高中物理竞赛-天体部分习题精选

1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.
证明 设球壳单位面积质量为ρ,壳内P 点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元△S 1,距P 为r 1,过此面元边界与P 连接并延长,在球壳上又取下对应面元△S 2,距P 为r 2,可得△S 1与△S 2对质点m 的总万有引力F i 为 F i =F 1- F 2.
图4-17 F i =G ·
1m r 12ρ△S - G ·2m r 2
2
ρ△S =G ρm(1
21r S △ - 2
22r S △).
从图中可得
12
1r S △ - 2
2
2
r S △.
因为△S 1和△S 2很小,所以
△S 1=△S '
1
cos θ,△S 2=△S '2cos θ, 即
121r S △ =2
22
r S △. 这样可得 F i =0. 所以 F=i i=1
F ∑=0.
2.两个质量为1.0g 的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点
O P 1S 2S
1r
2r
θ
O
'1S
'2
S P
1S
2S
固定.如果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？
解 设想m 1绕m 2做半径为l 的圆周运动，m 2为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m 1做类似于太阳系行星的运动.设m 1在A 点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m 2为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别为T 和T ’，圆半径和椭圆半长轴分别为l 和l ’
，由开普勒第三定律有 2
3l T =3l T
2’
’
○1
当m 1在A 点的速度减为零时，有l ’
→12，则m 1从A 运动到m 2的时间t='
2T .
又因为m 1做圆周运动时，受向心力F n =122
m m l G =m 1l 2
24T
π作用，故 23
l T =2
2
4m G π. ○2 由○
1 、○2两式得T ’
=2π（l ’
）3
2
，所以t='2T =π(12)32
×108s.
3.求半径为R 的液态行星中心处压强，假设液态不可压缩且密度为ρ.若R=6.4×106m ，ρ=1.7×103kg/m 3，计算此压强。

解 将行星球体分成大量厚△r 的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m 的微粒.圆锥从球层上分出面积分别为S 1和S 2两部分（图4-19）.
若球层单位面积表面摊有物质的质量为μ，则S 1和S 2部分对质量m 的万有引
图4-18
A
1m
l
T ’
T
2m
力分别为
112
1
m S r F G
=μ，2
222m S r F G =μ， 但是
1121cos r S =α2
22
2cos r S =αΩ, 式中：Ω为圆锥顶点O 处立体角. 作OM 1=OA 1和OM 2=OA 2，所以 ∠OA 1M 1=∠OA 2M 2.
图4-19 此外，∠OA 1B 1=∠OA 2B 2.因为α1=∠OA 1B 1-∠OA 1M 1，α2
=∠OA 2B 2-∠OA 2M 2，
所以α1=α
2，因此，
12
1r S =2
22
r S . 结果F 1 =F 2，这两个力彼此相互平衡.对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论.
体积△S △r 元层所受指向行星中心的引力为3
2
4r r 3=r
S F G πρ△△ρ
. 式中：r 是从此元层到行星的距离. 由此求出厚△r 部分压强的增加为
24p==r r 3F G S π△ρ△△.
于是在离行星中心距离r 0处的压强为
204p=p +r r 3
G π∑ρ△.
由于r r ∑△等于图像y=r 与轴r 所围图形面积，所以
22
00+r -r -r r r=
=22
R R R ∑（）（）△， 1α
1A
1B 1S
1M
O
1r
Ω
2α
2
S
2A
2B 2M 2r
因而2
22002p=p +r 3
G R π-ρ（）. 取行星表面处压强等于零，得到 22202p=r 3
G R π-ρ（）. 在行星中心处（r 0=0）压强等于
222p=3
G R πρ. 代入ρ和R 数值，得到
P ≈1.6×1029N/m 2.
4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km 2的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R 地=1.5×108km 的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10-5pa.问：
（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？
（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R 火=2.3×108km 的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.
太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M 太G=1.3×1011km 3/s 2.
解 （1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为
F=G 2M m R 太地 - pS = G 2M m R 太地 - G 2
2
m p m R S G R 地地
= G 22
[M - pSR /Gm ]m R 太地地
（） 可见，太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M 太，而是某个减少后的等效质量，即
M 效= M 太- 2
p m
SR G 地
.
我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M 效的物体的引力场里，航天器总机械能为
E = 12mv 2
- G m M R
效.
根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于 E =
12mv 2地- G m M R 效地
， 式中：v 地为航天器在离太阳距离R 地且当帆张开时具有的速度。

根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.
m 2
v 地
地
R = G 2m M R 太地，即v 地由此可见，
E = G m R 地
(- M 2M 太
效) = G m R 地(2
p -m
2M SR G 太
地).
如果E ≥0,即在下面条件下
2
p -m 2
M SR G 太地≥0，
航天器可以飞离太阳系。

