山东省菏泽市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

山东省菏泽市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ） A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
2．设P 是曲线2
1ln 2
y x x
x =--上的一个动点，记此曲线在点P 点处的切线的倾斜角为θ，则θ可能是（ ） A ．
6
π B ．
34
π C ．
56
π D ．
4
π 3．三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，243AC BC ==，O 为AC 的中点,CD BO ⊥分别交BO ，AB 于点R 、D ，且DPR CPR ∠=∠，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）
A ．2
B ．33
C ．56
D ．154．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则
3sin(
)2cos(5)2sin()sin()2
π
θπθπ
θπθ++-=---（ ）
A ．3
B ．3-
C ．0
D ．
13
5．已知25
13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 25
23
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
131
log 5c = 则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 31 B ．函数()g x 的最小正周期为π
C ．函数()g x 的图象关于直线3
x π
=
对称
D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
8．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-
B ．4ln3+
C ．4ln3-
D ．
329
9．已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则a b -的最小值为（ ）
A B
C
D 10．已知函数2
11,1,(){42,1,
x x f x x x x -+<=-+≥则函数()2()2x
g x f x =-的零点个数为（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）
A ． 1.2308ˆ.0y
x =+ B ．0.0813ˆ.2y
x =+ C ． 1.234ˆy
x =+ D ． 1.235ˆy
x =+ 12．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，
上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）
D ．（﹣∞，1）
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 为圆()()2
2
:528C x y -+-=上的一个动点，()1,0A -，则线段
AP 的中点Q 的轨迹方程是______.
14．已知向量()1,2,2a =-，则向量a 的单位向量0a =______．
15．在5
21ax ⎫⎪⎭的展开式中5x -的系数与常数项相等，则正数a =______.
16．已知ABC ∆的面积为A,B,C 成等差数列，则BA BC ⋅=____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()2
112
f x ax a x =
-+，()ln g x x =，a R ∈. （1）讨论函数()()y f x g x =+的单调性；
（2）证明：0x ∀>，()1x
e
g x
e x
>
-恒成立. 18．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是,
3x t y m t
=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos()6
π
ρθ=-.
（1）求曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设点,P Q 分别在1C ，2C 上运动，若||PQ 的最小值为2，求m 的值. 19．（6分）ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =．
（1）求角C 的大小； （2）若2b =，7c =
，求a ．
20．（6分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组3
22
ax by x y +=⎧⎨+=⎩.
（1）求此方程组有解的概率；
（2）若记此方程组的解为0
x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.
21．（6分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第n 行的n 个数之和为n a .
（1）设*
13521()n n S a a a a n N -=+++⋅⋅⋅+∈，计算2S ，3S ，4S 的值，并猜想n S 的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
22．（8分）已知a>0，a≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p∨q 真，p∧q 假，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】
分析：直接利用组合数求解即可．
详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为2
615.C =
故选A
点睛：本题考查组合的应用，属基础题.. 2．B 【解析】
分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解． 详解：由21ln 2y x x x =-
-，得1
10y x x x
'=--（＞），
111111x x x x --
=-+≤--（），
当且仅当1x = 时上式“=”成立．
1y ∴'≤- ，即曲线在点P 点处的切线的斜率小于等于-1．
则1tan θ≤- ，
又[0θπ∈，） ，3]24
ππ
θ∴∈（，．
故选：B ．
点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 3．B 【解析】 【分析】
由已知可知AC =BOC ∆是正三角形，从而30BCR ∠=，3,4CR CD ==，进而1DR =，PR 是
DPC ∠的平分线，
1
3
DP DR PC RC ==，由此能求出三棱锥P ABC -体积的最大值. 【详解】
由题意得AC =OC OB BC ===， 所以BOC ∆是正三角形，
CD BO ⊥分别交BO ，AB 于点R 、D ，DPR CPR ∠=∠，
30
BCR
∴∠=，
3
3
2
CR
BC
==，4
3
CD BC
==,
1
DR
∴=，
DPR CPR
∠=∠，∴PR是DPC
∠的平分线，
∴
1
3
DP DR
PC RC
==，
以D为原点，建立平面直角坐标系，如图：
设()
,
P x y
()
22
22
1
3
4
x y
x y
+
=
-+
，
整理得
2
2
59
24
x y
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，
max
3
2
y
∴=，
因此三棱锥P ABC
-体积的最大值为
max max
1131
62333
3322
ABC
V y S
∆
=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
根据直线斜率与倾斜角的关系求出tanθ的值，原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanθ的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：由已知可得，tanθ＝2，
则原式
23
1
cos cos
cos sin tan
θθ
θθθ
---
===
--
1．
故选A．
【点睛】
此题考查了诱导公式的作用，三角函数的化简求值，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 5．D 【解析】 【分析】
对于,a b 看成幂函数，对于c 与,a b 的大小和1比较即可 【详解】
因为2
5
y x =在()0,∞+上为增函数，所以b a >，由因为25
13113a ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭，25
23213b ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭
⎭，
1
13
3
11
log log 153c =>=，所以c b a >>，所以选择D 【点睛】
本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较． 6．D 【解析】 【分析】
根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】
函数()f x 向右平移
6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；
3
x π
=
时，6
6
x π
π
-
=
，则3
x π
=
不是()g x 的对称轴，可知C 错误；
当2,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，0,62
x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣
⎦
，此时()g x 单调递增，可知D 正确.
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，
关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.
7．D
【解析】由A，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与n 垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.所以选D.
考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
8．C
【解析】
【分析】
【详解】
由
1
xy
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
1
3
xy
y
=
⎧
⎨
=
⎩
解得
1
3
3
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
3
y
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
解得
3
3
x
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，所围成的平面图形的面积为S，则()()
1
1
1
13
3
11
31(31)323ln|
2
S dx x x
x
⎛⎫
=⨯--+-=+-
⎪
⎝⎭
⎰，4ln3
S=-，故选C.
9．C
【解析】
试题分析：由题意得，(1,1,)
a b t t t
-=----，所以2222
(1)(1)()32
a b t t t t
-=--+-+-=+，当0
t=时，a b
-的最小值为2，故选C.
考点：向量的运算及模的概念.
10．B
【解析】
画出函数()2
11,1,{
42,1,
x x f x x x x -+<=-+≥的图像如图，由()()220x
g x f x =-=可得2()2
x
f x =
，则问题化
为函数()2
11,1,{
42,1,
x x f x x x x -+<=-+≥与函数1222
x x
y -=
=的图像的交点的个数问题。

