河北省邯郸市2019年数学高二年级上学期期末调研测试题

河北省邯郸市2019年数学高二年级上学期期末调研测试题
一、选择题
1．已知集合{
}
2
2|10,|3A x x B x x ⎧⎫
=-<=>⎨⎬⎩⎭
，则A B =（ ） A.()1,1- B.()1,+∞
C.21,
3⎛⎫- ⎪⎝⎭
D.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
2．cos 12
π
的值为（ ）
A.
2
B.
4
C.
4
3．已知函数()4f x x x
=+
， ()2x
g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， []22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实
数a 的取值范围是（ ） A.(],1-∞
B.[)1,+∞
C.(],2-∞
D.[)2,+∞
4．已知12,F F 是椭圆22
1169
x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两
边之和是10，则第三边的长度为（ ） A.3
B.4
C.5
D.6
5．总体由编号为01，02，⋯，29，30的30个个体组成，现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（ ） 70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03 56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93 A ．12 B ．13 C ．03
D ．40
6．函数的图象在点处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了 A.96里 B.48里 C.192里
D.24里
8．已知集合2
{|40}A x x x =-<，{
}
3,0x
B y y x ==，则A
B =（ ）
A.{|0}x x >
B.{|14}x x <<
C.{|14}x x x 或
D.{|04}x x <<
9．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数(
)2
~N 11,2x ，若某班共有54名学生，则
这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ） （附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=） A ．6
B ．7
C ．9
D ．10
10．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果
（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．3
11．已知函数()sin()(0)4f x wx w π
=+>的最小正周期为π，则()8
f π
=（ ） A.1
B.
12 C.-1
D.12
-
12．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为1
2
，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A.1 B.2
C.3
D.4
二、填空题
13．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是________．
14．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答） 15．已知
……
根据以上等式，可猜想出的一般结论是____． 16．已知函数()2
2x f x a -=+的图象恒过定点A ，则A 的坐标为___．
三、解答题
17．某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高
为，储粮仓的体积为.
（1）求关于的函数关系式；（圆周率用表示） （2）求
为何值时，储粮仓的体积最大.
18．某中学随机选取了
名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，
观察图中数据，完成下列问题．
（）求的值及样本中男生身高在（单位：）的人数．
（）假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．
（）在样本中，从身高在和
（单位：
）内的男生中任选两人，求这两人的身高都
不低于
的概率．
19．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于，
两点，求的值.
20．已知定义域为的单调函数
是奇函数,当
时,
.
（1）求
的解析式.
（2）若对任意的
,不等式
恒成立,求实数的取值范围.
21．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径，．分别为上的动点，且．
（Ⅰ）若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，求异面直线与所成角的余弦值．
22．如图，在四棱锥中，ABCD为菱形，⊥平面ABCD，连接交于点，
，，是棱上的动点，连接.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当面积的最小值是时，求四棱锥P-ABCD的体积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
13．1 2
14．36
15．
16．（2,3）
三、解答题
17．（Ⅰ），.（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题圆锥和圆柱的底面半径，可得储粮仓的体积
，.
（Ⅱ）利用导数求（Ⅰ）中的函数最值即可.
试题解析：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径，∴.
∴，即，.
（Ⅱ），令，
解得，.又，∴（舍去）.
当变化时，的变化情况如下表：
故当时，储粮仓的体积最大.
点晴：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出f(x)的解析式并指明定义域. 18．（1）4；（2）0.4
【解析】
试题分析：（）由题意，根据频率分布直方图各个矩形的面积之和为，即可求解的值，进而得到身高在的频率和人数为；
（）根据平均数的计算公式，即可求解全校男生的平均身高；
（）根据频率分布直方图，可得身高在和内的男生的人数，再利用古典概型的概率计算公式，即可求解相应的概率.
试题解析：
（）由题意：，
身高在的频率为，人数为．
（）设样本中男生身高的平均值为，则：
，
所以，估计该校全体男生的平均身高为．
（）在样本中，身高在和（单位：）内的男生分别由人，人，从身高在
和（单位：）内的男生中任选两人，有种，这两人的身高都不低于
，有种，所以所求概率为．
19．（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数
方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得结果.
试题解析：（1）由已知得：，消去得，
∴化为一般方程为：，
即：：.
曲线：得，，即，整理得，
即：：.
（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：
，即，
设，两点对应的参数分别为，，则，
∴
.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）时利用可求的解析式，再利用奇偶性考虑与的关系，即可求出
时的解析式，要注意时的情况；
（2）先分析单调性，因为题设已告诉函数单调，故取值直接比较即可；然后利用是奇函数对不等式进行变形，转变为两个函数值的大小关系，根据单调性可去掉函数符号变为自变量间的大小关系，最后化为关于的不等式恒成立的问题去处理.
【详解】
(1) 当时, ，
∴，
又函数是奇函数，
∴，
∴．
又．
综上所述．
（2）∵为上的单调函数，且，
∴函数在上单调递减．
∵，
∴，
∵函数是奇函数，
∴．
又在上单调递减，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴，
解得．
∴实数的取值范围为．
【点睛】
（1）奇函数若在处有定义，则必有，这一点要注意，容易遗漏；
（2）已知函数单调性的情况下，函数值之间的大小关系可转变为自变量之间的大小关系.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由圆柱有一个内切球，求得，进而得到圆柱的底面半径和高，进而求得求得半径，利用球的体积公式，即可求解.
（Ⅱ）由题意，以C为坐标原点，所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标系分别求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题可知，由于圆柱有一个内切球，
所以．
因此，圆柱的底面半径为，高为，
所以圆柱的侧面积为
由题可知，圆柱的内切球的半径为，
所以该内切球的体积
（Ⅱ）由于，，所以分别为AC、BC的中点．
由题可知两两垂直，所以可以以C为坐标原点，所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标系（如图）．
由（Ⅰ）的条件可得：
，
，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【点睛】
本题主要考查了组合体的结构特征的应用，球的体积的计算，以及利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中正确认识组合体的结构特征，以及建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知条件证得，，可证得，继而证明平面平面
（Ⅱ）由题意当面积的最小值是时，求出的长，可得，由求出的值，继而求出四棱锥的体积
【详解】
（Ⅰ）在四棱锥中，ABCD为菱形，交于点，
，
⊥平面，
则
由
，
则平面
又因为，
故平面平面
（Ⅱ）由题知，当最小时，面积的最小，
，
即
此时，即当时，，
又由，
可得，解得
所以.
【点睛】
本题考查了面面垂直及四棱锥的体积，在证明面面垂直时运用面面垂直的判定定理即可证明，本题在求四棱锥体积时运用了三角形相似求线段长度，本题属于中档题。