指对幂函数复习课课件
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2)五个基本幂函数的图像画法及特征； (3) 幂函数的性质。
作业：P79习题2.3： 1，2，3。
谢谢指导
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了��
单元复习 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)
故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1
1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)
幂函数复习课
yx
p2 3 p 2 2
( p Z)
1 2 3 p p 0 2 2
yx
2
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
1 -2 -1 1 2 -1
1/
1/3 3
幂函数的指数小于0的情况
《幂的运算复习》课件
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
乘方运算
概念：乘方运算是一种特殊的乘法运算，表示一个数自乘若干次
符号：乘方运算的符号为“^”，如2^3表示2的3次方
运算规则：a^m * a^n = a^(m+n)，如2^3 * 2^2 = 2^5
幂的运算方法：包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
《幂的运算复习》PPT课件
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汇报人：PPT
目录
01
单击添加目录项标题
03
幂的运算方法
05
幂的运算注意事项
02
幂的定义与性质
04
幂的运算应用
06
幂的运算易错点分析
07
幂的运算练习题与答案解析
添加章节标题
01
幂的定义与性质
02
幂的定义
幂是指一个数自乘若干次
幂的表示方法：a^n，其中a是底数，n是指数
幂的运算分配律：a^m*(b+c)=a^mb+a^mc
幂的运算结合律：a^m*a^n=a^(m+n)
幂的运算优先级：乘方>乘除>加减
底数与指数的符号问题
底数与指数的符号对幂的运算结果有重要影响
底数为负数时，幂的运算结果也为负数
指数为负数时，幂的运算结果也为负数
底数为正数时，指数为正数或负数，幂的运算结果都为正数
指数方程的解法：利用指数函数的性质和指数方程的性质进行求解
指数方程的性质：指数函数的单调性、奇偶性、周期性等
指数方程的求解步骤：确定指数方程的类型、利用指数函数的性质进行求解、验证解的正确性
幂函数的性质与图像
幂函数与指对数运算课件高三数学一轮复习
幂函数及其应用
1. 概念理解：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
点乘双根法 二三次方程韦达定理
能判断“图象” 能熟练“配方” 能用好“零点”
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
课后小结
1. 幂函数及其图象. 2. 幂的运算性质. 3. 对数的概念及其运算性质. 4.三个二次之间的关系 5.大小比较 6.同构的应用技巧
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
③ 二次不等式
能否分解要确定，先看开口后比根。
指数与对数运算
1. 对数运算：
指数与对数运算
2.大小比较： 选好中间量，用好单调性
指数与对数运算
2.大小比较： 分参构造新函数，然后再手单调性。
朗博同构
指对共存须同构，看清形式再变形。
朗博同构
构造以后用图象，六个图象必记清。
指对幂函数复习课
概念
指数函数
ya yx
x
对数函数
幂函数
y log a x
α
a 0,a 1
R
1.指数与指数幂的运算 一.根式：
n
n
如果 x a n 1.当n为奇数，x= a 2.当n为偶数，x= ± a 3.当a=0，即
n n
a
a0
a
0ห้องสมุดไป่ตู้0
n
4. ①当n为奇数， a n
②当n为偶数， a n
n
a ,a 0 | a | = a , a 0
指数运算：
(1)
a n am
a
n
m n
2 3 3 52 5
(2)
1 n a
2 1 5 52
3 2
(3)
ar a s ar s
2 2 1 3 2 ( ) ( ) 2 2 3 2 ( ) 3
y=log2x y=log3x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
在y轴右侧指数函数的底 在直线x=1右侧,在x轴上下 数越大，其图像越在上 两侧，指数函数的底数越 大，其图像越在下方 方
15.如果 log a 3 logb 3 0, 那么a,b之间的关系是 __________ b>a>1 .
若a>1， 则在区间[2,+∞)上，logax>1恒成立。 y ∴1<a<2。 若0<a<1， 则在区间[2,+∞)上， logax<-1恒成立。 1 ∴ <a<1。 2
1 1 1 -1 2 2 y
y=logax y=log2x
《基本初等函数(I)复习课》 PPT
指数与指数函数
指
指数
数
函数
根 式
有 理 数
无 理 数
运定 算义 性
图 象 与
指指 质
性
数数
质
幂幂
对数与对数函数 幂函数
对
对数 定 图
数
函数 义 象
与
定运定 图
性
义算义 象
质
性
与
质
性
质
一、知识梳理：核心速填
1、根式的性质
a n
(1) n a
当n为偶数时,a 0；
3 分数指数幂
m
a n n am
1
2, 3
+
2当a 1时，定义域为0，+ 当0 a 1时，定义域为-,0
3、设a log3 , b log2 0.2, c 2，
则a,b,c的大小关系是b c a
三、深化梳理
基 本 初 等 函 数（Ⅰ）
知识梳理
基本题型
思想方法
图指 像、 和对 性数 质函
数 、 幂 函 数 的 定 义
a
的取值范围是
2 2
,
1
小结：1、构造两个函数，研究函数图象， 利用数形结合求解；
2、数形结合是解决方程、不等式的重要工具；
3、考查函数思想、数形结合思想、分类讨论思想
四、核心考点 突破练
例2：复习参考题B组第3题 (课后练习）
对于函数f
x
a
2 2x 1
a
R ：
1 探索函数f x的单调性；
指大定 图 性 综
数小义 像
与比域 及
对较与 应
数
值用
质 及 应 用
合 问 题
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
总结归纳
及时总结归纳学习过程中 的重点和难点，形成自己 的学习笔记和心得体会， 便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食， 保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己 能够通过努力取得好成绩。遇到 困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件 幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的 理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力 和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方 面的学习目标，例如掌握基本概念 、理解图像特征、熟练运用性质等 。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的 自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。
《幂函数》课件
（1）由于 1.50.6 与
1.60.6 指数是相同的，所
y
y x0.6
以他们可以看作是幂函 1.60.6
数 y x0.6 在 x=1.5 与 1.50.6
x=1.6 处的函数值.
