2020年中考复习——常用解题方法【整体代入法】(一)讲义

2020中考复习——常用解题方法【整体代入法】（一）知识点梳理：
我们在计算代数式的值时，有时会遇到出题人给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，那么根据题目特点，将一个代数式的值整体代入。

求值时方便又快捷，这种整体代入的技巧在数学求值中经常用到。

典型例题：
【例1】抛物线y=ax2+bx−3经过点(2,4)，则代数式8a+4b+1的值是()．
A. −15
B. 15
C. 9
D. 3
【解】：∵y=ax2+bx−3过点(2,4)，
∴4=4a+2b−3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=2×7+1=15．
【解题反思】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+
2b=7是解决问题的关键．根据图象上点的性质，将(2,4)代入得出4a+2b=7，即可得出答案．
【例2】若m是一元二次方程x2+x−1=0的根，则m3+2m2−7=________．
【解】：m是一元二次方程x2+x−1=0的根，
∴m2+m−1=0，即：m2+m=1，
∴m3+2m2−7，
=m(m2+m+m)−7，
=m(1+m)−7，
=m2+m−7，
=1−7，
=−6，
【解题反思】
本题考查了一元二次方程的解，代数式的值，整体代入法，根据m是一元二次方程的解可得m2+m=1，然后对代数式变形后整体代入，得到m2+m−7，再次整体代入即可得到答案．
【例3】阅读材料：我们知道，4x−2x+x=(4−2+1)x=3x，类似地，把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)−2(a+b)+(a+b)=(4−2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：
(1)把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2的结果是______．
(2)已知3x2−2y=4，求2x2−4
3
y−4的值；
拓广探索：
(3)已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求(a−c)+3(2b−d)−(2b−c)的值．【解】：(1)∵3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2=(3−6+2)(a−b)2=−(a−b)2；
(2)∵3x2−2y=4，
∴原式=2
3(3x2−2y)−4=2
3
×4−4=−4
3
；
(3)∵a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，
∴a−c=−2，2b−d=5，
∴原式=−2+3×5−(−5)=18．
【解题反思】
本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
(1)利用整体思想，把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2即可得到结果；
(3x2−2y)，把3x2−2y=4整体代入即可；
(2)原式可化为2
3
(3)依据a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，即可得到a−c=−2，2b−d=5，整体代入进行计算即可．
综合训练
一、选择题
1.若2a−b=3，则4a−2b+2的值为()
A. 8
B. 11
C. −5
D. −2
2.长为a，宽为b的长方形的周长为22，面积为24，则a2b+ab2−2a−2b的值为
()
A. 66
B. 121
C. 242
D. 369
3.二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1)，则代数式1−a−b的值为
()
A. −3
B. −1
C. 2
D. 5
4.已知a+b=16，b+c=12，c+a=10，则a+b+c等于()
A. 19
B. 38
C. 14
D. 22
5.已知抛物线y=x2−x−2与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2018的
值是()
A. 2019
B. 2020
C. 2021
D. 2022
二、填空题
6.若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为______．
7.已知a是方程x2−3x−1=0的根，a2
6a+2
=____．
8.若a
b =c
d
=e
f
=2，且b+d+f=5，则a+c+e=__________．
9.已知x，y满足方程组{x−2y=5
x+2y=−3
，则x2−4y2的值为_______．
10.知x=1已是方程3x-m=x+2n的解，则整式m+2n+2008的值等于______
三、解答题
11.已知x+4y=−2,xy=6,求(6xy+7y)+[8x−(5xy−y+6x)]的值。

12.已知a m=2，a n=3，求：
①a m+n的值；
②a3m+2n的值．
13.阅读下文，解答下列小题：
已知a=√5−1，求2a3+7a2−2a−12的值。

解：由已知得(a+1)2=5，所以a2+2a=4
则原式=2a3+4a2+2a+3a2−4a−12
=2a(a2+2a+1)+3a2−4a−12
=2a(a+1)2+3a2−4a−12
=2a×5+3a2−4a−12
=3a2+6a−12
=3(a2+2a)−12
=3×4−12
=0
仿照上例，解答下题：设a=√7−1，求3a3+12a2−6a−12的值。

14.设A=2x2+xy+3y2，B=x2−xy+2y2
(1)若x2与|2x−y2+2|互为相反数，求2A−3(2B−A)的值．
(2)若x2+y2=4, xy=−2,求A−B的值。