结合图像可以看出两函
数图像的交点只有两个，应选答案B 。

点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。

11．A 【解析】 【分析】
由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程． 【详解】
设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23ˆy x a =+．
又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =⨯+， ∴0.08a =，
∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0y
x =+． 故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题． 12．B 【解析】 【分析】
根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。

【详解】
根据题意，函数()y f x = 满足(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，
若函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，则()f x 在[)1
+∞，上递增， 所以要使(22)(2)f x f ->，则有2211x -->，变形可得231x ->， 解可得：2x >或1x <，即x 的取值范围为(,1)(2,)-∞⋃+∞； 故选：B ． 【点睛】
本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．22(2)(1)2x y -+-= 【解析】 【分析】
根据相关点法，P 、Q 是两个相关点，找出Q 的坐标与P 的坐标之间的关系，借助P 的方程可以求出Q 的方程． 【详解】
解：设()00,P x y ，(,)Q x y ，由已知有021x x =-，02y y =，即021x x =+，02y y =，
因为P 是圆C 上的一个动点，所以()00,P x y 满足圆的方程22
00(5)(2)8x y -+-=，
代入021x x =+，02y y =，得22(215)(22)8x y +-+-=，整理得，22
(2)(1)2x y -+-=．
故答案为:2
2
(2)(1)2x y -+-=. 【点睛】
此题考查了用相关点法求轨迹方程的问题.在求点的轨迹方程时，常设出该点的坐标为(),x y ，根据已知条件列出关于,x y 的方程.还有的题目可以依据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，求轨迹方程前首先判断出轨迹的形状，进而求解. 14．12
2,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
计算出a ，从而可得出0a a a
=，即可求出向量0a 的坐标.
【详解】
()1,2,2a =-，2123a ∴=+=，
因此，向量a 的单位向量01122,,3
333a
a a a ⎛⎫=
==- ⎪⎝⎭.
故答案为：12
2,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量a 同向的单位向量为a a
”的应
用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
15 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项公式，求出展开式中5x -的系数、展开式中的常数项，再根据它们相等，求出a 的值. 【详解】
解：因为5
21ax ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为552151r
r
r r T C x a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令
5552
r
-=-，求得3r =， 故展开式中5x -的系数为3
35
1C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 令
5502
r
-=，求得1r =， 故展开式中5x -的系数为1515C a a
=， 所以3
3515C a a
⎛⎫= ⎪
⎝⎭， 因为a 为正数，
所以a =
. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 16．8 【解析】
分析：根据三角形的面积公式求解AB BC 即可．
详解：根据三角形的面积公式1S 2sinB AB BC ==A,B,C 成等差数列故0B 60∠=，16AB BC =，所以B 8BA BC cos AB BC ∠⋅==
点睛：三角形的面积公式，和向量的内积公式的角度一样，边长就是两个向量的模，故整体替换相互转化．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）当0a ≤时，()()y f x g x =+在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当01a <<时，
()()y f x g x =+在()0,1和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()()y f x g x =+在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()()y f x g x =+在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()1,+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可求得()()11ax x y x
--'=，分别在0a ≤、01a <<、1a =、1a >四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：ln x x x x e e
>-，令()()ln 0h x x x x =>，()()0x
x x e x e μ=->，利用导数求得()min h x 和()max x μ，可证得()()min max h x x μ>，从而证得结论. 【详解】 （1）()()()211ln 2y f x g x ax a x x =+=
-++，()0,x ∈+∞ ()()()()2111111ax a x ax x y ax a x x x
-++--'∴=-++== ①当0a ≤时，10ax
()0,1x ∴∈时，0y '>；()1,x ∈+∞时，0y '<
()()y f x g x ∴=+在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减
②当01a <<时，11a
> ()0,1x ∴∈和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，0y '>；11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0y '< ()()y f x g x ∴=+在()0,1和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 ③当1a =时，11a
= 0y '∴≥在0,∞+上恒成立
()()y f x g x ∴=+在()0,∞+上单调递增
④当1a >时，101a
<< 10,x a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
和()1,+∞时，0y '>；1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '< ()()y f x g x ∴=+在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()1,+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 综上所述：当0a ≤时，()()y f x g x =+在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当01a <<时，
()()y f x g x =+在()0,1和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()()y f x g x =+在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()()y f x g x =+在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减 （2）对0x ∀>，()1x e g x e x >
-恒成立即为：0x ∀>，1ln x e x e x >- 等价于：ln x x x x e e
>- 令()()ln 0h x x x x =>，则()ln 1h x x '=+
10,x e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '> ()h x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 ()min 1111ln h x h e e e
e ⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭ 令()()0x x x e x e μ=->，则()1x x x e
μ-'= ()0,1x ∴∈时，()0x μ'>；()1,x ∈+∞时，()0x μ'<
()x μ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减
()()max 11x e e
μμ∴==- 综上可得：()()min max h x x μ>，即ln x x x x e e
>-在()0,∞+上恒成立 ∴对0x ∀>，()1x e g x e x
>
-恒成立 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系
18．
(1) 2220x y y +--= (2) 6m =或10m =-.
【解析】
【分析】
（1）由极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出曲线2C 的直角坐标方程；
（2）由（1）先确定2C
是圆心为)
，半径为2的圆，再由曲线1C 的参数方程得到其普通方程，根据点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】
解：（1）因为4cos 6πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，
所以2sin ρθθ=+，
所以2cos 2sin ρθρθ=+.
将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，
得2C
的直角坐标方程为2220x y y +--=.
（2
）将2220x y y +--=
化为(()2214x y +-=， 所以2C
是圆心为)
，半径为2的圆. 将1C
的参数方程化为普通方程为0y m -+=，
所以
min 2||2222m PQ +=-=-=，
解得6m =或10m =-.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解，属于常考题型.
19．⑴3C π=
(2) 3a =
【解析】
【分析】
⑴由正弦定理及sin cos c
A C =，得tan C =0C π<<，所以3C π=
；
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得a
⑴由正弦定理sin sin a c A C
= 得sin sin c A a C =，
由已知得sin cos a C C =
，tan C =
因为0C π<<，所以3C π
=
⑵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得22224cos 3a a π
=+-⨯
即2230a a --=，解得3a =或1a =-，负值舍去，
所以3a =
【点睛】
解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等
20．（1）1112；（2）1336
. 【解析】
【分析】
（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；
（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】
（1）因为方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a b a b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩
因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b
---≠>>--， 因此12,,33
a a
b b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯；
本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.
21．（1）423416,81,256,n S S S S n ====；（2）见解析．
【解析】
分析：直接计算23416,81,256S S S ===，猜想：4n S n =；
（2）证明：①当1n =时，猜想成立. ②设()*n k k N
=∈时，命题成立，即4k S k =
③证明当1n k =+时，成立。

