第五章 力学量的算符表示
力学量的平均值、算符表示 平均值
r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x
§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
2.7力学量算符(18)好
1
c( px ) (2)1/ 2
( x) exp( ipx x / )dx
|
c(
px
)
|2
粒子动子动量的几率密度， x
则
px px
px | c( px ) |2 dpx
px px
px | c( px ) |2 dpx
c( px ) pxc( px )dpx
( x)(i d )( x)dx dx
( x) pˆ x( x)dx
过程繁琐，略
(3) 力学量平均值公式
当系统处于状态
(r )
时，力学量
Aˆ
的平均值：
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3）两个力学量同时有确定值的条件
1．两个力学量同时有确定值的条件是它们有共同的本征函数。
2．两个力学量同时有确定值的条件是它们可对易：
Aˆ
n
(r )
n
当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，
这些可能值均为 的H本ˆ 征值。这表明 的H本ˆ征值是体系能量的可测值，
将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设。该假设给出了表示力 学量的算符与该力学量的关系。
力学如量果F 算有符确F定ˆ 值表，示这力个学值量就F，是那么当属Fˆ体于系该处本于征态Fˆ 的的本本征征值态。中时，
量子力学中的算符
px
i
x
,
py
i
y
,
pz
i
z
或
p
i
二．算符的一般性质
1．算符
某一种运算把函数 u 变为 v ，表为 Aˆ u v 则 Aˆ 称为一个算符。
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
量子力学期末考试题及解答
（2） 时波函数 ；
（3） 时能量的取值几率及能量平均值。
三、表象理论
1.已知在 和 的共同表象 中，当 时，算符 的矩阵形式为
求其本征值及相应的本证函数。
解答：在 和 的共同表象 中， 的本证方程为
相应的久期方程为
于是得到 满足的代数方程
显然 。当 时，将其代回本证方程得
（3）
在 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（4）
得到
（5）
于是有
（6）
此即能量满足的超越方程。
当 时，由于
（7）
故
（8）
最后，得到势阱的宽度为
（9）
7.设粒子处于如下势场
若 ， ，求在 处的反射系数和透射系数。
解答：具有能量 的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为
（1）
（2）
式中
（3）
利用波函数在 处的连接条件，得到
一、波函数及薛定谔方程
1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;
解答：由波函数的概率波解释可知，当 已经归一化时，坐标的取值概率密度为
（1）
将上式的两端分别对时间 求偏微商，得到
（2）
若位势为实数，即 ，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式
（3）
（4）
将上述两式代入（2）式，得到
（5）
若令
（6）
证明： （1）
用算符 作用（1）式两端，有
（2）
由上式可知 也是算符 的对应本征值 的本征态，它与 只能差一个常数，若设其为 ，则有
（3）
说明 不但是算符 的本征态，而且也是算符 的本征态。
13.证明下述两个平均值公式
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
4. 力学量与算符
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量详解
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
力学量与算符
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
§5.1 力学量随时间的演化
2
因为
ˆ2 ˆ ˆr p p L = + 2m 2m 2m 2 r
2
即 所以 而 可见
ˆ2 ˆ ˆr p p L = + 2m 2m 2m 2 r
2 2
ˆ， 2] = 0 [L， (r)] = 0 ˆ V ˆ [L p
ˆ2 ˆ ˆ = pr + L +V(r) H 2 2m 2m r
2
ˆ H [L，ˆ ] = 0
空间反演算符也称为宇称算符
反演算符
Q
ˆ I 的本征值 v v v ˆ[ Iψ (r , t )] = Iψ (− r , t ) = ψ (r , t ) = I 2ψ ( r , t ) ˆ v ˆ ˆ I
I2 =1
∴
3.8力学量随时间的变化 守恒律 力学量随时间的变化
本征值
1 I = −1
∴ ˆ dF 1 * ∂F ˆˆ ˆˆ = ∫ψ ψdx + ∫ψ * ( FH − HF )ψdx dt ∂t ih
dF ∂F 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = + ( FH − HF ) dt ∂t ih
利用对易子记号 则 （2） 2
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ FH − HF ≡ [ F , H ]
dF ∂F 1 ˆ ˆ = + [F , H ] dt ∂t ih
3.8力学量随时间的变化 守恒律 力学量随时间的变化
