第8讲刚体角动量典型例题

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刚体的角动量

2
l M z mg sin 2
19
棒的角加速度就是由该力矩引起的。所以，根据转动定理有
M z J
l 1 2 mg sin ml 2 3
解得棒的角加速度为
3g sin 2l
角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与角速度的方向相反。
20
例题7 一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平
3939当人站在平台中心时刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量即40如图所示细杆的水平轴转动从水平位置自由释放在竖直位置与物体相撞后物体沿水平地面滑行一段mglmgl杆物相碰l守恒gsml杆向右摆杆向左摆42二基本特征回转仪绕对称轴高速旋转陀螺对称轴高速定点外力对定点求力矩对称轴绕定点旋转高速旋转重力对定点每瞬时外力矩只改变角动量的方向不改变角动量的大小mg一进动现象已经自转的物体在外力矩的作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为进动mdtdl角动量定理44sindl而且mdtdldtdlsinsin以上只是近似讨论只适用高速自转即角动量定理陀螺仪定向原理应用不受外力矩作用高速旋转的陀螺由于角动量守恒因而其转动轴的方向不变
在任一位置时棒的角加速度。解：（1）要求转动动能Ek，必
须求出均匀细棒相对于通过过端点轴的转动惯量J,
l x
17
1 J ml 2 3 棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒
此时角速度为
v l
此时棒的转动动能为
1 1 1 2 v 2 1 2 2 Ek J ml ( ) mv 2 2 3 l 6
vi
Lz l zi ( ri mi ) J
Lz等于转动惯量与角速度的乘积。
26
注意：
1. 与质点动量表达式对比

角动量——精选推荐

⾓动量⾓动量、刚体习题4-1 如本题图，⼀质量为m的质点⾃由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。

求：(1)质点对三个点的⾓动量；(2)作⽤在质点上的重⼒对三个点的⼒矩。

4-2 ⼀质量为m的粒⼦位于(x，y)处，速度为v=v x i+ v y j，并受到⼀个沿-x⽅向的⼒f．求它相对于坐标原点的⾓动量和作⽤在其上的⼒矩。

4-3 电⼦的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。

已知电⼦的⾓动量为h/2π，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其⾓速度。

4-4 如本题图，圆锥摆的中央⽀柱是⼀个中空的管⼦，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。

设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶⾓有什么变化？4-5 如本题图，在⼀半径为R、质量为m的⽔平转台上有⼀质量是它⼀半的玩具汽车。

起初⼩汽车在转台边缘，转台以⾓速度ω绕中⼼轴旋转。

汽车相对转台沿径向向⾥开，当它⾛到R/2处时，转台的⾓速度变为多少，动能改变多少？能量从哪⾥来？4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在⼀根不可伸长的绳⼦的两端，以⾓速度ω在光滑⽔平桌⾯上旋转。

它们之中哪个对质⼼的⾓动量⼤？⾓动量之⽐为多少？4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以⾓速度ω旋转。

然后突然将m2放开，求以后此系统质⼼的运动，绕质⼼的⾓动量和绳中的张⼒。

设绳长为l。

4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向⼀根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所⽰。

若将每个运动员看成⼀个质点，细扦的质量可以忽略不计。

(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的⾓动量；(2)他们每⼈都⽤⼒往⾃⼰⼀边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各⾃的速率是多少？(3)求此时细杆中的张⼒；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。

角动量例题

1 mL2
o
L
3
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在
棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有:
o
x dx B x
A
dm
L
L
2o2
J端点
x2dm
m
L 2 L 2
x2

m L
dx

1 12
mL2
2.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解法二利用动能定理求解.
对于物体m 利用质点的动能定理有
mgh

Th

1 2
mv
2

1 2
mv
2 0
其中 v0 和 v 是物体的初速度和末速度.
对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有
TR

1 J 2
2

1 2
J
2 0
其中是在拉力矩TR 的作用下滑轮转过的角度，0和是滑轮的初末角速度.
a2 GM
T2R T1R

M阻

J

1 2
mR
2

据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
(M m)g M阻
a
R M m m
2
(2M m)mg mM阻
解作示意图如右,由于质量连续分布，所以由转动惯量的定义得
J R2dm m

