加格达奇区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

加格达奇区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直 2． 下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
3． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4． 已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ）
A ．
B ．
C ．
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
5． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）
A ．（￢p ）∨q
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．（￢p ）∧（￢q ）
6． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
7． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2
123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
8． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）
A ．211
B ．227
C ． 32259
D ．32
435
9． 若圆22
6260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，
则a =（ ）
A ． 1±
B ． 4±
C ．
D ．10．圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线22
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．
【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ） A ．（0，＋∞） B ．（－∞，－1
2）
C ．（－1
2
，＋∞）
D ．（－1
2
，0）
12．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知两个单位向量,a b 满足：1
2
a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= .
14．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 15．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若
28
108
10=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；
③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．设集合{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．
18．如图：等腰梯形ABCD ，E 为底AB 的中点，
AD=DC=CB=AB=2，沿ED 折成四棱锥A ﹣BCDE ，使
AC=．
（1）证明：平面AED ⊥平面BCDE ； （2）求二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值．
19．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，
斜率为的直线交抛物线于11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =
． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中． （1）求11A C 与1B C 所成角的大小；
（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11A C 与EF 所成角的大小．
21．已知函数()|1|1f x x =-+．
（1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．
22．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、
、三线共点．
加格达奇区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】B
【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥，
因此l⊥α．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
3．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
4．【答案】A
【解析】
5． 【答案】B
【解析】解：命题p ∧（￢q ）是真命题，则p 为真命题，￢q 也为真命题， 可推出￢p 为假命题，q 为假命题， 故为真命题的是p ∨q ， 故选：B ．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p ∨q 全假时假，p ∧q 全真时真．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨
-<≤⎩
，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 8． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+
=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由圆2
2
6260x y x y +--+=，可得2
2
(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
1
2
r
，即1=
，解得4
a =±
，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于1
2
r 是解答的关键.
10．【答案】
C
11．【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e
x
－e －x ）（
－1
2x ＋1＋12
） ＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2
}，故选C.
12．【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，
∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】27
7
-． 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 14．【答案】8
15．【答案】2016
16．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=
|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC ＜0， 即有C 为钝角．
则三角形ABC 为钝角三角形；⑤不正确． 故答案为：①②③
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质. 18．【答案】
【解析】（1）证明：取ED 的中点为O ， 由题意可得△AED 为等边三角形，
，
，
∴AC 2=AO 2+OC 2
，AO ⊥OC ，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，
min OS =S 的坐标为
168±（，）． 20．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形， 所以11//AC A C ，从而1B C 与AC 所成的角就是11A C 与1B C 所成的角． 由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒， 即11A C 与BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．
21．【答案】（1）
,1,
()
2, 1.
x x
f x
x x
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
；（2）图象见解析；（3）[1,)
+∞.
试题解析：
（1）
,1, ()
2, 1.
x x
f x
x x
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
（2）画图（如图）．（3）值域[1,)
+∞．
考点：分段函数图象与性质．22．【答案】证明见解析．【解析】
考点：平面的基本性质与推论．。