江苏省镇江市句容市、丹徒区2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷

江苏省镇江市句容市、丹徒区2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
3.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）
A. 50°
B. 100°
C. 120°
D. 130°
4.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能
．．．的是（）
A. 1，2，3
B. 1，3，4
C. 2，3，5
D. 3，4，5
5.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）
A. c2=a2-b2
B.
C. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
D. ∠A=∠B-∠C
6.如图，四边形中，，，连接，，垂足是且
，点是边上的一动点，则的值可能
．．是（）
A. B. 1 C. D. 2
7.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AB的长是（）
A. 4
B.
C. 5
D. 6
8.如图，∠B=30°，线段BC=2，点E、F分别是线段BC和射线BA上的动点，设，则的最小值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共12题；共14分）
9.△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B=________°.
10.如图，△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，则∠DFB=________.
11.如图，x=________.
12.已知等腰三角形的周长为12，底边长为5，则腰长为________.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝8，BC＝6，则CD＝________．
14.如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是________点.
15.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接.若，，则的长为________.
16.如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，BC=10cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△CBD的周长
C△BCD=________.
17.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝________.
18.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.若AD=4，CE=3，则DE的长为________.
19.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，E是CA上的一点，连结BE，将△ACE沿BE折叠，点C落在AB边上D点处，则DE=________.
20.如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC=76°，则∠1=________.
三、解答题（共7题；共63分）
21.
（1）请在下图中画出两个以AB为腰的等腰△ABC.
（要求：1.锐角三角形，直角三角形各画一个；2.点C在格点上.）
（2）如图所示，OD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A.B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22.已知：如图，AC=BD，∠1=∠2.
求证：△ADB≌△BCA.
23.计算图中四边形ABCD的面积．
24.如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F.
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠DFE的度数.
25.如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，E是BD延长线上的一点，且AE=AC.
（1）求证：AE//BC；
（2）若AD=DC=2，求BC的长.
26.如图，在长方形ABCD中，AD=3cm，AB=7cm，E为边AB上任一点（不与A、B重合），从点B出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点F从点D出发，以x cm/s向终点C运动，运动的时间为t s.（注：长方形的对边平行且相等，每个角都是90°）
（1）若t=4，则CE=________；
（2）若x=2，当t为何值时点E在CF的垂直平分线上；
（3）连接BF，直接写出点C与点E关于BF对称时x与t的值.
27.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
（1）（问题解决）
如图1，点D与点B重合，求证：AE=FC；
（2）（类比探究）
如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；
（3）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐一判断即可.
2.【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵两三角形全等，
∴∠2=60°，∠1=52°，
∴∠α=180°-50°-60°=70°，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等及三角形内角和定义进行解答即可.
3.【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
4.【答案】D
【解析】【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，2，3时，围成的三角形的三边长分别为1，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是1，3，4时，围成的三角形的三边长分别为1，，2，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的三角形的三边长分别为，，，又
，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，2，，又
，所以围成的三角形不是直角三角形；
∴选取的三块纸片的不可能的是3，4，5.
故答案为：D.
【分析】
5.【答案】C
【解析】【解答】解：. ，
则有，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
. ，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
. ，，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
. ，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理结合已知条件，找出三角形中最大的内角的度数，即可判断C、D；根据勾股定理的逆定理，一个三角形中如果两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形就是直角，从而即可判断B、A.
6.【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=AD=2，
∴DP的最小值为2，
∴点D符合题意，
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，利用三角形的内角和可得∠ABD=∠CBD，利用角平分线的性质可得DE=AD=2，从而求出结论.
7.【答案】C
【解析】【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）
∴BE=AD=3，
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，
∴CE=1+3=4
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
∴AB=BC=5，
故答案为：C.
【分析】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，根据AAS可证△ABD≌△BCE，可得BE=AD=3，进而求出
CE=1+3=4，在Rt△BCE中，根据勾股定理求出BC的长即可.
8.【答案】C
【解析】【解答】解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，
∵DG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∵BC=2，∠B=30°，
∴CG= BC=1，
∴CD=2，
∵∠DGF=∠BEF=90°，∠BFE=∠DFG，
∴∠D=∠B=30°，
∴
∴由勾股定理，DE= ，
∴CF+EF的最小值是，
则= ，
故答案为：C.
