广西桂林中学2022高三10月抽考-数学理

广西桂林中学2022高三10月抽考-数学理
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时刻：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i 是虚数单位,则3+i 1i
-= （ ）
A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i
2、已知全集
{}
0,1,2,3,4U =,集合
{}{}
1,2,3,2,4A B ==,则()
U
C A B 为（ ）
A ．
{}1,2,4
B ．
{}2,3,4 C ．
{}0,2,4 D ．
{}0,2,3,4
3 、 设α是第二象限角,
()
,4P x 为其终边上的一点,且
1cos 5x
α=,则tan α=（ ）
A.43
B.34
C.
34
- D.
43
- 4、设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,,//m l m l αα⊥⊥则； ②若,,,.l m l m αβα
ββ⊥=⊥⊥则
③若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； ④若//,//,,//l m l m αβαβ⊂
则.
其中正确命题的个数是 （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5、． 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x x =++，则当 0x <时，()f x 的表达式为 ( ) A ．()21x f x x =-- B ．()21x f x x =+- C ．()21x f x x -=-+- D ．()21x f x x -=---
6．函数
)
1(log 2
32)(22---=
x x x x f 的定义域是 ( )
A. (-2
,2
1
) B.
)
,2[]2
1
,(+∞⋃--∞ C. (2,+∞) D. [1,+∞)
7、 长方体ABCD —A 1
B 1
C 1
D 1
中，
12,AB AD AA ==则点1
D 到直线AC 的距离
是 ( )
A ．3 B
C
． D ．4
8、. 已知函数2()f x x bx c =++，若对任意x R ∈都有(2)(2)f x f x +=-，则有（ ） A. (2)(1)(4)f f f << B. (1)(2)(4)f f f << C. (2)(4)(1)f f f << D. (4)(2)(1)f f f <<
9.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10．已知双曲线
22
2:1
1x y C a
-=上一点P 到两焦点的距离之差为2，则该双曲线的离心率是
( )
A ．2
B
C
D ．32
11、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，
SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为
（ ）
A.
6 B.
6
C.3
D.2
12.已知函数
()()()()211,
log 1a a x a x f x x x ⎧-+<⎪
=⎨≥⎪⎩
是
(),-∞+∞减函数，那么a 的取值范畴是
（ ）
1.0,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
1.,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
11.32C ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
1.,13D ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4题，每题5分，共20分．）
13、在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝
14 函数()3
212313
f x x x x =
-+-的单调递增区间为____________________. 15、直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为
16、若函数()()
*∈=N n x x f n 图像在点（1，1）处的切线为n n l l ,在x 轴，y 轴上的截距
分别为,n n a b ，则数列{25}n n
a b +的最大项为
三、解答题：（本大题共6题，共70分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡上答题）
17（本小题满分10分） （10分）已知函数()2sin cos f x x x =()
22cos x x -∈R .
（1）求函数()
f x 的最小正周期；
（2）当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的取值范畴.
18、
（本小题满分12分） 设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范畴．
19 （本小题满分12分）
已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1. (1)求f (9)，f (27)的值；
(2)解不等式：f (x )＋f (x －8)<2.
20、（本小题满分12分）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点，
DC 1⊥BD .
（1）证明：DC 1⊥BC ；
（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.
21. （本小题满分12分）已知等差数列{}n
a 满足：14,9625=+=a a a .
（1）求{}n
a 的通项公式；
（2）若n a n n q a b +=(0>q )，求数列{}n b 的前n 项和n S .
22. （本题满分12分）设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线()
y f x =与直线32
y x
=
在(0，0)点相切。