2R 0
R2

刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律

典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy，根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解：系统对转轴角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt

I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止．求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

刚体习题及答案

解法二:
用角动量定理求解
0-10s: 0-90s:
(M M r )t1 J 1 0
(M r t2 ) 0 J1
联立得： Mt1t2 J1 (t1 t2 )
J Mt1t2 / 1 (t1 t2 ) 54kg m2
例4.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度按图示方向转动，若射来两颗完全相同的子弹，方向相反并在同一条直线上，子弹射入圆盘并留在其中，则子弹射入后的瞬间，盘的角速度（A）增大;（B）减小; （C）不变;（D）不能确定。
解： (1)dM dm g r

m M dM 2 rdr 1 mgl 0 l 4 (2)由角动量定理：
1 2
m m dr g r rdr l l
Mt J J 0 J 0
J 0 0 l t 3mg M
人: Mg T 2 Ma
1 1 物 : T1 - Mg = Ma 2 2
B

T2
o
T1
2 a g 7
A
Mg
B
a
轮： (T2 T1 ) R J
1 Mg 2
a R
例2.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’＝2r，质量为m’=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J＝9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。已知r = 10 cm．求： (1) 组合轮的角加速度； (2) 当物体A上升h＝40 cm时，组合轮的角速度ω。

理论力学之刚体力学例题

M J
1 mgl cos
2
3 ml 2
3g cos
2l
dω dt
d d
ω
d
0
θ 0
3gcos
2l
d
3gsin
l
例7 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求到圆盘静止所需时间
解取一质元 dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
摩擦力矩由转动定律
M
而使它们的加速度a和都较小，这样就能较精确地测出a来。
例题 12 一个飞轮的质量 m=60kg ，半径 R=0.25m ，正在以
ω0=1000 r·min-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s
内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大? 假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为μk=0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。
例6 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
求它由此下摆角时的
O•
ml x
解取一质元 M xdm g g xdm
•C dm
M mgxC
M 1 mgl cos
2
xdm mxC mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
已知棒长l质量m在摩擦系数为如以重量p98n的物体挂在绳端试计算飞轮的角加速两者区别mg一轻绳绕在半径r20cm的飞轮边缘在绳端施以f98的拉力飞轮的转动惯量j05kgm飞轮与转轴间的摩擦不计见图质量为m的均匀细直棒可绕轴o在竖直平面内转动初始时它在水平位置重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dmmlmglmrmgr由转动定律摩擦力矩一个刚体系统如图所示已知转动惯量由质心运动定理mamgflml打击中心质心运动定理与转动定律联用质点系由转动定律解

动量与角动量经典例题

设人蹬墙的时间为△t，因△t 很小，则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量，即 I f I G ，由动量定理得： I f N t m y 而在水平方向同样由动量定理可知： N t m x m x mo cos 人蹬墙后获得竖直向上的速度： y y y 0 sin 人蹬墙后再上升的高度
乘积，即 F ma c ，其质心加速度：a c
m a
i
i
M
。定理只给出质心运动情况，
并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。 3．碰撞问题 ⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．
m110 m220 m11 m22 1 1 1 1 2 2 2 m110 m220 m112 m22 2 2 2 2 （m m2）10 2m220 由①②可得： 1 1 ， m1 m2
人体重心上升的总高度： H h1 h2 令 tanφ=μ，则
02 (sin cos ) 2
2g
s0
对 0 、s0 一定时，当即 arctan

2
时 H 最大．
1

时，人体的重心总升高最大．
类型二、动量守恒定律的问题最基本的特征就是和外力为零或某一方向上和外力为零，当物体系内质点数量比较多时利用质心守恒是解决此类问题的重要手段之一，解答过程，会比较简单。例 2．如图 5—4 所示，在光滑的水平地面上静止放有一块质量 m3=2 kg，长度 L=0. 6 m 的木板，板的左右两端分别放置质量 m1=2 kg，m2=4 kg 的两物块，并分别以初速度 1 =0.4 m/s, 2 =0.2 m/s 时相向运动．M1 , m2 和 m3 间的滑动摩擦因数均为μ=0.22.试求：（1）m2 在木块上的最大位移；（2）m1 在木块上的最大位移；（3）m3 的最大位移．分析和解：物体 1、2 可能会相碰，可能不会相碰，要予以讨论。讨论后利用动量守恒（和质心守恒）解答本题，会比较简单。（1）假设物块 1 、2 在木板上不会相碰，当 2 3 时，2 相对于 3 有最大位移，则 2 a2t a3t 同

