路南区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

4． 集合1, 2,3 的真子集共有（ ）
A．个
B．个
C．个
D．个
5． 若函数 f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（
， ），则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞0
B．﹣1＜a＜0
C．a＞1
D．0＜a＜1
6． 从 5 名男生、1 名女生中，随机抽取 3 人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第
一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）
A． B． C． D．
7． 将函数 y sin 2x （ 0 ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的
8
最小值为（ ）
（A） 3 4
（ B ） 3 8


（C）
4
（D）
8
8． 现要完成下列 3 项抽样调查：
6． 【答案】B 【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为 ，
第二次不被抽到的概率为 ，
第三次被抽到的概率是 ，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是
故选 B． 7． 【答案】B
=，
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22．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=3Sn﹣2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前 n 项和 Tn．
23．已知 f（x）=|x﹣1|+|x+2|． （1）解不等式 f（x）≥5； （2）若关于 x 的不等式 f（x）＞a2﹣2a 对于任意的 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
．
在点
处的切线方程；
，若函数
在
上(这里
）恰有两个不同的零点,求
20．（本小题满r 分 12 分）r 已知平面r向量r a (1,rx) ，r b (2x 3, x) ， (x R) . （1）若 a / /b ，求| a b | ；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
21．设 0＜a＜1，集合 A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合 D（用区间表示） （2）求函数 f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax 在 D 内的极值点．
1． 【答案】A 【解析】
考 点：二元一次不等式所表示的平面区域. 2． 【答案】A
【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件
的可行域，
由
得 A（3，5），
当直线 z=x﹣y 平移到点 A 时，直线 z=x﹣y 在 y 轴上的截距最大，即 z 取最小值， 即当 x=3，y=5 时，z=x﹣y 取最小值为﹣2． 故选 A．
8
4
4
2
4
8． 【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据， ①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号， 在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选 A． 9． 【答案】D 【解析】解：∵A+B+C=180°， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA， ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即 sin（C﹣A）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础． 10．【答案】A
①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束
后，为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈．
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③高新中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 2 名．为了了解教职工对学校 在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本． 较为合理的抽样方法是（ ） A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 9． 在△ABC 中，若 2cosCsinA=sinB，则△ABC 的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 10．若 a 是 f（x）=sinx﹣xcosx 在 x∈（0，2π）的一个零点，则∀x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（ ）
Hale Waihona Puke 同理假设 f（y0）=c<y0，则不满足 f（f（y0））=y0．
综上可得：f（y0）=y0．
令函数 f x lnx x a x ．
x
设
g
x

lnx x
，求导
g
'
x

1 lnx x2
，
当 x∈（0，e），g′（x）>0，
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g（x）在（0，e）单调递增，
【 解 析 】 将 函 数 y sin 2x ( 0) 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移 个 单 位 后 ， 得 到 一 个 偶 函 数
8
y sin[2(x ) ] sin(2x ) 的图象，可得 ，求得 的最小值为 ，故选 B．
A．
B．
C．
D．
2． 已知实数 x，y 满足
，则目标函数 z=x﹣y 的最小值为（ ）
A．﹣2 B．5 C．6 D．7 3． 过抛物线 C：x2=2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，若抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，
则线段|AF|=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：真子集的概念. 5． 【答案】A
【解析】解：∵函数 f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（
，）
∴f′（x）≤0，x∈（
， ）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（
， ）恒成立
∵1﹣3x2≥0 成立 ∴a＞0 故选 A 【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．
【解析】解：f′（x）=xsinx， 当 x∈（0，π），f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， 当 x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 又 f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0， ∴a∈（π，2π）， ∴当 x∈（0，a），f（x）＞0，当 x∈（a，2π），f（x）＜0，
，则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．【常熟中学
2018
届高三
10
月阶段性抽测（一）】已知函数
f
x

lnx x

x

aaR
，若曲线
y

2e x 1 e2x 1
（ e 为自然对数的底数）上存在点 x0 , y0 使得 f f y0 y0 ，则实数 a 的取值范围为__________.
A．
B．cosa≥
C． ≤a≤2πD．a﹣cosa≥x﹣cosx
11．过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点，与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为（ ） A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0
12．设 0＜a＜1，实数 x，y 满足
转化思想．
15．将曲线 C1:
y

2 sin( x

4
),

0 向右平移
6
个单位后得到曲线 C2
，若 C1 与 C2
关于
x
轴对称，则
的最小值为_________.
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16．设 f（x）是（x2+ ）6 展开式的中间项，若 f（x）≤mx 在区间[ ， ]上恒成立，则实数 m 的取值范
当 x=e 时取最大值，最大值为 g e 1 ，
e
当 x→0 时，a→-∞，
∴a
的取值范围

,
1 e

.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离
参数 k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
路南区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 设集合 A x, y | x, y,1 x y 是三角形的三边长 ，则 A 所表示的平面区域是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________
，即 y= ，故函数 y 为偶函数，它的图象关于 y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】

,
1 e

【解析】结合函数的解析式：
24．已知 和 均为给定的大于 1 的自然数，设集合
， ， ，...， ，集合
（1）当
..。
，
， ， ，...， .
， 时，用列举法表示集合 ；
（2）设 、 ，
..。
，
..。
，其中 、
，，
，...， .证明：若
，则 .
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路南区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案） 一、选择题
14 ． 已 知 a 、 b 、 c 分 别 是 ABC 三 内 角 A、B、C 的 对 应 的 三 边 ， 若 c sin A a cos C ， 则 3 sin A cos(B 3) 的取值范围是___________． 4
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
结合函数的解析式：
f
x

lnx x

x aa R
可得：
f
'x

x2
lnx 1
x2
，
x∈（0，e）， f ' x 0 ，
则 f（x）在（0，e）单调递增，
下面证明 f（y0）=y0．
假设 f（y0）=c>y0，则 f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足 f（f（y0））=y0．
3． 【答案】A 【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x， ∴抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1， ∴B（1， ）， ∵x2=2y 的焦点 F（0， ），准线方程为 y=﹣ ，
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∴直线 l 的方程为 y= ，
∴|AF|=1． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键． 4． 【答案】C 【解析】
令 g（x）= ，g′（x）=
，
∴当 x∈（0，a），g′（x）＜0，函数 g（x）单调递减，当 x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增， ∴g（x）≥g（a）． 故选：A． 【点评】本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力． 11．【答案】A
【解析】解：联立
，得 x=1，y=3，
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∴交点为（1，3）， 过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点， 与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为：2x+y+c=0， 把点（1，3）代入，得：2+3+c=0， 解得 c=﹣5， ∴直线方程是：2x+y﹣5=0， 故选：A． 12．【答案】A
【解析】解：0＜a＜1，实数 x，y 满足
围是 ．
17．已知函数 f（x）=x2+
x﹣b+ （a，b 为正实数）只有一个零点，则 + 的最小值为 ．
18．若关于 x，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 k=
．
三、解答题
19．已知函数 （Ⅰ）求曲线
（Ⅱ）设
实数 的取值范围．
y

2e x 1 e2x 1
可得：
y'

2ex1 1 e2x e2x 1 2
，
令 y′=0，解得：x=0，
当 x>0 时，y′>0，当 x<0，y′<0，
则 x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数 y 单调递减，
则当 x=0 时，取最大值，最大值为 e，
∴y0 的取值范围（0，e]，