详解：（1）解：111S a ==，213145616S S a =+=+++=，
32516111213141581S S a =+=+++++=，
43581222328256S S a =+=+++⋅⋅⋅=，
猜想4n S n =；
（2）证明：①当1n =时，猜想成立.
②设()*n k k N =∈时，命题成立，即4k S k =，
由题意可知()][()111222n n n n n a ⎡⎤--=+++⎢⎥⎣⎦ ()12n n n ⎡⎤-+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦
()
()()21112
22n n n n n n n +-+=⋅+=. 所以()()221212112k k k a +⎡⎤+++⎣⎦= ()()232212214641k k k k k k =+++=+++，
4321214641k k k S S a k k k k ++=+=++++ ()41k =+，
所以1n k =+时猜想成立.
由①、②可知，猜想对任意*n N ∈都成立.
点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。

根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。

数学归纳法证明必须有三步：
①当1n =时，计算得出猜想成立.
②当()*n k k N =∈时，假设猜想命题成立，
③当1n k =+时，证明猜想成立。

22． [12，1)∪(52
，＋∞)． 【解析】
先求出当命题p ，q 为真命题时a 的取值范围，由p∨q 真，p∧q 假可得p 与q 一真一假，由此可得关于a 的不等式组，解不等式组可得结论．
【详解】
当命题p 为真，即函数y ＝loga(x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减时，
可得01a <<．
当命题q 为真，即函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点，
可得()2223441250a a a ∆=>＝－－－＋， 解得1522
a a 或， 又0a >，
所以当q 为真命题时，有15022
a
a <或． ∵p∨q 为真，p∧q 为假，
∴p 与q 一真一假． ①若p 真q 假，则011512
2a a a <<⎧⎪⎨≤<≥⎪⎩或 ，解得112a ≤<； ②若p 假q 真，则115022a a a >⎧⎪⎨<⎪⎩
或 ，解得52a >． 综上可得
112a ≤<或52
a >． ∴实数a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)． 【点睛】
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤：
(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p ，q 的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．。