刚体角动量

注意：该定律不仅适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。说明：物体绕转轴转动时，转动惯量可以改变，由于角
动量为恒量
I 00 I

I 可变，ω 亦可变，但仍有Iω=常数
解题步骤
1. 确定研究对象，选系统。
2. 判断守恒条件。
M 0 ，用角动量定理 M 0 ，用角动量守恒
3mv 0l 9mv 0 4I 4 Ml
v0
m v
2
M r f
M＝ f r R NR
1 2 M J mR 2
1 2 NR mR 2
1 m R N 2
刚体的角动量定理角动量守恒定律一、刚体的角动量
质点的角动量：

ri
vi
L r P r mv
刚体上任选一质元的角动量
dm
gdm
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样
1 m glcos M 3g cos 2 1 I 2l m l2 3
d d d d dt d dt d
3g 3 g sin cos d d 0 2l 0 l
转动定律
M I
解题类型
1．转动惯量和力矩，求角加速度；
2．已知转动惯量和角加速度，求力矩。
解题步骤： 1. 确定研究对象； 2. 受力分析； 3. 转轴上选择正方向；
4. 列运动方程或转动方程；
5. 解方程；
注意：
1．力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；
2. 对同一转轴转动惯量可叠加
例4、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？摩擦系数为解：设转轴垂直向里为正飞轮制动时有角加速度 fr N

刚体的角动量守恒刚体的角动量定理若刚体的合外力矩等于零

刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
4/13/2021 4:00 PM
无穷质点组合（质点组）
刚体运动
质点组的运动
2
2.
刚体的受力模型
第 i 个质点受力 Fi FiE
f ij
ji
整个质点组（刚体）受力
=0
F Fi FiE
fij 内力演示
i
i
i ji
FiE
i
y
刚体受到的力矩相对O点的力矩
9
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴的转动惯量等于刚体过质心且平行这一转动轴的转动惯量再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
质量乘上两平行轴
之间的距离的平方。
dm [(xc2 Ic md2
F
mi ai mac
i
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等
于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
miai
miai
ac
i
m
i
mi
对应质点位置矢量：
i mi ri
rc
i
m
更一般表述：
rc
rdm
rdV
4/13/2021 4:00 PM
dm dV
刚体的质心
5
2 刚体绕某点（如质心）
20
例3.10 陀螺仪与进动 END 4/13/2021 4:00 PM
Mgl
L
Mgl L d L

8第八讲质点角动量,角动量守恒定律

解： L r p r mv d mv LA d1mv sin 1 2 LB d2 mv sin
d2 mv sin(
A
d1 d2
m
v

d2 mv cos d1mv
LC 0
2
)
B

d3
C
例2：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为，作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对原点O角动量和力 F 对原点的力矩。解：该质点的位置矢量 r xi yj (2.0i 1.0 j )m 质点的动量 p mv 2.0(1.0i 3.0 j )kg m s1
i
j
k
例题：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为，作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对原点O角动量和力 F 对原点的力矩。
M x yFz zFy
力矩在各坐标轴的分量为： M y zFx xFz
i
j
k
M z xFy yF
如：力对O点的力矩 M 在通过O点的任一轴线（如 z 轴）上的分量，叫做力对 z 轴的力矩，用 M z表示。
2、质点的角动量（动量矩）质点对定点O的角动量质量为 m 的质点在t时刻以速度 v 运动，质点相对于原点的角动量定义为：
Mdt 角冲量：

刚体角动量

2
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的
轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2 ，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为
600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合
后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
n 200r / min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
转到=300，求子弹的初速v0。
解：分两个阶段进行考虑
(1) 子弹射入细杆 , 使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为
L0 m0v0a L J 其中
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
角动量 Lz0 J 0 变为 LZ J ，
则由
M
z
d dt
J
得
角动量定理的微分形式：
t
t0 M d t J J0
t M d t 为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t0
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律