2、运动积分——力学量守恒的条件 运动积分 力学量守恒的条件
ˆ ˆ 若：力学量算符 F 不显含时间t，且与哈米顿算符H 对易
即 则有 结论: 结论:
ˆ ∂F =0， ∂t ∂t
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ F , H ] = FH − HF = 0
算符与力学量的关系
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
5算符 动量算符和角动量算符
为本征值方程！本征值为动量 Px ，为一实常数。
作业：1、一维线性谐振子的势能为 U x
1 2 x 2 ，它处在 2
x e 2
1 2 x2 2
2
2
x 2 1 的状态中，式中
问：该谐振子的能量有没有确定值？
d2 2 ˆ x ①证明 2、设某体系的哈密顿算符为 H 2 dx
sin x 2 当x 0时， 以周期 振荡，振幅随 x 的增加而减少 x
sin x 2 sin x lim dx lim dx x x 0
1
2
2
k
1 2
e ikx dx
sin k k lim k
i
(1)写为分量形式：
P r ——相应于本征值 P 的本征函数
的本征值
？求解
d Px x dx d Py y d Pz z dz
dy
Px Px x
Py Py y
2
3
i
i
Pz Pz z
4
动能 经典表达式
2 2 ˆ T 动能算符(Kinetic energy operator) 2 角动量
经典表达式
P2 T 2
L rP
ˆ ˆ 角动量算符(Angular momentum operator) L r P ir
三、算符和力学量间的关系
ˆ H E
P i
ˆ 引入动量算符符号： P i
ˆ P 在直角坐标系中的三个分量： ˆ i ，P i ，P i ˆ ˆ Px y z x y z
第五章态和力学量表象.ppt
an (t ) un * ( x )( x, t )dx
aq (t ) uq * ( x )( x, t )dx
则 ( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dq n
归一化则变为：
an * (t )an (t ) aq * (t )aq (t )dq 1
推广上述讨论：
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ (x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
（二）力学量表象
量子力学 表象 不同表象波函数 u1(x), u2(x),..., un(x), ... a1(t), a2(t),..., an(t), ... 量子状态Ψ (x,t)
坐标系
不同坐标系的一组分量
→
i, j, k,
Ax, Ay, Az
矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ (x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
算符与力学量的关系
１１９§3.6 算符与力学量的关系重点: 完全性关系，算符与力学量的关系的基本假设 难点: 完全性关系一、厄米算符的本征函数的完全性 1.复习§3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算符表示。
假定2：算符Fˆ的本征值集合即是测量体系力学量F 可能得到的所有量值；体系处在F ˆ的属于本征值的本征态nψ时，测力学量F ，得到确定值n λ。
但是在任意态ψ中（非F ˆ的本征态），此时Fˆ与代表的力学量F 的关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
2.完全性：若F ˆ是满足一定条件⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ级数收敛的平方可积的n n F ˆ)2(F ˆ)1(的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系)x (1Φ、)x (2Φ…)x (n Φ…对应的本征值为1λ、2λ…n λ…，则任一函数)x (Ψ可以按)x (n Φ展为级数：)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑ ①式中n C 是与x 无关的展开系数。
我们称本征函数)x (n Φ的这种性质为完全性，或者说)x (n Φ组成完全系。
１２０说明：①展开系数∫ΨΦ=∗dx )x (C n n以)x (m ∗Φ左乘)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑，且对x 的整个区域积分有m mn n n mnn n nn m m C C dx )x ()x (C dx)x (C dx )x ()x (=δ=ΦΦ=ΦΦ=ΨΦ∑∫∑∑∫∫∗∗∗即：∫ΨΦ=∗dx )x (C n n ② ②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。
3.展开系数2n C 的物理含义：设)x (Ψ为归一化的波函数，则根据)x (n Φ是正交归一化的完全函数系，有：1dx )x ()x (ΨΨ=∫∗=dx C C n nn m mm Φ⋅Φ∑∫∑∗∗==ΦΦ∗∗∫∑dx C C n m n n ,m m n ,m n n ,m m C C δ∑∗2nn C ∑=即：1C 2nn=∑因左边是总几率，所以2n C 有几率的意义。
