安徽省滁州市来安第一中学高二数学理测试题含解析

安徽省滁州市来安第一中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对边长是a，b，c（对角依次是A、B、C），且∠C是钝角的△ABC和直线l：a x + b y + c
= 0，给出下列4个命题：（1）l的倾斜角是钝角；（2）l不穿过第一象限；（3）l和单位圆相切；（4）l过定点。

其中正确命题的个数是（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
B
2. （4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程为（为参数），直线与圆
相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（）
A．(3,－3) B．C．D．
参考答案：
C
直线（t为参数），即，
代入圆化简可得，
，即AB的中点的纵坐标为3，
的中点的横坐标为，
故AB的中点的坐标为，故选C.
3. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有30人，则n的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．900
参考答案：
A
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．
【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，
∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，
∴n的值==100；
故选：A．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
4. 由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，联想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，这种推理方式运用的是（）
A．类比推理B．三段论推理C．归纳推理D．传递性推理
参考答案：
A
5. 已知直线,,则直线在轴上的截距大于1的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
6. 集合{，1}，{，1，2}，其中{1, 2，3,4，5}，则满足条件
的事件的
概率为( )
A. B. C.
D. 参考答案：
A
7. 已知在R 上可导的函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为( )
A. B.
C.
D.
参考答案：
B
8. 如果实数x,y 满足等式(x －2)2
+y 2
=3，那么
的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： D
略
9. 下列曲线中离心率为的是 （ ）
（A ）
（B ）
（C ） （D ）
参考答案： B 略
10.
是等差数列
的前项和，
,则
（ ）
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知
为椭圆
的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足
的点
共
有
个
参考答案：
4
12. 已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，P(2，2)是该圆内一点，过P 的最长的弦和最短的弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______________．
参考答案：
最长的弦长为直径，故，最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，故
，由于所以面积为．
考点：圆的性质应用．
13. 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)
超过39,则该塔形中正方体的个数至少是___________.
参考答案：
6
略
14. 在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式
．
参考答案：
15.
双曲线的渐近线方程是
参考答案：
略
16. 直线恒过定点_________.
参考答案：
【分析】
把方程写成点斜式的形式，即可求出直线恒过的定点坐标.
【详解】由题得，所以直线过定点.
【点睛】本题考查了应用直线点斜式方程求直线恒过的定点问题，适当的合理变形是解题的关键.
17. 如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=x﹣4y的最大值
为．
参考答案：
1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值．
【解答】解：由z=x﹣4y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B（1，0）时，直线y=的截距最小，
此时z最大．
此时z的最大值为z=1﹣4×0=1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函
数的几何意义．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
解关于的不等式．
参考答案：
解：由得，即. 2分
(1)当时，不等式转化为，故无解． (4)
分
(2)当时，不等式转化为，即.
∵，∴不等式的解集为.······················································ 6分
(3)当时，不等式转化为，
又，∴不等式的解集为.··················································· 8分综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为. 10分
19. 已知，求下列各式的值
（Ⅰ）
（Ⅱ）
参考答案：
解：（Ⅰ）
，即
则原式
（Ⅱ），即
则原式
20. 已知椭圆+=1两焦点为F1和F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b以c的值，即可得|F1F2|的值；进而在在△PF1F2中，由余弦定理可得关系式|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos 60°，代入数据变形可得4=
（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，结合椭圆的定义可得4=16﹣3|PF1||PF2|，即可得|PF1||PF2|=4，由正弦定理计算可得答案．
【解答】解：由+=1可知，已知椭圆的焦点在x轴上，且，
∴c==1，∴|F1F2|=2c=2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos 60°
=|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1|?|PF2|，即4=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4，
∴4=16﹣3|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|=4，
∴=|PF1||PF2|?sin 60°=×4×=．
21. 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K 2
=
．
参考答案：
【考点】独立性检验．
【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．
（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率． （3）利用独立性检验进行求解即可 【解答】解：（1）300×
=90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表
结合列联表可算得K 2==≈4.762＞ 3.841
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
22. 直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，过点A 作抛物线C 准
线的垂线，垂足为D .
（1）若线段AB 的长为8，求直线l 的方程；
（2）求证：B 、O 、D 三点共线.
参考答案：
由题知直线的斜率存在，抛物线C 的焦点，
设直线l 的方程为
，
………………………………………………………4分
（1）
直线的方程为
或
.…………………………………………………………8分
（2）
，
，
、
、
三点共线.…………………………………………12分。