刚体的角动量

对上式积分得到角动量定理旳积分形式
t2 t1
M z dt
J2
J1
该式表达：动量旳增量等于力矩对定轴转动刚体
旳时间累积效应
10
三、刚体对转轴旳角动量守恒定律
M zdt dLz dJ
假如 Mz = 0, 则 dLz d( J ) 0 Lz J 恒量
刚体对转轴旳角动量守恒定律当定轴转动旳刚体所受外力对转轴旳合力矩为零时,刚体对同一转轴旳角动量不随时间变化。
满足百分比关系旳最大应力，σE
称百分比极限（ P）。点E 旳应力E是发生弹性形变旳
σP
最大应力，称弹性极限。当
B
EC P
应力 >E时，发生塑性形变。
点C 相应旳应力为 C，若
把外力撤除，固体旳应力与
o o′
ε
应变旳关系沿O C变化，留下一定旳剩余形变OO。
当应力到达点 B 相应旳应力 B时，固体就断裂， B称强度极限。
(1 2
m1R2
m2R2 )1
1 2
m1 R 22
2
1 2
m1R2 m2
1 2
m1R
2
R2
1
1 2
m1 1 2
m2 m1
1
2.31rad
s 1
19
质点直线运动或刚体平动位移速度加速度
匀速直线运动匀变速直线运动
刚体旳定轴转动角位移角速度角加速度匀角速定轴转动匀变角速定轴转动
20
dt
d dt
(J)
试验表白, 此式更具普遍性。
由上式得到
Mz
d dt
( J)
dLz dt
刚体对转轴旳角动量定理作定轴转动旳刚体

角动量例题

“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。

“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。

从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。

帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。

1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值αsin p r L ⋅=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。

其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩t M ∆⋅（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L ∆⋅=∆。

若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。

1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t M i ∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M L i ∆⋅=∆∑。

同样当0=∑i M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。

如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。

1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即0=∑i M 时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。

