高中数学第课极坐标与参数方程综合训练5学案新人教A版选修4_3

变化时，求 P 点的轨迹的
参数方程，并指出它是什么曲线。
【解】（Ⅰ）当
时， C1 的普通方程为 y 3
3( x 1) ， C2 的普通方程为 x2 y2 1。
1
由y
3( x 1) ，解得
x1
1
，
x2
2
；
x2 y2 1
y1 0
y2
3 2
∴ C1 与 C2 的交点为 (1,0) ， ( 1 , 3 ) 。 22
（Ⅱ） C1 的普通方程为： x sin y cos sin 0 。
∵ OA 与直线 C1 垂直，可得 OA 的方程为 xcos y sin 0 ；
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
x sin y cos sin
由
x cos y sin 0
0
解得点
恒成立， 。
x 1 t cos
1．【 10 新课标（文 23）】 （本小题满分 10 分）已知直线 C1 ：
（ t 为参数），
y t sin
x cos C 2 ： y sin （ 为参数），
（Ⅰ）当
时，求 C1 与 C2 的交点坐标； 3
（Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A ， P 为 OA 中点，当
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
第 22 课 极坐标与参数方程（综合训练 5）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；
并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来
解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
即 2 8 cos 10 sin 16 0 ，
∴ C1 的极坐标方程为： 2 8 cos 10 sin 16 0 。
（Ⅱ）将 C 2 的极坐标方程为
2sin 化为普通方程得： x2 y 2 2 y 0 ；
x2 y2 8x 10y 16 0
x1 x 0
由 x2 y2 2 y 0
，解得
或
；
y1 y 2
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令 x 1 cos [ 1,1]， y sin ， [0, ] ，
∴半圆 C 的参数方程为：
x 1 cos
（
y sin
[0, ] ）。
（Ⅱ）∵曲线 C 在 D 处的切线与直线 l ： y 3x 2 垂直， ∴直线 CD 和直线 l 平行，∴直线 CD 和直线 l 斜率相等； 设点 D 的坐标为 (1 cos ,sin ) ，
∵ C (1,0) ，
sin 0
∴
3，
(1 cos ) 1
解得 tan
3 ，∵ [0, ] ，∴
∴点 D 的坐标为
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例 1． 在直角坐标系
中，直线 的方程为
，曲线 的参数方程为
（ 为参数） .
（ 1）已知在极坐标系 （与直角坐标系
取相同的长度单位且以原点 为极点， 以 轴正
半轴为极轴）中，点 的极坐标为
，判断点 与直线 的位置关系；
【解】（Ⅰ）∵点 次序排列，
A 的极坐标为 (2, ) ，且正方形 ABCD 的顶点 A ， B ， C ， D 依逆时针 3
∴点 B ， C ， D 的极坐标分别为： (2, 5 ) ， (2, 4 ) ， (2, 11 ) 。
6
3
6
∴点 A ， B ， C ， D 的直角坐标分别为： (1, 3) ， ( 3,1) ， ( 1, 3) ， ( 3, 1) 。
点为 A ，与 C 2 的异于极点的交点为 B ，求 | AB | 。
【解】（Ⅰ）设
P( x, y) ，则由条件知
M
(
x
,
y )
。
22
∵ M 点在 C1上，
3 与 C1 的异于极点的交
x 2cos
∴2 y 2 2sin 2
x 4cos
，即
；
y 4 4sin
∴ C2 的参数方程为：
x 4cos
（ 为参数）。
∴ M 的轨迹的参数方程为：
x cos y sin
cos2 （ 为参数， 0
sin 2
2 ）。
（Ⅱ） M 到坐标原点的距离： d x2 y2 2 2cos ，
∵当
时， d 0 ，∴ M 的轨迹过坐标原点。
6．【 14 新课标Ⅰ（文 23）】（本小题满分 10 分）已知曲线 C ：x2
y2
x 1，直线 l ：
。
是圆
上的动点 .
的取值范围； 恒成立，求实数
的取值范围。
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解：（ 1）把圆方程配方，得
，圆心
，半径
，
设圆的参数方程为
（ 为参数） .
则
，
∴
∵
，∴
∴
的取值范围是
。
（2） ∵
， ，
当
时，
，
∵
恒成立，即
∴
，
∴实数 的取值范围
x 4 5cos t (t 为
y 5 5sin t
参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2 的极坐标方程为
2sin 。
（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（
0， 0
2 ）。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两
2
2
| PC | | PD |
2
2
4 x0 4 y0 16
2
20sin
32 ，
∵ 0 sin 2 1 ，∴ 32 20sin 2 32 52 ，
∴ | PA |2 | PB |2 | PC |2 | PD |2 的取值范围是 [32,52] 。
4．【 13 新课标Ⅰ（文 23）】（本小题 10 分）已知曲线 C1 的参数方程为
2 ）， M 为 PQ 的中点。
（Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程； （Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。
【解】（Ⅰ）依题意有 P(2cos ,2sin ) ， Q (2cos 2 ,2sin 2 ) ，
∴ M (cos cos 2 ,sin sin 2 ) ，
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∴ C1 与 C2 交点的极坐标 ( 2, ) ， (2, ) 。
4
2
x 2cost 5．【 13 新课标Ⅱ（文 23）】（本小题满分 10 分）已知动点 P ， Q 都在曲线 C ：
y 2sin t
（ t 为参数）上，对应参数分别为 t 与 t 2 （ 0
y 4 4sin
（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为
4sin ；曲线 C2 的极坐标方程为
8sin 。
射线
与 C1 的异于极点的交点为 3
A 的极径为
1
4sin 3
2 3，
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射线
与 C2 的异于极点的交点为 3
B 的极径为
（ 为参数） .