收起
15.请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来；
(2)如果图中的a，b(a>b)满足a2+b2=57，ab=12，求a+b
的值；
(3)已知(5+2x)2+(3+2x)2=60，求(5+2x)(2x +3)的值．
16. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3 ①4x +11y =5 ②
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③ 把方程①带入③得：2×3+y =5，∴y =−1
把y =−1代入①得x =4，∴方程组的解为{x =4y =−1
． 请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19 ②
(2)已知x ，y 满足方程组{3x 2−2xy +12y 2=47 ①2x 2+xy +8y 2=36 ②
． (i)求x 2+4y 2的值；
(ii)求1x +12y 的值．
答案和解析
1.A
2.C
解：因为长方形的周长为22，面积为24，
所以2(a+b)=22，
a×b=24，
解得a=8，b=3，
所以a2b+ab2−2a−2b=ab(a+b)−2(a+b)=(ab−2)(a+b)=242.
3.B
解：∵二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1)，
∴a+b−1=1，
∴a+b=2，
∴1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1．
4.A
解：{a +b =16b +c =12c +a =10
， 三个等式相加得：2a +2b +2c =38， 所以a +b +c =19．
5. B
解：∵抛物线y =x 2−x −2与x 轴的一个交点为(m,0)， ∴m 2−m −2=0，
∴m 2−m =2，
∴m 2−m +2018=2+2018=2020．
6. 4
解：∵a =b +2，
∴a −b =2，
∴a 2−2ab +b 2=(a −b)2=4．
7. 12
解：∵a是方程x2−3x−1=0的根，∴a2−3a−1=0，
∴a2=3a+1，
∴a2
6a+2=3a+1 
2(3a+1)
=1
2
．
8. 10
解：∵a
b =c
d
=e
f
=2，
∴a=2b，c=2d，e=2f，∴a+c+e=2(b+d+f)，∵b+d+f=5，
∴a+c+e=2×5=10．9.−15
解：原式=(x+2y)(x−2y)
=−3×5
=−15
10. 2010
解：把x=1代入3x−m=x+2n得：3−m=1+2n，m+2n=2，则m+2n+2008=2+2008=2010．
11.解：∵x+4y=−2，xy=6，
∴(6xy+7y)+[8x−(5xy−y+6x)]
=6xy+7y+(8x−5xy+y−6x)
=6xy+7y+8x−5xy+y−6x
=(6xy−5xy)+(7y+y)+(8x−6x)
=xy+8y+2x
=xy+2(x+4y)
=6−4
=2．
12.解：∵a m=2，a n=3，
①a m+n=a m⋅a n=2×3=6；
②a3m+2n=a3m·a2n，
=(a m)3·(a n)2，
=23·32，
=8×9
=72．
13.解：∵a=√7−1，
∴(a+1)2=(√7−1+1)2=7
∴a2+2a=6，
∴原式=3a(a2+2a)+6a2−6a−12
=3a×6+6a2−6a−12
=6a2+12a−12
=6(a2+2a)−12
=6×6−12
=24.
14.解：(1)由已知得：x2+|2x−y2+2|=0，
所以，x=0，y2=2，
此时，2A−3(2B−A)
=2A−6B+3A
=5A−6B
=5(2x2+xy+3y2)−6(x2−xy+2y2)
=10x2+5xy+15y2−6x2+6xy−12y2
=4x2+11xy+3y2
=0+0+3×2
=6；
(2)因为x2+y2=4,xy=−2,
所以：A−B=(2x2+xy+3y2)−(x2−xy+2y2)
=2x2+xy+3y2−x2+xy−2y2
=x2+y2+2xy
=4+2×(−2)
=0．
15.解：(1)根据图中条件得，a2+b2+2ab=(a+b)2；
(2)∵a2+b2=57，ab=12，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=81，
∵a+b>0，
∴a+b=9；
(3)设5+2x=a，2x+3=b，
则a2+b2=60，a−b=2，
∵a2+b2−2ab=(a−b)2，
∴60−2ab=4，
∴ab=28，
∴(5+2x)(2x+3)=28．
16.解：(1)把方程②变形：3(3x−2y)+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，即y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为{x=3
y=2
；
(2)(i)由①得：3(x2+4y2)=47+2xy，即x2+4y2=47+2xy
3
③，
把③代入②得：2×47+2xy
3
=36−xy，
解得：xy=2，
则x2+4y2=17；
(ii)∵x2+4y2=17，
∴(x+2y)2=x2+4y2+4xy=17+8=25，
∴x+2y=5或x+2y=−5，
则1
x +1
2y
=x+2y
2xy
=±5
4
．。