有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。

②所有外力通过参考点。

③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。

甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。

④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。

2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。

质点、刚体的角动量、角动量守恒定律

010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律1. 选择题1. 一质点作匀速率圆周运动时，［］(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变．(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变．答案：（C ）2. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是［］(A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．答案：（B ）3. 地球绕太阳作椭圆轨道运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，把地球看作一个质点，则地球的［］(A) 动能守恒． (B) 动量守恒． (C) 对太阳中心的角动量守恒．(D) 对太阳中心的角动量守恒，动能守恒．答案：（C ）4. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？［］(A)角动量从小到大，角加速度从大到小． (B)角动量从小到大，角加速度从小到大． (C)角动量从大到小，角加速度从大到小． (D)角动量从大到小，角加速度从小到大．答案：（A ）5. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的［］(A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒．(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒．答案：（C ）6. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有［］ (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA <E KB ． (C) L A =L B ，E KA >E KB ． (D) L A <L B ，E KA <E KB ．答案：（C ）7. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统［］(A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒．答案：（C ）8. 一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量是［］(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量． (C) 机械能． (D) 动量．答案：（B ）9. 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的［］(A)速度不变． (B)速度变小． (C)速度变大． (D)速度怎么变，不能确定．答案：（C ）10. 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以角速度ω绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2．则钢球的角速度［］ (A)变大．（B ）变小． (C)不变．(D)角速度怎么变，不能确定．答案：（A ）11. 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，［］ (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． (B)它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． (C)它受热或遇冷时，角速度均变大． (D)它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．答案：（D ）12. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31J 0．这时她转动的角速度变为［］ (A)31ω0． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0．答案：（D ）13. 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，在人跑向转台边缘的过程中，转台的角速度［］(A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D)不能确定角速度是否变化．答案：（B ）14. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心在椭圆的一个焦点上，设地球的半径为R ，卫星的近地点高度为R ，卫星的远地点高度为2R ，卫星的近地点速度为1v ，则卫星的远地点速度2v 为［］ (A)12v ． (B) 121v ． (C) 132v ． (D) 123v ．答案：（C ）15. 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳放松，使半径扩大为2 r 1 ，此时小球做圆周运动的角速度为［］(A)1ω． (B)121ω． (C) 12ω． (D) 141ω．答案：（D ）16. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是［］(A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定．答案：（C ）17. 光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为［］ (A)L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L98v ．答案：（C ）18. 如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长l ＝20 cm ，其上穿有两个小球．初始时，两小球相对杆中心O 对称放置，与O 的距离d ＝5 cm ，二者之间用细线拉紧．现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为ω 0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动．不考虑转轴的和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为［］ (A) 2ω 0． (B)ω 0． (C)21 ω 0． (D)041ω．答案：（D ）19. 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台边缘．随后人沿半径向转台中心跑去，当人到达转台中心时，转台的角速度为［］(A) 02ωmR J J +． (B) 02ωJ mR J +． (C) 02ωmRJ． (D) 0ω．答案：（B ）2．填空题1. 一个刚体绕轴转动，若刚体所受的合外力矩为零，则刚体的________________守恒．答案：角动量O v俯视图2. 长为l 的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一子弹水平地射入杆中．则在此过程中，由_____________组成的系统对转轴Ｏ的角动量守恒．答案：杆和子弹3. 质量为m 的质点以速度v ϖ沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为________．答案：零4. 质量为m 的质点以速度v ϖ沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是__________．答案：mvd4. 一杆长l ＝50 cm ，可绕通过其上端的水平光滑固定轴O 在竖直平面内转动，相对于O 轴的转动惯量J ＝5 kg ·m 2．原来杆静止并自然下垂．若在杆的下端水平射入质量m ＝0.01 kg 、速率为v ＝400 m/s 的子弹并嵌入杆内，则杆的角速度为ω ＝__________________．答案：0.4 rad/s5. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω＝_______________．答案：12 rad/s6. 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以ω0=4 rad/s 的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1=15cm ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2=5 cm ．则钢球的角速度ω =_ _ ．答案: 36 rad/s7. 哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010 m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104 m/s ．它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×102 m/s ，这时它离太阳的距离是r 2＝．答案：5.26×1012 m8. 一质量为m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为j t b i t a r ϖϖϖωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动量L =________．答案：m ω ab9. 如图所示，x 轴沿水平方向，y 轴竖直向下，在t ＝0时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点对原点Ｏ的角动量L ＝__________________．答案：mgbt10. 一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________．答案：031ω11. 有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度ω2＝__________________________．答案：()212mRJ mr J ++ω12. 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量J ＝21MR 2．当圆盘以角速度ω0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度ω＝______________．答案：mM M 20+ω13. 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体对Ｏ点的角动量的大小L B ＝_ _ _．答案：s m N 1⋅⋅14. 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A ＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体速度的大小v ＝_ ．答案：m/s 115. 一质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动，圆盘和粗糙水平面之间摩擦力矩的大小为M f ．开始时，圆盘的角速度为0ω，经过时间 =∆t 后，圆盘停止转动。

刚体角动量功能例题.ppt

l 6
3g l l 3g 6l
1 6 1 2
3gl，水平向左． g，竖直向上．
第四章刚体的转动
9
物理学
第五版
4-3 角动量角动量守恒定律
思考：如何用刚体定轴转动的动能定理解第二问？
Md
0
1 2
J 2
1 2
J0 2
2
mg
l
cosd
1
J 2
06
2
1 mgl 1 1 ml22
6
29
得 3g
4-3 角动量角动量守恒定律
v1 2a1h 2h
R1
R1
R1
解得
2h
2(m1R1 m2R2 )g
R1 (M1 2m1)R12 (M 2 2m2 )R22
方法二：Rh机1 械能守h恒定R2律求RR解12 h
同轴圆柱体、两重物（含绳）、地球组成的系统，机械能守恒。
m1gh
m2 g
mg 1 l 1 J2 1 1 ml22
62
29
得 3g
＝M 0
l
J
(3) vA
rA
l 3
3g 1 l3
3gl，水平向右．
aAn
rA 2
l 3
3g l
g，竖直向下．
vB rB
aBn rB 2
2l 3 2l
3
3g l 3g l
2 3
3gl，水平向左．vC rC
2g，竖直向上． aCn rC 2
物理学
第五版
4-3 角动量角动量守恒定律
例1：留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴在水平面内以
角速率ω 作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下