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137第5章力学量的算符表示§5.1 算符及其运算规则在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为∇-= i ˆp(5.1.1) )(2ˆ22r V mH +∇-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本章的后面将引入的宇称算符πˆ则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。
由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。
§5.1.1 算符及其运算规则1、线性算符138满足下列运算规则22112211ˆˆ)(ˆψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3)的算符Aˆ，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。
在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。
如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。
2 、单位算符若对任意的波函数ψ，算符I ˆ满足ψψ=Iˆ (5.1.4)则称Iˆ为单位算符。
3、 算符之和若对任意的波函数ψ，下式ψψψB A B Aˆˆ)ˆˆ(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B Aˆˆ+为算符A ˆ与算符B ˆ之和。
算符的加法运算满足交换律和结合律，即A B B A ˆˆˆˆ+=+ (5.1.6) C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ (5.1.7) 4、 算符之积两个算符A ˆ和B ˆ之积记为)ˆˆ(B A ，对任意的波函数ψ，算符)ˆˆ(B A的作用定义为下列运算)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A= (5.1.8)139即算符之积)ˆˆ(B A 对任意波函数的运算过程是，先用算符B ˆ对ψ进行运算，得到一个新的波函数（ψB ˆ），然后，再用算符Aˆ对（ψB ˆ）进行运算。
一般情况下，ψψ)ˆˆ()ˆˆ(A B B A≠ (5.1.9) 即A B B Aˆˆˆˆ≠ (5.1.10) 此即算符运算与普通代数运算的重要差别。
5、 算符之幂算符Aˆ的n 次幂定义为 个n n A A A A ˆˆˆˆ= (5.1.11)同一个算符的不同幂之积，满足n m n m A A A +=ˆˆˆ (5.1.12)6、 算符之逆设ϕψ=Aˆ (5.1.13) 能够惟一地解出ψ，则可定义算符Aˆ的逆算符1ˆ-A 为 ψϕ=-1ˆA(5.1.14) 应该说明的是，并非所有的算符都具有相应的逆算符。
若算符A ˆ的逆算符1ˆ-A存在，则有 I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- (5.1.15)1407、 算符的复共轭算符A ˆ的复共轭算符*ˆA 是将A ˆ中的所有复量换成共轭复量。
例如，动量算符的x 分量的复共轭算符x x px x p ˆi i ˆ**-=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-= (5.1.16) 8、 算符的转置对任意的波函数ψ和ϕ，算符Aˆ的转置算符A ~ˆ满足 ⎰⎰=)(~ˆ)(d )(ˆ)(d **x A x x x A x x ϕψψϕ (5.1.17) 根据算符转置的定义，可以证明()A B B A~ˆ~ˆˆˆ ~= (5.1.18) 9、 算符的共轭对任意的波函数ψ和ϕ，算符A ˆ的厄米特共轭（简称为共轭）算符+Aˆ满足 ⎰⎰=+)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.19) 由转置算符的定义知⎰⎰⎰==+)(~ˆ)(d )(ˆ)(d )(ˆ)(d *****x A x x x A x x x A x x ψϕϕψψϕ (5.1.20) 于是，有*~ˆˆA A=+(5.1.21) 一个算符的共轭为此算符转置后再取其复共轭。
10、 厄米特算符141若算符Aˆ满足 ⎰⎰=)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.22) 则称算符Aˆ为厄米特算符。
由共轭算符的定义可知，厄米特算符满足 A Aˆˆ=+ (5.1.23) 显然，若一个算符的共轭等于该算符自身，则此算符是厄米特算符，故厄米特算符也称之为自共轭算符。
下面将会看到，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米特的。
11、 幺正算符如果算符Aˆ满足 1ˆˆ-+=A A (5.1.24)则称之为幺正算符。
12、 算符函数若函数)(x F 的各阶导数均存在，且对其作幂级数展开时是收敛的，即nn n x n F x F ∑∞==0)(!)0()( (5.1.25)则对应算符Aˆ的算符函数)ˆ(A F 为(5.1.26)§5.1.2 对易子代数1、对易子142为了描述两个算符之积的交换关系，引入符号[]A B B A B Aˆˆˆˆˆ,ˆ-≡ (5.1.27) 称之为算符A ˆ与B ˆ的对易关系或对易子。
如果[]B A ˆ,ˆ＝0，则称算符Aˆ与Bˆ是可对易（交换）的，否则，称A ˆ与B ˆ是不对易的。