【分析】作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF 的最小值=DE，根据勾股定理求出DE的长即可.
二、填空题
9.【答案】50
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形内角和求解即可.
10.【答案】120°
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，
∴∠DFE=∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∴∠DFB=180°-∠DFE=180°-60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和可得出∠DFE=∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，利用邻补角的定义由∠DFB=180°-∠DFE求出∠DFB的度数.
11.【答案】12
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
，
解得，x=±12，（负值舍去）
∴x=12，
故答案为：12.
【分析】利用勾股定理解答即可.
12.【答案】3.5
【解析】【解答】解：设等腰三角形的一条腰为x，
∵腰三角形的周长为12，底边长为5，
∴，
解得；
故答案为：3.5.
【分析】设等腰三角形的一条腰为x，利用等腰三角形的性质及周长可得方程，解出x的值即可.
13.【答案】4.8
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10．
∵CD⊥AB，∴DC×AB＝AC×BC，∴DC 4.8．
故答案为：4.8．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的值，再利用直角三角形面积求法得出答案．
14.【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是：D.
故答案为：D.
【分析】根据对称的性质进行作图，利用图形即得结论.
15.【答案】4
【解析】【解答】解：∵，，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
由作图知MN是BC垂直平分线，
∴BD=CD=4.
故答案为：4.
【分析】利用CD=AC-AD先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，从而求出结论.
16.【答案】24cm
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD=AD，
∵AB＝AC＝14cm，BC=10cm，
∴C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=14+10=24cm，
故答案为：24cm.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD，利用C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC即可求出结论.
17.【答案】58°
【解析】【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得，
解得：，
∴∠BAD＝58°；
故答案为：58°.
【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值.
18.【答案】1
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵CE⊥BD，∠A=90°，
∴∠A=∠BEC=90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
∴AB=CE=3，
∵AD=4，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD=5，
∵△ABD≌△ECB，
∴AD=EB=4，
∴DE=BD-BE=1.
故答案为：1.
【分析】根据AAS可证△ABD≌△ECB，可得AB=CE=3，AD=EB=4，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD=5，利用DE=BD-BE即可求出结论.
19.【答案】3
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
由勾股定理AB= ，
∵△ACE沿BE折叠，
∴△BCE≌△BDE，
∴BC=BD=6,CE=DE，∠BDE=∠C=90º，
在Rt△ADE中，设DE=x，AE=8-CE=8-x，AD=AB-BD=10-6=4，
DE2+AD2=AE2，即x2+42=(8-x)2，
解得x=3.
故答案为：3.
【分析】在△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据折叠可得△BCE≌△BDE，根据全等三角形的对应边相等和对应角相等得出BC=BD=6,CE=DE，∠BDE=∠C=90º，在Rt△ADE中，设DE=x,AE=8-CE=8-x，
AD=AB-BD=4，利用勾股定理建立方程，据此解答即可.
20.【答案】38°
【解析】【解答】解：连结BO并延长，L1与AB交于E，与BC交于F，L2与BC交于D
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=BO=CO，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∵∠AOG是△ABO的外角，
∴∠AOG=∠A+∠ABO=2∠ABO，
同理∠COG=∠C+∠CBO=2∠CBO，
∵∠AOC=76°，
∴∠AOC=∠AOG+∠COG=2∠ABO +2∠CBO=2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC=76º,
∴∠ABC=38º,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90º-∠ABC =90º-38º=52º，
∵OD⊥BC，
∴∠1+∠EFB=90 º，
∴∠1=90º-∠EFB=90º-52º=38º.
故答案为：38º.
【分析】连结BO并延长，L1与AB交于E，与BC交于F，L2与BC交于D，根据线段垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，根据等边对等角求出∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，利用三角形外角的性质可得
∠AOG=∠A+∠ABO=2∠ABO，同理求出∠COG=∠C+∠CBO=2∠CBO，从而求出∠ABC=38º,由
EF⊥AB,OD⊥BC，可得∠1=90º-∠EFB，据此即可求出结论.