刚体力学角动量

第4页/共27页
解小球受力P 、FN 作用,FN
为零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
的力矩
dL mgRcos dt
第5页/共27页
考虑到 d dt, L mRv mR 2
得LdL m2 gR3 cosθ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cos d
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
第6页/共27页
二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
刚体以角速度绕定轴转动,刚体上每一质点都以相同的角速
度绕轴作圆周运动.其中质点
对轴的角动量为
mi
Li mivi ri
t 4m /(M 2m) 2 第21页/共27页
例、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量 m1 和 m2 的物体，m1 <m2 ，滑轮的为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度。
为 Mf 质量力矩为
N
.
mR
mi ri2
于是刚体上所有质点对轴的角动量,即刚体对定轴的角动量为
r1
m1 mi
L miri2 ( miri2 ) J ri
2 刚体定轴转动的角动量定理
作用在质点i上的合力矩应等于质点i的角动量随时间的变化率
Mi
Mi中含有外力作用在质点i的力矩 Mi外和刚体内质点间作用力的力矩 Mi内.由于刚体内各质点的内力矩之和应为零,所以在遍及刚体内所有质点后,可得

大学物理角动量习题

1《大学物理AI 》作业角动量角动量守恒定律班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、选择题：1．一半径为R 质量为m 的圆形平板放在粗糙的水平桌面上，绕通过其中心且垂直板面的固定轴O O '转动，则摩擦力对O O '轴之力矩为 [ ] （A ）mgR μ32 （B ）mgR μ（C ）mgR μ21（D ）0解：设圆板面密度为⎪⎭⎫⎝⎛=2R m πσσ，圆盘上取一细圆环如图，该细圆环所受摩擦阴力矩大小为gr r r mg r M ⋅⋅==d 2d d πσμμ 则圆形平板转动时受到的总摩擦阻力矩大小为⎰⎰=⋅==RgR r r g M M 03232d 2d πμσπμσmgR M μ32=故选A2．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定滑腻轴转动，如图所示。

今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的进程中，下述说法哪一种是正确的？[ ] （A ）角速度从大到小，角加速度从大到小（B ）角速度从大到小，角加速度从小到大（C ）角速度从小到大，角加速度从小到大（D ）角速度从小到大，角加速度从大到小解：设细棒长为l ，质量为m ，向下摆到角度θ时，由转动定律有βθJ lmg =⋅cos 2（J 为转动惯量）故在细棒下摆进程中，摆角θ增大，角加速度β将减小。

细棒由静止开始下摆进程中，ω与β转向一致，所以角速度由小变大。

故选D3．两个均质圆盘A 和B 密度别离为A ρ和B ρ。

若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心、垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 [ ] （A ）A J 、B J 哪个大，不能肯定（B ）B J >A J （C ）A J ＝B J（D ）A J >B J解：设A 、B 两盘厚度为d ，半径别离为A R 和B R ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>，厚度d 相同，所以22B A R R <，由圆盘转动惯量221mR J =，知B A J J <。