由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。

（2）设M 为某一质量m 1时，航天器与火星轨道相切，[航天器能够飞到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m 中，m 1是最大的].在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R 地+R 火）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。

根据机械能守恒定律，有
211m v - 2地G 1m M R 效地 = 2
11m v 2火 - G 1m M R 效火
，
V2
地 - V2
火
= 2GM
效
（
1
R
地
-
1
R
火
）.
根据开普勒第二定律V
地R
地
= V
火
R
火
，即
V
火= V
地
R
R
地
火
.
综合上两式并考虑到v
地
2 M
效
R
火
= M
太
（R
火+ R
地
），即2（M
太
-
2
p
m
SR
地
1
G
）R
火
= M
太
( R
火
+ R
地
）.
由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m
1
：
m 1 =
2
2p
m
SR
地
太
G-
R
R R
火
火地
≈104kg.
5. 质量为400kg的宇宙飞船绕地球沿离地面高h
1
=200km的圆周轨道运行.启动火箭，发动机在短时间△t内工作，使宇宙飞船速度增加了△v=10m/s，而运
行轨道变为椭圆形，离地面最近距离h
1=200km，离地面最远距离h
2
=234km.球
在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v
2
为多少，火箭发动机牵引力F多大，工作时间△t多长，消耗燃料质量△m多少以及火箭发动机的工作效率η多大. 飞船质量的变化不计.地球的半径R≈6370km，地球的质量M=6×1024kg，万有
引力恒量G=6.67×10-11N〃m2/kg2，每秒消耗燃料m
0=
m
t
△
△
= 1kg/s，喷气
流速度u=4000m/s.燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2×107J/kg.
解离地面最近点宇宙飞船速度v
1
等于
v 1= v
+ △v .
沿圆周轨道运行速度v
0可以由下面方程求得
图4-20
201mv 2 = 1
m 2M G R . 式中：R 1 = R + h 1 = 6.57×106m . 由此 v 0
代入数值，得到
v 0
=7.805×103m/s ,
v 1=7.805×103+10=7.815×103m/s. 根据动量守恒定律，有 mv 1R 1= mv 2R 2
所以在远点速度v 2为v 2=
11
2
v R R ， 式中：R 2 = R + h 2 = 6.604×106m . 代入数值，可得
v 2= 36
6
7.81510 6.570106.60410
⨯⨯⨯⨯ =7.775×103m/s.
根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力F
F △t = △mu ，
式中：△m 为在时间△t 内火箭发动机喷出的气体质量，u 为喷气流速度.
改写这方程
F = m
u t
=c m u . 代入数值，得到F=1×4000=4×310N.
发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到：F △t = m △v ，
得：m v 40010
t=
==1s 4000
F ⨯ . 消耗燃料和氧化剂的质量△m 可以根据对于“飞船——燃料物”系统动量守恒定律得到：m v=m u ，
即m v 40010
m===1kg u 4000
⨯ . 火箭发动机工作效率由下式确定：=P
Q
η，式中P 为发动机功率，Q 为燃料燃烧时释放的功率。

由于2
0m u =2
P ，Q=m 0q ，所以火箭发动机工作效率等于：
232
7
u 410===0.67.2q 2 1.210η⨯⨯⨯（） 6.木星彗星族的形成粗略描述为下 面.彗星从遥远处无初速“落”向太阳， 并从木星不远处飞过（图4-21）当木星引 力场对彗星的显著影响消失后，它又在太 阳引力场中运行，并且它的速度方向与木 星速度方向相反.彗星新轨道的远日点位于 木星轨道附近，即在离太阳为R=5.2天文单位
处.
试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳 多远处.
解 注意：太阳为巨重木星103倍，结果同太阳影响相比，木星引力范围大小为其轨道半径的10-6.并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短.因而，在这段时间内彗星的
摄动就算不了什么.所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段：（1）彗星从遥远处沿着指向太阳系方向，在太阳引力作用下运行；（2）在木星引力场里“瞬间”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运行（且可不必考虑木星的影响）.
木星受到太阳（质量为M ）的引力作用而沿着圆周轨道运行，其条件为
22
v =R GM R .
由此得到木星的速度当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度k v 由能量守恒定律得出
2
k v -=02GM R ，即k v . 木星和彗星两星速度方向互相垂直，则彗星相对木星速度等于
1v =v ’）.
从飞出木星引力场后（第三阶段开始），彗星相对与行星速度只改变了方向，而相对太阳速度大小为
1v =v ）
现在彗星重新仅与太阳相互作用，在远日点和近日点速度均垂直于从太阳引出的半径矢量，于是根据开普勒第二定律有
12v v x
R .
根据能量守恒定律有
2212v v - = - 22x
GM GM R . 解上述两个方程，有1x = = 5.2R 天文单位，这是轨道远日点与太阳距离；
2x =0.37=1.9R R （天文单位，这就是所求轨道的近日点到太阳的距离.。