2017-2018学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式章末质量评估 北师大版选修4-5

第一章 不等关系与基本不等式
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P ，Q ，R 的大小顺序是( )
A.P >Q >R
B.P >R >Q
C.Q >P >R
D.Q >R >P
解析 ∵2＋2＝22>6，∴2>6－2，即P >R ； 又∵6＋3>7＋2，∴6－2>7－3，即R >Q ，所以P >R >Q .
答案 B
2.设a ＞b ＞c ，n ∈N ，且
1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，则n 的最大值为( ) A.2
B.3
C.4
D.5 解析 (a －c )⎝
⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a －b ＋1b －c ＝2＋a －b b －c ＋b －c a －b ≥4，故n 的最大值为4，应选C.
答案 C
3.不等式3≤|5－2x |＜9的解集为( )
A.[－2，1)∪[4，7)
B.(－2，1]∪(4，7]
C.(－2，－1]∪[4，7)
D.(－2，1]∪[4，7) 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩
⎪⎨⎪⎧－9＜2x －5＜9，2x －5≥3或2x －5≤－3 ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜7，x ≥4或x ≤1，得(－2，1]∪[4，7). 答案 D
4.已知a >2，b >2，则有( )
A.ab ≥a ＋b
B.ab ≤a ＋b
C.ab >a ＋b
D.ab <a ＋b 解析 作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a
，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12
＝1. 答案 C
5.已知b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，那么( )
A.2ab ＜a 4－b 4a －b ＜a ＋b 2
＜b
B.2ab ＜a ＋b 2＜a 4－b 4
a －b
＜b C.a 4－b 4a －b ＜2ab ＜a ＋b 2
＜b D.2ab ＜a ＋b 2＜b ＜a 4－b 4
a －
b 解析 此题可用特殊赋值法判断出来，设a ＝13，b ＝23，2ab ＝2×13×23＝49，a 4－b 4
a －
b ＝a 2＋b 2＝59，a ＋b 2＝12
，b ＝23，∴b ＞a 4－b 4a －b ＞a ＋b 2
＞2ab 成立，选B. 答案 B 6.若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2
有( ) A.最小值1
B.最大值1
C.最大值－1
D.最小值－1
解析 y ＝（x －1）22x －2＋12x －2＝x －12＋12（x －1）＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－x 2＋12（1－x ） ≤－2
1－x 2·12（1－x ）
＝－1. 答案 C 7.设不等的两个正数a ，b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D.(0，1)
解析 a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab ，而0＜ab ＜（a ＋b ）2
4
，所以0＜(a ＋b )2－(a ＋b )＜（a ＋b ）24，得1＜a ＋b ＜43
. 答案 B
8.设关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k 的取值范围是( )
A.k >0
B.k >1
C.k <－4
D.k >0或k <－4 解析 设方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两个实根分别为x 1，x 2且x 1<1，x 2>1，依题意
⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8k （－3k －2）>0，（x 1－1）（x 2－1）＝－3k ＋22k －22k ＋1<0， 解得k >0或k <－4，故选D.
答案 D
9.若a ，b ，c >0且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.2 3
B.3
C.2
D. 3 解析 a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a (a ＋2b )＋2c (a ＋2b )
＝12⇒(a ＋2c )(a ＋2b )＝12≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋2b ＋a ＋2c 22 ＝(a ＋b ＋c )2，所以a ＋b ＋c ≥2 3.
答案 A
10.设b >a >0，且P ＝ 21a
2＋1b 2，Q ＝21a ＋1b ，M ＝ab ，N ＝a ＋b 2，R ＝ a 2＋b 22，则它们的大小关系是( ) A.P <Q <M <N <R
B.Q <P <M <N <R
C.P <M <N <Q <R
D.P <Q <M <R <N
解析 R 为平方平均数，它最大.
答案 A
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11.若x ，y ，a ∈(0，＋∞)，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________. 解析 ∵
x 2＋y 22≥x ＋y 2，即x 2＋y 2≥22(x ＋y )， ∴x ＋y ≥22(x ＋y )，而x ＋y ≤a x ＋y ， 即x ＋y ≥1a (x ＋y )恒成立，得1a ≤22
，即a ≥ 2. 答案 2
12.a ，b ，c ∈(0，＋∞)，设S ＝
a a ＋
b ＋
c ＋b b ＋c ＋
d ＋c c ＋d ＋a ＋d d ＋a ＋b ，则S 的取值范围是________. 解析 a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d d ＋a ＋b ＞a a ＋b ＋c ＋d ＋b b ＋c ＋d ＋a ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d d ＋a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋c ＋d a ＋b ＋c ＋d
＝1 即S ＞1，
a a ＋
b ＋
c <a a ＋c ，c c ＋
d ＋a <c a ＋c ，b b ＋c ＋d <b b ＋d ，d d ＋a ＋b <d d ＋b 得a a ＋b ＋c ＋c c ＋d ＋a <c a ＋c ＋a a ＋c ＝1，
b b ＋
c ＋
d ＋d d ＋a ＋b <d d ＋b ＋b b ＋d ＝1. 即a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d d ＋a ＋b
<2，得S <2，所以1<S <2. 答案 1<S <2。