三、解答题
21.【答案】（1）解：如图所示即为所求，
（2）解：如图，C1、C2点即为所求：
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可；
（2）分别作∠EOD与∠DOF两个角的角平分线所在的直线，再作线段AB的垂直平分线，它们的交点即为所求.
22.【答案】证明：在△ADB和△BCA中，
∵AC=BD，∠1=∠2，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA(SAS).
【解析】【分析】根据SAS可证△ADB≌△BCA.
23.【答案】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD= ，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD= ×12×16+ ×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【解析】【分析】先需利用勾股定理计算BD，再利用勾股定理逆定理判定△CBD是直角三角形，再求出两个直角三角形面积之和即可.
24.【答案】（1）证明：∵AC⊥BC DC⊥EC
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD
∴ AE=BD
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠E=∠D
在△FOE和△COD中
∵∠FOE=∠COD，∠E=∠D
∴∠DFE=∠ECD=90°
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ACE=∠BCD，根据SAS可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；
（2）由△ACE≌△BCD，可得∠E=∠D，根据三角形内角和即可求出∠DFE=∠ECD=90° .
25.【答案】（1）证明：∵AB=AC AE=AC，
∴ AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AE∥BC；
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
在△ADE和△CDB中，
∵AD=CD ∠E=∠EBC ∠ADE=∠BDC，
∴△ADE≌△CDB，
∴AE=BC=AC，
∵ AE=AC，AD=DC=2，
∴BC=AE=4.
【解析】【分析】（1）由AB=AC AE=AC，可得AE=AB，利用等边对等角可得∠ABE=∠AEB，由角平分线的定义，可得∠ABE=∠EBC，利用等量代换可得∠AEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）由AE∥BC，可得∠E=∠EBC，根据AAS可证△ADE≌△CDB，可得AE=BC=AC，据此即可求出结论.
26.【答案】（1）5cm
（2）解：过点E作EH⊥CD垂足为点H，
∵点E在CF的垂直平分线上，
∴ CH=FH= CF，
由题意知：四边形BEHC是长方形，
∴CH=BE=t，DF=2t，
∴CF=7-2t
∴t= (7-2t)，
则t= ；
（3）解：点C与点E关于BF对称时，即，，即四边形BCFE为正方形，
∴，，
∴t=3，x= .
【解析】【解答】解：（1）t=4时，，
∴，
∴CE=5cm；
故答案为：5cm；
【分析】（1）先求出BE，BC，在Rt△CBE中，利用勾股定理可求出CE即可；
（2）过点E作EH⊥CD垂足为点H，根据线段垂直平分线的性质，可得CH=FH=CF，利用长方形的性质可得CH=BE=t，DF=2t，从而求出CF=7-2t，根据CH=CF列出方程，求出t值即可；
（3）点C与点E关于BF对称时，即，，即四边形BCFE为正方形，从而求出结论.
27.【答案】（1）证明：∵△ABC和△DEF是等边三角形
∴AB=BC，∠ABC=∠EDC=60°，DE=DF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EDC-∠EBC
即∠ABE=∠CBF
在△ABE和△CBF中
∵
∴△ABE≌△CBF
∴AE=CF
（2）解：在CD上截取CH=CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=FE，∠DEF=60°，
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
∴∠DEH=∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH=CF，
∴CD=CH+DH=CE+CF，
∴CE+CF=CD；
（3）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴∠GDC=∠DGC=60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG=CD=CG，∠GDC=60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDG=∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG=FC，
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ABE≌△CBF，可得AE=CF；
（2）在CD上截取CH=CE，如图1，易证△CEH是等边三角形，可得EH=EC=CH，根据SAS可证△DEH≌△FEC，可得DH=CF，从而可得CD=CH+DH=CE+CF；
（3）FC=CD+CE，理由：过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，利用平行线的性质，可得
∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，故求出∠GDC=∠DGC=60°，可证△GCD为等边三角形，得DG=CD=CG，由SAS可证△EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而得出FC=EG=CG+CE=CD+CE.。