对于坐标与动量算符而言，显然，有[][]z y x p p ,,, ,0ˆ,ˆ0,===νμνμνμ (5.1.28) 根据所研究的对象的不同，有时要用到反对易关系 []{}A B B A B A B A ˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆ+≡≡+(5.1.29) 2、对易子的计算（1）、对于最基本的对对易关系，需要通过直接计算来求出例1. 计算[]x px ˆ,。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})(i )()()(i )(ˆ)(ˆ)(ˆ,''x x x x x x x x p x px x p x x x x ψψψψψψψ =---=-= (5.1.30) 由于)(x ψ是一个任意的状态，所以，[] i ,=x p x (5.1.31) 进而，有[]z y x p,,, , i ˆ,==νμδμμνν (5.1.32) 此即著名的海森堡对易关系。
它是量子力学中最基本的对易关系。
用类似的方法可知，时间t 与能量算符Eˆ的对易关系为143[]i ˆ,-=Et (5.1.33) 例2. 在一维情况下，计算[]x ,ˆπ。
解: 对于任意的状态)(t ψ，有[]()()()()()()()x x t x x x x x t x x t x ψπψψψψππψπˆ22ˆˆ,ˆ-=--=----=-= (5.1.34)所以，[]ππˆ2,ˆx x -= (5.1.35)或者，[]0,ˆ=+x π(5.1.36) 例3. 计算[]x px f ˆ),(。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})()(i )()()()()()(i )( ˆ),(''''x x f x x f x x f x x f x px f x ψψψψψ =---= (5.1.37) 所以，(5.1.38)（2）、于其它的对易关系，可以利用对易子代数的运算规则来导出对易子代数的运算规则如下：144[][][][][][][][][][]C A B CB AC B A C A B A C B A B A B A A B B A ˆ,ˆˆˆ ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+=+=+=-=λλ (5.1.39) 式中，λ为常数。
例4. 定义轨道角动量算符p r L ˆˆ ⨯=，计算[]yx L L ˆ,ˆ。
其中， ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=x y z z x y y z x p y p x x y y x L p x p z z x x z L p z py y z z y L ˆˆi ˆˆˆi ˆˆˆi ˆ (5.1.40)解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][][][]()zx y y z x z z y z z x y x z z y z x y zz x y zy xL p y p x p p z x p z p y p x p z p x p y p z p z p z py p x p z p y p z pz p y p x p z pz p y L Lˆi ˆˆi ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ =-=+=+--=---=--= (5.1.41) 例5. 定义角动量平方算符2222ˆˆˆˆzy x L L L L ++=，计算[]z L L ˆ,ˆ2。
解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][]()0ˆˆˆˆˆˆˆˆi ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ2222=--+-=+++=++=xyyxxyyxyzyzyyxzxzxxzzzyzxzL L L L L L L LL L L L L L L L L L L LL L L L L L L L (5.1.42)由上式可知，2ˆL 与zL ˆ是对易的。
同理可证，2ˆL 与x L ˆ及y L ˆ也是对易的。
145§5.1.3 厄米特算符的判别法通常有如下三种方法来判别一个算符是否为厄米特算符。
1、利用厄米特算符的定义直接进行判别例1 证明动量x 分量算符x pˆ是厄米特算符。
证明：对任意两个波函数1ψ和2ψ（为书写简洁，略去其自变量x ），总可以对其作傅立叶展开，即()()()()kkx k C kkx k C d i exp 21d i exp 212211⎰⎰==πψπψ (5.1.43)式中积分的上下限分别为正、负无穷，为简洁起见，将其略去。
用xp x ∂∂-= i ˆ作用上述两式的两端分别得 ()()()()k kx k kC p k kx k kC px x d i exp 2ˆd i exp 2ˆ2211⎰⎰==πψπψ(5.1.44) 再利用傅立叶的逆变换求出展开系数 ()()x pkx k kC xd ˆi exp 2111ψπ⎰-= (5.1.45) ()()x p kx k kC x d ˆi exp 2122ψπ⎰-= (5.1.46) 于是146()()()()[]()[]()()()k k C k kC k k C x p kx x k kx k C px px xxd 2d d ˆi exp 21d d i exp ˆ21d ˆ2*12*12*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.47)而()()[]()()[]()()kk C k kC k x p kx k C x pk kx k C x px xx d 2d d ˆi exp 21d ˆ d i exp 21d ˆ2*1*2*1*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.48)比较上述两式可知()x px p x x d ˆd ˆ2*12*1ψψψψ⎰⎰= (5.1.49) 表明算符x pˆ是厄米特算符。