大物竞赛讲义及典型例题--角动量及刚体2013

第四章一、知识点 1. 角动量：力对固定点的力矩质点对固定点的角动量质点的角动量定理角动量、刚体M = r ×FL = r × mvdp F= dtdL M= dtt2 t1∫Mdt = ΔLdLz Mz = dt∫t2t1Fdt = ΔpM z k = rxy × Fxy Lz k = rxy × pxy有心力质点对轴的角动量定理质点的角动量守恒定律当 M = 0 时， L =常矢量dL 质点系的角动量定理 M 外 = dt•内力矩只改变各质点角动量的分配，不改变系统的总角动量 •外力矩之和≠合外力的力矩例外：重力矩∑(r × m gk ) = (∑ m r ) × gk = r × (mgk )i i i i c质点系的角动量守恒定律质点系的动量守恒定律M 外 = 0 ⇒ L = const.vectorF外 = 0 ⇒ P = const.vector两条守恒定律是相互独立的外力矩之和为零≠合外力为零M 外 = ∑ ri × Fi = 0 ⇔ F外 = ∑ Fi = 0质心参考系中的角动量问题与质心系是否为惯性系无关2. 刚体力学：刚体：理想模型；大小和形状都始终保持不变定轴转动的运动学描述：各点在转动平面上作圆周运动，可用角量来描述角坐标θ 角速度ω 角加速度βs = rΔθv = rωa t = rβa n = rω 2M: 对转轴的外力矩刚体转动惯性的量度dω 定轴转动的转动定律 M = J β = J dt转动惯量J = ∑ mi ri 2J = ∫ r 2 dm1 rc = ∫ rdm rc = ∑ mi ri ∑ mi 质心位置矢量 m 平行轴定理 J = J C + md 2 垂直轴定理 J z = J x + J y定轴转动的功和能 • 力矩的功W = ∫ Mdθθ1θ21 2 1 • 刚体转动动能 Ek = Jω = 2 21 mi ri ω = ∑ miv i 2 ∑ 22 2组成刚体所有质点绕转轴作圆周运动的动能之和 • 定轴转动的动能定理 W 外 =1 1 2 M d θ = J ω 2 − J ω 12 ∫θ1 2 2 因刚体无形变，内力矩的功不影响刚体的转动动能hc : 重心的高度θ2• 刚体的重力势能 Ep = mghc• 机械能守恒定律当W外 + W非保内 = 0 时， E = Ek + Ep = 常量对含刚体的系统，若只有保守力矩作功，则系统机械能守恒定轴转动的角动量 • 刚体对转轴的角动量 L = Jω = ( 质点的动量p = mvmi ri2 )ω = ∑ mi rivi ∑质点系的动量定理• 对转轴的角动量定理 d(J ω ) = J β ←若J 不变 M= dt∫t2d(mv ) F= = ma dtt1Mdt = J 2ω2 − J1ω1∫t2t1Fdt = p2 − p1对J 可变化的质点系或非刚体，上式仍然成立 • 对转轴的角动量守恒定律当M = 0时，Jω =const. 守恒条件：对轴的外力矩之和为零 J不变时→ω不变；J变大时→ω变小；J变小时→ω变大刚体平面平行运动=刚体绕过质心的轴的转动+质心的平动质点的运动速度加速度质量力运动规律动量角动量动量定理刚体的定轴转动角速度角加速度转动惯量力矩转动定律动量角动量v=dv d 2 r a= = 2 dt dtdr dtmdθ ω= dt dω d 2θ β= = 2 dt dt J = ∫ r 2 dmFMF = map = mvL=r×pM = Jβp = ∑ Δmiv iL = JωF=d(mv ) dt角动量定理 M =d( Jω ) dt质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动动量守恒刚体的定轴转动角动量守恒∑ F = 0时 ∑ m v = 恒量i i iM = 0时∑ Jω = 恒量Aab = ∫ Mdθθ1 θ2力的功动能动能定理重力势能Aab = ∫ F ⋅ drab力矩的功转动动能动能定理重力势能Ek = 1 mv 2 22 A = 1 mv 2 − 1 mv12 2 2Ek = 1 Jω 2 22 A = 1 Jω2 − 1 Jω12 2 2Ep = mghEp = mghC机械能守恒A外 + A非保内 = 0时Ek + Ep = 恒量机械能守恒A外 + A非保内 = 0时Ek + Ep = 恒量质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较(续)二、典型问题质点(系)的角动量质心参考系中的角动量转动惯量的计算定义、补偿法、平行轴定理定轴转动平面平行运动刚体的纯滚动牛顿定律、定轴转动定律刚体动能定理、角动量定理质心运动定理、定轴转动定律纯滚动的动力学条件 f ≤μN★ 质点(系)的角动量例：证明行星在轨道上运动的总能量为其中M，m分别是太阳和行星的质量， r1，r2分别为行星近日点和远日点到太阳的距离。

第8讲 刚体角动量典型例题

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