（1）求,a b 的值;
（2）证明：当02x <<时，9()6
x f x x <
+.
桂林中学2020届高三10月月考(数学理科)答案
一、选择题
二、填空题
13. 88 14. (,1),(3,)-∞+∞ 15. 1或7- 16. 16 三、解答题： 17.解：（1）因为
()sin 2cos21
f x x x =--
π21
4x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 因此函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 4分 （2）
(
)π21
4f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭. 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，
ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，6分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
C
D
A
C
C
A
A
A
C
B
C
当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥
⎣⎦， 8分 因此当
ππ242
x -=
，即
3π8x =时，()max 21f x =-； 当
ππ244
x -=-
，即0x =时，()min 2f x =-
；故函数
()
f x 的取值范畴是
2,21⎡⎤
--⎣⎦
. 10分
18、（12分）设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范畴． ．解 ∵A ＝{0，－4}，∴B ⊆A 2分 分以下三种情形：
(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的
两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎨⎧
Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＞0，
－2(a ＋1)＝－4，
a 2－1＝0，
解得a ＝1.
5分
(2)当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，同时Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，现在B ＝{0}满足题意． 8分
(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1. 11分 综上所述，所求实数a 的取值范畴是(－∞，－1]∪{1}． 12分
19 （12分）已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1.
(1)求f (9)，f (27)的值；
(2)解不等式：f (x )＋f (x －8)<2.
[解答] (1)f (9)＝f (3)＋f (3)＝2， f (27)＝f (9)＋f (3)＝3. 6分
(2)∵f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]<f (9)，8分 又函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －8>0，x (x －8)<9，解得8<x <9. 即原不等式的解集为{x |8<x <9}．12分
20.（12分）已知等差数列{}n
a 满足：14,9625=+=a a a .
（1）求{}n
a 的通项公式；
（2）若
n a n n q a b +=(0>q )，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20. （理）解：（1）设
{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则
由526
9,14,a a a =+=得
1149,2614,
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ …………2分
解得
11,2,
a d =⎧⎨
=⎩
因此
{}n a 的通项公式2 1.n a n =- …………5分
（2）由21n a n =-得
2121n n b n q -=-+. …………7分 ①当01q q >≠且时，
[]()
13521135(21)n n S n q q q q -=+++
+-+++++
()222
11n q q n q -=+
-；…………10分 ② 当1q =时，2n b n =，得n S =(1)n n +； 因此数列
{}n b 的前n 项和
()()()()22
2
11,
101.1n
n n n q S q q n q q q +=⎧⎪=-⎨+>≠⎪-⎩
且…………12分
21、（12分）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .
（1）证明：DC 1⊥BC ；
（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.
21 .解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.
由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.
又AC ＝1
2AA 1，可得DC 2
1＋DC 2＝CC 21
因此DC 1⊥DC . 2分
而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，因此DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC . 5分
（2）由（1）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，因此CA ，CB ，CC 1两两相互垂直.
两相互垂直.
以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .
由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2). 7分 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→
＝(－1,0,1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BD →＝0，n ·
A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋z ＝0，z ＝0.可取n ＝(1,1,0). 同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0.可得m ＝(1,2,1). 10分
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m
|n |·|m |＝32.
故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°
. 12分 22.（22分）设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线()y f x =与直线32
y x
=
在(0，0)点相切。

（1）求,a b 的值;
（2）证明：当02x <<时，
9()6
x f x x <
+.
22. 解：（1）由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. ………………2分
由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为3
2，
又
'=0=0
13=+=++12
x x y a a x ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，得a ＝0. …………………………5分
（2）(证法一)由均值不等式，当x ＞0时，2(x ＋1)·
1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x
2＋
1.……7分
记h (x )＝f (x )－9x x ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)
2＝2＋x ＋12(x ＋1)－54
(x ＋6)2
＜x ＋64(x ＋1)－54(x ＋6)2＝(x ＋6)3－216(x ＋1)
4(x ＋1)(x ＋6)2. …………………………9分 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数，又由g (0)＝0，得g (x )＜0，因此h ′(x )＜0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数，又h (0)＝0，得h (x )＜0. 因此当0＜x ＜2时，f (x )<9x
x ＋6. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f (x )＝ln(x ＋1)＋
x ＋1－1.
由均值不等式，当x ＞0时，2
(x ＋1)·
1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x
2＋1.①
令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1
x ＋1－1＝－x x ＋1＜0， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x .②
由①②得，当x ＞0时，f (x )＜3
2x .
记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时，h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9
＜3
2x ＋(x ＋6)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1－9
＝1
2(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)]
<12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)⎝⎛⎭⎫
3＋x 2－18(x ＋1)] ＝x
4(x ＋1)(7x －18)＜0.
因此h (x )在(0,2)内单调递减，又h (0)＝0，
因此h (x )＜0，即f (x )＜9x
x ＋6.。