 详细分析：C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝1
2.
∴a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝24⎝⎛⎭⎫122n －1＝8⎝⎛⎭⎫14n －1， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝
32
3
(1－4－n )．] 5．(2020·大庆市一模)数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2＋a 4＝10，a 23＝16，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10等于( )
A ．－45
B ．45
C ．－90
D ．90
详细分析：D [因为{a n }为正项递增等比数列，所以a n ＞a n －1＞0，公比q ＞1. 因为a 2＋a 4＝10 ①，且a 23＝16＝a 3·
a 3＝a 2·a 4② 由①②解得a 2＝2，a 4＝8.又因为a 4＝a 2·q 2，得q ＝2或q ＝－2(舍)．则得a 5＝16，a 6＝32， 因为log
2a 1＋log
2a 2＋…＋log
2a 10＝5log
2a 5a 6
＝5log 216×32＝5×9log
22＝45×2log 22＝90.]
6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －
1－3，则m ＝ ________ . 详细分析：a 1＝S 1＝m －3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0， 则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：6
7．(2020·漳州市模拟)等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，其前n 项和为S n ，若a 2是－a 3，a 4的等差中项，则S 6的值为 ______ .
详细分析：假设公比为q ，则可列方程2q ＝－q 2＋q 3，解得q ＝0或2或－1， 其中满足条件的公比只有2.则S 6＝1－261－2＝63.
答案：63
8．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝ ________ (n ∈N *).
详细分析：观察题中的表格可知a 1，a 2，a 3分别为2,6,18，即{a n }是首项为2，公比为3
的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.
答案：2·3n －
1
9．(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)∵a 5＝4a 3，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝2n －1当q ＝－2时，a n ＝(－2)n －1 ∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1.
(2)当q ＝2时，S m ＝1－2m
1－2
＝63，解得m ＝6. 当q ＝－2时，S m ＝1－(－2)m
1＋2＝63.无解． ∴m ＝6.
10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．
(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，
∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1
＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．
又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，
∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，
即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．。