爱辉区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

爱辉区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． （理）已知tan α=2
，则=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 在△ABC
中，已知，则∠C=（ ）
A ．30°
B ．150°
C ．45°
D ．135°
3． 设为虚数单位，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．
已知
，
，那么夹角的余弦值（ ）
A
．
B
．
C ．﹣2
D
．﹣
5． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
6． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ） 8
π
7． 已知实数x ，y
满足，则z=2x+y 的最大值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．4
8．
与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ） A
．（，1，1） B ．（﹣1，﹣3，2） C
．（﹣
，，﹣1） D ．
（
，﹣3，﹣
2
）
9． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
10．数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n
=，若在数列{c n }
中c 8＞c n （n ∈N *
，n ≠8），则实数p 的取值范围是（ ）
A ．（11，25）
B ．（12，16]
C ．（12，17）
D ．[16，17）
11．设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
12．已知圆C 1：x 2
+y 2
=4和圆C 2：x 2
+y 2
+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x+y=0 B ．x+y=2 C ．x ﹣y=2 D ．x ﹣y=﹣2
二、填空题
13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
14．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．
15．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q= ．
16．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的
凸多面体的体积是 ．
17．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．
18．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
三、解答题
19．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；
（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
20．已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
21．如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ= 时，求点P 距地面的高度PQ ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．
22．
设函数()x
f x e =，()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：()2e g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
23．在中，，，.
（1）求的值;
（2）求的值。

24．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．
爱辉区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵tan α=2，∴ =
=
=
．
故选D ．
2． 【答案】C
【解析】解：∵a 2
+b 2=c 2
+ba ，即a 2+b 2﹣c 2=
ab ，
∴由余弦定理得：cosC==
，
∴∠C=45°． 故选：C ．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3． 【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C 4． 【答案】A
【解析】解：∵，
，
∴
=
，||=，
=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos ＜＞=
=
=﹣
，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2
=2． 则a 2a 6=9×q 6
=72．
故选：D ．
6． 【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿
x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数
sin 2sin 28
4
[()]()y x x π
π
ϕϕ=+
+=+
+的图象，可得
4
2
π
π
ϕ+=
，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
7． 【答案】D
【解析】解：画出满足条件的平面区域， 如图示：
，
将z=2x+y 转化为：y=﹣2x+z ，
由图象得：y=﹣2x+z 过（1，2）时，z 最大， Z 最大值=4， 故选：D ．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
9． 【答案】B
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C 63
=20种，
其中恰有两个球同色C 31C 41
=12种，
故恰有两个球同色的概率为P==，
故选：B ． 【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基
础题．
10．【答案】C
【解析】解：当a n ≤b n 时，c n =a n ，当a n ＞b n 时，c n =b n ，∴c n 是a n ，b n 中的较小者， ∵a n =﹣n+p ，∴{a n }是递减数列，
∵b n=2n﹣5，∴{b n}是递增数列，
∵c8＞c n（n≠8），∴c8是c n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，
∴n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，
当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8，
∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
∴c8=b8=23，
那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故选：C．
11．【答案】D
【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
12．【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，
∴•k=﹣1且=k•+b，
解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】②③
【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==>因为1
(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 14．【答案】 2016 ．
【解析】解：由a n+1=e+a n ，得a n+1﹣a n =e ， ∴数列{a n }是以e 为公差的等差数列， 则a 1=a 3﹣2e=4e ﹣2e=2e ，
∴a 2015=a 1+2014e=2e+2014e=2016e ． 故答案为：2016e ．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
15．【答案】 2或1 ．
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则可得（a 1+d ）2
=a 1（a 1+3d ）
解得a 1=d 或d=0
∴公比
q=
=2或1．
故答案为：2或1．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．
16．【答案】
．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8
个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
17．【答案】6．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
18．【答案】2．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…
20．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．21．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，
从而当时，PQ=50﹣50cos=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．
又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=
=．
令g（θ）=．θ∈（0，π）
则，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．
当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．
所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为．所以．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当时，∠MPN取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）令e e
()()2ln2
F x g x x
x x
=-+=-+
，
22
1e e
()
x
F x
x x x
-
'
∴=-=
由()0e
F x x
'>⇒>∴()
F x在(0,e]递减，在[e,)
+∞递增，
∴
min
e
()(e)ln e20
e
F x F
==-+=∴()0
F x≥即
e
()2
g x
x
≥-成立．……5分
（Ⅱ）记()()()x x
h x f x f x ax e e ax
-
=---=--，∴()0
h x≥在[0,)
+∞恒成立，()e x x
h x e a
-
'=+-，∵()
()e00
x x
h x e x
-
''=-≥≥，
∴()
h x'在[0,)
+∞递增，又(0)2
h a
'=-，……7分
∴①当2
a≤时，()0
h x'≥成立，即()
h x在[0,)
+∞递增，
则()(0)0
h x h
≥=，即()()
f x f x ax
--≥成立；……9分
②当2
a>时，∵()
h x
'在[0,)
+∞递增，且
min
()20
h x a
'=-<，
∴必存在(0,)
t∈+∞使得()0
h t'=．则(0,)
x t
∈时，()0
h t'<，
即(0,)
x t
∈时，()(0)0
h t h
<=与()0
h x≥在[0,)
+∞恒成立矛盾，故2
a>舍去．
综上，实数a的取值范围是2
a≤．……12分
23．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，，
于是
（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得
于是
所以
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，
则，
解得，，，…
由于，故n=55．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=，
由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…
∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，
∴EX==，DX==．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．。