（2） 把直线 的参数方程中的 ， 代入直线 的方程，
得
，解得
，
∴直线 和直线 ：
的交点 到
。
（3） 把直线 的参数方程中的 ， 代入圆方程
的距离为： ，得
，
化简，得
，则
，
，
∴两个交点 ， 到点 的距离的和为
，
距离的积为
。
（4） 由（ 3）知，
，
，
∴直线 被圆
截得的弦长为：
2.已知点 （ 1）求 （ 2）若
（ 1）求直线 的参数方程；
（ 2）求直线 和直线 ：
的交点 到
的距离；
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（ 3）求直线 和圆
的两个交点 ， 到点 的距离的和与积；
（ 4）求直线 被圆
截得的弦长
。
解：（ 1）由直线的参数方程，得直线
的参数方程为：
（ 为参数），即
2t (t
49
y 2 2t
为参数）。
（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线
C 上任一点
P 作与
l
夹角为
0
30
的直线，交
l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小
值。
【解】（Ⅰ）曲线 C 的参数方程为：
x 2cos
( 为参数），
y 3sin
直线 l 的普通方程为： 2x y 6 0 。
C2 的极坐标系方程是
2 ，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A ， B ， C ， D 依逆时针次序排列，点 A 的极
坐标为 (2, ) 。 3
（Ⅰ）求点 A ， B ， C ， D 的直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为 C1 上任意一点，求 | PA |2 | PB |2 | PC |2 | PD |2的取值范围。
当 sin(
) 1时， | PA |取得最大值，最大值为 22 5 ； 5
当 sin(
) 1时， | PA | 取得最小值，最小值为 2 5 。 5
7．【 14 新课标Ⅱ（文 23）】 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程 （Ⅰ）求 C 的参数方程；
2．【 11 新课标（文 23）】 (本小题满分 10 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x 2cin （ 为参数）。 M 是 C1 上的动点， P 点满足 OP 2OM ， P 点的轨迹为
曲线 C2 。
（Ⅰ）求 C 2 的方程；
（Ⅱ）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
A 的坐标为：
A(sin 2
, sin
cos ) ；
∵ P 为 OA中点， ∴当 变化时， P 点的轨迹的参数方程为：
x 1 sin 2
2
（ 为参数）；
1
y
sin cos
2
∴ P 点的轨迹的普通方程为 (x 1) 2 y2
1
。
4
16
∴ P 点轨迹是圆心坐标为 ( 1 ,0) ，半径为 1 的圆。
4
4
（ 2）设点 是曲线 上的一个动点，求点
到直线 的距离的最小值。
解：（ 1）点 的极坐标
化为直角坐标是
；
∵点 的直角坐标是
满足方程
，
∴点 在直线 上。
（2） ∵点 在曲线 上，∴设
，
点 到直线 的距离为：
当
时， 取最小值 ，
∴点 到直线 的距离的最小值是
。
三、问题过关
1. 设直线 经过点
，倾斜角为 .
（Ⅱ）在曲线 C 上任意取一点 P(2cos ,3sin ) 到 l 的距离为：
d
5 | 4cos 3sin
6|，
5
∴ | PA |
d sin 300
2 5 | sin( 5
4
) 6 |，其中 为锐角，且 tan
。
3
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曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。
x 4 5cos t
【解】（Ⅰ）将曲线 C1 的参数方程
( t 为参数）消去参数 t ， y 5 5sin t
得曲线 C1 的普通方程为 x2 y2 8x 10y 16 0 ；
x
∵
y
cos
，
sin
∴ ( cos )2 ( sin )2 8 cos 10 sin 16 0
（Ⅱ）设 P( x0, y0 ) 。 x0 2cos
∵ P 点在曲线 C1 上，∴ y0 3sin （ 为参数）。 ∵ | PA |2 ( x0 1)2 ( y0 3) 2 x02 y02 2 x0 2 3 y0 4 ，
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2
8sin 3
4 3。
∴ | AB | | 2 1 | 2 3 。
【另解】曲线 C1 的普通方程为 x 2 ( y 2) 2 4 ；
曲线 C2 的普通方程为
2
x
(y
2
4)
16 ；
射线
的普通方程为 y 3x （ x 0 ）。
3
y 3x
解方程组
，得射线
x2 ( y 2)2 4
与 C1 的异于极点的交点为 A( 3,3) ； 3
y 3x
解方程组
，得射线
x2 ( y 4)2 16
与 C2 的异于极点的交点为 B (2 3,6) 。 3
∴ | AB | (2 3 3) 2 (6 3) 2 2 3 。
3．【 12 新课标（文 23）】 (本小题满分 10 分)已知曲线 C1 的参数方程是
x 2cos
，（ 为
y 3sin
参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线
2cos ， [0, ] 。 2
（Ⅱ）设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l ： y 3x 2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到
的参数方程，确定 D 的坐标。
【解】（Ⅰ）∵半圆 C 的极坐标方程为：
2cos ， [0, ] ， 2
∴半圆 C 的直角坐标方程为： ( x 1)2 y2 1（ x [0, 2] ， y [0,1] ）。
| PB |2 ( x0 3) 2 ( y0 1)2 x02 y02 2 3x0 2 y0 4
| PC |2 ( x0 1)2 ( y0 3)2 x02 y02 2x0 2 3y0 4
| PD |2 ( x0 3) 2 ( y0 1)2 x02 y02 2 3x0 2 y0 4
∴
|
PA
2
|
2
| PB |