2021年河南省郑州市大学第二附属中学高一数学文联考试题含解析

2020-2021学年河南省郑州市大学第二附属中学高一数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行.②与是异面直线.
③与垂直.④与是异面直线.
以上四个命题中正确的个数是（）
参考答案：
2. 在平面上，四边形ABCD满足，，则四边形ABCD为（）
A. 梯形
B. 正方形
C. 菱形
D. 矩形
参考答案：
C
，且四边形是平行四边形，
，，四边形是菱形，故选C.
3. 一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A．1 B．C．D．
参考答案：
B
略
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
（）
A．16 B．C．32 D．48
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，由此能求出该多面体的体积．
【解答】解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，
且△ABC中，AB=4，高为4，AC=BC，AA=2，
∴该多面体的体积：
V=S ABC×AA1==16．
故选：A．
5. 在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（）
参考答案：
C
略
6. 定义在上的偶函数满足：对任意的有则（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
7. 在△ABC中，，，则sin C=（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
求出，由余弦定理求得与的关系，再用正弦定理求解．
【详解】∵，∴．
又，
，
又，∴．
故选A．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键正确选用公式，要确定先用哪个公式，再用哪个公式．
8. 已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）
A．a2+a+2 B．a2+1 C．a2+2a+2 D．a2+2a+1
参考答案：
C
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知得f（a+1）=（a+1）2+1，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+1，
∴f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9. 已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,4)
D. (4,+∞)
参考答案：
C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
10. 偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则不等式的解集是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
是偶函数有，所以
可转化为，又
时，
是增函数，所以
，即
.答案为D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若抛物线
恒在直线
上方，则实数的取值范围为
.
参考答案：
12. 如图，直四棱柱
的底面是边长为1的正方形，侧棱长
，则异面直线
与
的夹角大小等于
．
参考答案：
60° 由直四棱柱
的底面是边长为1的正方形,侧棱长
可得
由
知
就是异面直线与的夹角,且，所以=60°,即异面直线与的
夹角大小等于60°.
13. 点P （x ，y ）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为 ．
参考答案：
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．
【解答】解：角﹣60°的终边为点P （x ，y ）， 可得：tan （﹣60°）=
．
故答案为：．
14. 已知函数
，则函数
的增区间是 ．
参考答案：
可写为开区间;
15. 设
，函数
的图像向右平移
个单位长度后与原图象重合，则
的最
小值是 ．
参考答案：
16. 若函数
是偶函数,则
的增区间是 。

参考答案：
17. 若函数f(x)=2x +
为偶函数，则实数m= ．
参考答案：
1
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】直接根据偶函数的定义得到=，即可得到所求的值．
【解答】解：由题意， =，
∴m=1，
故答案为1．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 若非零函数
对任意实数
均有|（a+b ）=|（a ）·|（b ），且当
时，
．
（1）求证：；（2）求证：为减函数；
（3）当时，解不等式
参考答案：
解：（1）（2）设则
,为减函数
（3）由原不等式转化为，结合（2）得：
故不等式的解集为．
19. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,,AD=a,BC=2a,,在平面ABCD 内，过C作，以为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积。

参考答案：
S=……5分 V=……10分
20. 已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域
A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i）问函数y=sinx+cosx是否是区间上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D 上的“偏增函数”．
参考答案：
（1）解：（i） y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又在上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
（ii）证明：，
记，
显然在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，
且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），
又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在上单调递增，
故y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=﹣x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=﹣x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x﹣c，f2（x）=﹣x+b+c，D=（0，
b+c）?[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x﹣c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=﹣x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．
略
21. （13分）已知等差数列的公差,前项和为.
(1)若成等比数列,求;
(2)若,求的取值范围.
参考答案：
（I）∵等差数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，
∴a12=1×(a1+2) ∴a12-a1-2=0 ∴a1=-1或a1=2；
（II）∵等差数列{a n}的公差d=1，且S5＞a1a9，
∴5a1+10＞a12+8a1；∴a12+3a1-10＜0 ∴-5＜a1＜2．
22. (本小题满分12分)
函数的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数
的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求的最大值，并求出此时自变量x的集合．参考答案：
(1) f1(x)＝2sin(2x＋) ;(2) y max＝2.x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．(1)由题图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝A sin2x的图象向左平移，得y＝A sin(2x＋φ)的图象，
于是φ＝2·＝. 将(0,1)代入y＝A sin(2x＋)，得A＝2，
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)．
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，y max＝2.
x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．。