运用分类讨论思想速解函数问题

运用分类讨论思想速解函数问题
作者：李丽伟
来源：《读与写·上旬刊》2018年第02期
摘要：在平时的教学中，我发现很多学生学习函数部分比较吃力，解题的过程中总会遇到一些题目考虑不全，丟解的情况，怎样才能避免此类情况的发生，提高他们解题的准确性、速度呢？这就需要对问题进行分类讨论加以研究，为了让大家清楚，仅就部分内容给您展示一下分类讨论思想在函数学习中的运用。

关键词：分类讨论思想；函数
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）02-0254-02
现就常涉及到的分类讨论知识归纳如下：
1.题目中的函数本身是以分段形式给出的，解题时涉及到这类已知函数值或函数值取值范围的，求变量取值或取值范围的一定注意别忘记分类讨论。

1.1 （2011辽宁理）设函数f（x）=21-x，x≤11-log2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）。

A.[-1，2]
B.[0，2]
C.[1，+∞]
D.[0，+∞]
分析：因为f（x）=21-x1-log2x，x>1为分段函数，所以f（x）≤2应用两种情况。

解：由题意知，21-x≤2x≤1或x>11-log2x，x≤2解得x≥0，x≤1即0≤x≤1，而1-logx2≤2可化为logx2≥-1=log122，得x≥12，因此解x>11-log2x≤2得x>1，x≥0综上可知，故选D。

1.2 （2011浙江理）设函数 f（x）=-x，x≤0，x2，x>0.若f（α）=4，则实数α =（）
A.-4或-2
B.-4或2
C.-2或4
D.-2或2
解：由α≤0，-α=4，或α>0，α2=4，得α=-4或α=2。

故选B
2.幂函数型题目的定义域、奇偶性、单调性等要看幂指数
定义的给出是有条件限制的或分类给出的，就一定需要分类讨论了。

2.1 当m= ____________时，函数f（x）=（m+3）x2m+1+4x-5（x≠0）是一次函数。

分析：考虑此函数的定义表达式，观察f（x）=m+3x2m+1+4x-5（x≠0）的特点，未知数x 的系数和指数均含字母入手，与一次函数表达式对照即可。

若（m+3）x2m+1该项为常数项f （x）为一次函数，若（m+3）x2m+1不为常数项且2m+1=1也可能符合。

解：当m+3=0时，即m=-3，函数f（x）=4x-5为一次函数；当2m+1=0时，即m=-1 2，f（x）=4x-52为一次函数；
当2m+1时，且m+3+4≠0时，即m=0时，f（x）=7x-5为一次函数；综上所述，m=0，或m=-1 2或m=-3时符合要求。

3.题目是和指数函数、对数函数有关的函数，底数均为字母，常借助函数的单调性通过对底数加以讨论，再解决
3.1 （2015山东理）已知函数f（x）=ax+b（α>0.α≠1）的定义域和值域都是[-1.0]，则a+b ___________。

分析：借助指数函数性质考虑底数。

解：当0>α1时，函数f（x）是增函数，所以α-1+b=-1，α0+b=0
此方程组无解。

当0
4.函数中最高次项系数是含字母的代数式，他的取值可以有多种情况，这就需要我们进行分类讨论解决此题。

又函数的图象与轴总有交点，或是函数有限定条件的零点问题等，故可考虑函数最高次项系数可能为零，也可能不为零来分类讨论研究，进而转化成我们熟悉一次或二次函数的问题来求解。

含参二次函数的最值问题一种是对称轴是确定的常数，区间端点含有参数；一种是对称轴含有参数，而区间端点是常数，不管是那一种，都可以理解成对称轴在区间的左侧，对称轴在区间内，对称轴在区间右侧来讨论。

当对称轴在区间内时，还需考虑区间端点离对称轴的远近来确定另一个最大值或最小值。

当然，如果给出函数的一个最值，求其中的参数问题也可以按照上面的方法进行解决
4.1 已知函数f（x）=2（p+1）x2+4px+2p-1 的图象与x 轴总有交点，求p的取值范围。

分析：注意到该函数的最高次项的系数为字母，且与x轴总有交点。

解：当2（p+1）=0时，即p=-1，f（x）=-4x-3 ，显然与x轴有一个交点；
当2（p+1）≠0时，函数为二次函数，只需Δ=（4p）2-4x2（p+1）（2p-1）≥0 ，
解得p
4.2 已知函数f（x）=mx2 +（m-3）x+1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围。

解：当m=0时，f（x）=-3x+1，令f（x）=0，得x=13，即函数的零点13 在原点右侧，符合题意；
当m≠0时，因为f（0）=1 ，所以函数图象过点（0，1），若m0 ，函数图象开口向上如图，
要使函数的零点在原点右侧，当且仅当Δ=（m-3）2-4m≥0， 3-m2m>0，m>0即m2-
10m+9≥0，00进一步整理
解得m≤1或m≥9，00即0
运用分类讨论思想解函数题时，不管是在哪方面，如果学生的头脑中没有分类讨论的意识，在平时的解题中就不能辨认出是需要分类讨论的题目，就很容易丟解、错解，很难保证问题得到有效解决。

为此在平时的教学中，首先，教师在平时的课堂教学中应有意渗透分类讨论思想，帮助学生建立分类讨论的意识，其次，学生应当准确理解和记忆与分类讨论相关的定义、性质、公式等知识点，它们是解决问题的强有力的工具，为分类讨论指明方向。

再次，解题时学生认真审题明确分类讨论的对象、分类标准。

最后，注意检查努力做到不重不漏，检查参数是否取到符合要求的所有实数。

要想提升他们的解题能力，加强理论学习是非常必要的，因此在平时的学习中建议他们应该多读一些相关的学习资料，提高自己的理论水平。

另外，解题后一定要及时总结解题规律、相关知识点归纳等，对于学习中遇到的困难可以大家在一起多多研究。

以上是仅就高一上学期函数部分内容加以展示，准确掌握它们就可以迅速解决函数问题，仅供参考，希望对您能够有所帮助。

参考文献：
[1] 李秀兰.谈谈二次函数的最值問题[J].数理化解题研究， 2011 （9）：26-28.
[2] 王焱坤.新课程背景下函数客观题考查的新视角[J]中学数学， 2010 （1）：32-35.。