课时作业14：1.3.2 命题的四种形式

1．3.2命题的四种形式
一、选择题
1．“如果x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是()
A．如果x≤y，则x2≤y2
B．如果x＞y，则x2＜y2
C．如果x2≤y2，则x≤y
D．如果x＜y，则x2＜y2
答案 C
解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．无关命题
考点四种命题的相互关系
题点四种命题相互关系的应用
答案 A
3．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()
A．互逆命题B．互否命题
C．互为逆否命题D．以上都不正确
答案 A
解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
4．命题“若a>2，则a>1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．4
考点四种命题的真假判断
题点利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析“若a>2，则a>1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．
又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
5．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为()
A．①②B．②③
C．①③D．③④
考点四种命题的真假判断
题点利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是()
A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
答案 B
解析如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，
故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，
该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．
7．下列说法错误的是()
A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
答案 C
解析C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例如a ＝1.2，b ＝0.3.
二、填空题
9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
10．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
答案 1
解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
11．给定下列命题：
①“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”的逆否命题；
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x －32
是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①
解析 显然①为真；②为假；对于③，原命题“若x －32
是有理数，则x 是无理数”为假命题，
所以其逆否命题为假命题；对于④，“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．
三、解答题
12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当m >14
时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0.
解 (1)逆命题：当mx 2－x ＋1＝0无实根时，m >14
， 真命题；
否命题：当m ≤14
时，mx 2－x ＋1＝0有实根，真命题； 逆否命题：当mx 2－x ＋1＝0有实根时，m ≤14
，真命题． (2)逆命题：当a ＝0或b ＝0或c ＝0时，abc ＝0，真命题；
否命题：当abc ≠0时，a ≠0且b ≠0且c ≠0，真命题；
逆否命题：当a ≠0且b ≠0且c ≠0时，abc ≠0，真命题．
13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，
因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．
方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．
14．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，求实数m 的取值范围．
考点
题点 解 由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．
又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧
－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1
＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，
即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5
. 由12x 2－3x ＋1
＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12
或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，
则需A B .
令a ＝4，得p ：x ＜－35
或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，
此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1
＞0”．。