课件5：直接证明与间接证明

特点
步骤的 符号表
示
从“_已__知__”看“_可__知__”， 逐步推向“_未__知__”，其逐 步推理，实际上是要寻找它 的__必__要__条__件__
P0需__知__”， 逐步靠拢“_已__知__”，其逐 步推理，实际上是要寻找它 的_充__分__条__件___
适用范围： ❖ (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证
无条件的等式或不等式． ❖ (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近
结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关 系不明确，逻辑表达混乱．
活学活用 1 已知 a、b、c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6. [证明] (1)法一 a2＋b2＋c2－13 ＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)
(1)否定性命题； 适 (2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”
等词语的； 用 范 (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太
少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明 围
的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
[典例透析] 考向一 综合法的应用 例 1 对于定义域为[0,1]的函数 f(x)，如果同时满足： ①对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若 x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有 f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2) 成立，则称函数 f(x)为理想函数．
从_待___证__结__论__出发，一步一步 寻求结论成立的_充___分__条__件__，
定义
_待__证___结__论__的方法，是一 种从_原__因__推导到_结__果__的
思维方法
最后达到题设的已知条件或已
被证明的事实的方法，是一种
从_结__果__追溯到__产__生__这__一_____ _结__果__的__原__因_____的思维方法
＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， ∴a2＋b2＋c2≥13. 法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2 ＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2≥13.
法三 设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ. ∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2≥13， ∴a2＋b2＋c2≥13.
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件
③.
∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，
f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
❖ 拓展提高 ❖ 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的
[证明] 要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，
只要证
a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2.
∵a>0，故只要证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，
即 a2＋a12＋4 a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2，从
而只要证 2 a2＋a12≥ 2a＋1a， 只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，即 a2＋a12≥2，
＝x13＋x12－xx2＋1 1＞0， 于是 f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋xx22－ ＋21－xx11＋－12＞0， 故函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)假设存在 x0＜0(x0≠－1)满足 f(x0)＝0， 则 ax0＝－xx00＋－12. ∵a＞1，∴0＜ax0＜1， ∴0＜－xx00－ ＋21＜1，即12＜x0＜2，与假设 x0＜0 相矛盾，故 方程 f(x)＝0 没有负数根．
(2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤3a＋22＋1＝3a＋ 2 3， 同理 3b＋2≤3b＋ 2 3， 3c＋2≤3c＋2 3， ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤3a＋b2＋c＋9＝6， ∴原不等式成立．
考向二 分析法的应用 例 2 已知 m>0，a，b∈R，求证：a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2. ❖ 思路点拨 本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑 使用分析法． ❖ [证明] ∵m>0，∴1＋m>0. ❖ 所以要证原不等式成立， ❖ 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， ❖ 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， ❖ 即证(a－b)2≥0， ❖ 而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
[证明] (1)任取 x1，x2∈(－1，＋∞)， 不妨设 x1＜x2，则 x2－x1＞0. ∵a＞1， ∴ax2－x1＞1 且 ax1＞0， ∴ax2－ax1＝ax1·ax2－x1－1＞0. 又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0， ∴xx22－ ＋21－xx11＋－12 ＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12x2＋1
活学活用 3 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 0<x<c 时，f(x)>0.
(1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明1a>c. [证明] (1)∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c 是 f(x)＝0 的根， 又 x1x2＝ac，∴x2＝1a1a≠c，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
考向三 反证法的应用 例 3 (2015·浙江杭州模拟)已知函数 f(x)＝ax＋xx＋－12(a＞1)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
思路点拨 (1)用增函数定义证明；(2)假设有负数根，根据 指数函数性质证出矛盾．
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已 知)
❖ 2．间接证明
反证法
要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假 定 设_Q__不___成__立___ (即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推 义 理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断
定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．
证 (1)分清命题的条件和结论； 明 (2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 步 (3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； 骤 (4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
❖ 拓展提高 ❖ 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需
知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已 经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是 否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达 中要注意叙述形式的规范性．
活学活用 2 已知 a>0， 求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
❖ 拓展提高 ❖ 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以
否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确 的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与 假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方 面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数 学证明中的一件有力武器．
∴1a是 f(x)＝0 的一个根．即1a是函数 f(x)的一个零点．
(2)假设1a<c，又1a>0，由 0<x<c 时，f(x)>0，
知
1 fa>0
与
f1a＝0
矛盾，∴1a≥c，
又∵1a≠c，∴1a>c.
❖ 【方法与技巧】
❖ [思维升华]
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自 然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较 繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思 考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然 后再用综合法叙述出来．
(1)若函数 f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0； (2)试判断函数 f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x) ＝ x(x∈[0,1])是否是理想函数．
❖ 思路点拨 ❖ (1)取特殊值代入计算即可证明； ❖ (2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有
条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理 想函数”的结论．
(1)证明：取 x1＝x2＝0，则 x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是 f(0)＝0. (2)解：对于 f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2 不满足新定义中的 条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于 f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1. 任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2) ＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0， 即 f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数． 对于 f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有 f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2＋x2)＝ －2 x1x2≤0， 即 f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.
第七章 不等式、推理与证明
7.5 直接证明与间接证明
考纲要求
❖ 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法； 了解分析法和综合法的思考过程和特点．
❖ 2．了解反证法的思考过程和特点．
❖ 1．直接证明
❖ [要点梳理]
内容
综合法
分析法
从_已__知___条__件__出发，经过
逐步的推理，最后达到
❖ 【失误与防范】
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范 性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一 个明显成立的结论．
2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用 假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其 推理过程是错误的．
本节内容结束
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