因 为 α =0.6>0, 所 O
1.5 1.6
x
以 幂 函 数 y x0.6 在
(0,+∞)上是增函数.
又1.5<1.6，所以 1.50.6 1.60.6
（2）考察幂函数
y
2
x3
.因为
2
0
所以幂函数
y
2
x3
3
在（0，+∞）上是减函
数
又3.5<5.3，所以
2
3.5 3
2
5.3 3
y
2
yx 3
2
3.5 3
2
5.3 3
O
3.5
5.3
x
学生练习
❖课本P115 第1、2题
小结
❖ 幂函数及其性质
作业布置
❖课本P116 习题A:第9题
谢谢大家！
y x4 y x5
……
1
y x2
1
y x3
……
y x2
y x3 y x4
……
1
yx 2
1
yx 3
……
1
下面我们来用描点法画 y x3和 y x 2 的图像：
通过画图和讨论， 我们可以发现：
❖ 他们的图像都经过定 点（1Leabharlann 1）；❖ 在第一象限中，函
数 y x，y x，3
y x12和 y x2的
解：方法一：用科学计算器直接计算出数值，再对两个数 值进行大小比较.
幂函数课件ppt课件
课程总结回顾
幂函数的基本概念
回顾幂函数的基本定义，以及幂函数的图像和性质。
幂函数的运算规则
复习幂函数的加减乘除运算规则，以及幂函数运算的实例。
幂函数的实际应用
强调幂函数在生活和科学领域中的应用，如物理学、工程学、统 计学等。
对未来学习的展望和规划
深化对幂函数的理解
学习更高阶的数学理论
通过更多实例和习题，深化学生对幂函数 的理解和掌握。
幂函数乘法
$(x^m \times x^n) = x^{m+n}$
幂函数除法
$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
幂函数的复合运算
复合幂函数
将多个幂函数进行复合运算，如：$((x^2+1)^3-2x^4)$
复合幂函数的运算顺序
先算括号内的幂函数，再乘除，最后加减
幂函数的求导与微分运算
金融和投资
在金融和投资领域，幂函数被用于描述股票价格的变化和收益率的 计算。
计算机科学
在计算机科学中，幂函数被用于高效计算大数和进行快速幂运算。
幂函数在物理学中的应用
描述放射性衰变
幂函数被用于描述放射性衰变的 过程，即原子核自发地转变为其
他原子核的过程。
描述药物代谢
在药理学中，药物的代谢过程通 常可以用幂函数来描述。
幂函数例子
如$y = 2^x$、$y = x^2$等均为幂函数。
幂函数的性质
奇偶性
当底数为正数时，幂函数为偶函 数；当底数为负数时，幂函数为
奇函数。
增减性
当指数为正数时，幂函数随着自变 量的增加而增加；当指数为负数时 ，幂函数随着自变量的增加而减小 。
零点
当指数为整数时，幂函数的零点为 该整数的负一次方。
幂指数对数函数复习课
正实数集 R
（1，0） 减函数 增函数
对数的性质 (1) loga a＝1，即底数的对数等于1； (2) loga1＝0，即1的对数等于零； (3) 0和负数没有对数．
以10为底的对数叫做常用对数．为了简便， log10N 简记作 lgN．
自然对数
积、商、幂的对数
展练习
复旧：幂函数
指数函数
对数函数
一、幂函数的概念 一般地，形如
y＝x
的函数我们称为幂函数． 注意：自变量是底数
幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有 一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)
指数函数
对数的概念
一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N， 即 ab＝N，那么幂指数 b叫做以a为底 N的对数．
小学教育专业
复习课:
幂函数 指数函数 对数函数
幂函数 指数函数 对数函数
【教学目标】 1. 掌握对数函数的概念，图象和性质，并会简单的应用． 2. 培养学生用数形结合的方法去解决问题．注重培养学生的观察， 分析，归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生发现、探索、创新的精神；培养合作交流、独立思考等 良好的个性品质． 【教学重点】 对数函数的图象、性质及其运用． 【教学难点】 对数函数图象和性质的发现过程，培养数形结合的思想．
“以a为底 N的对数b”记作
(a＞0且a≠1)， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1； (2) 对数的书写格式； (3) 对数的真数大于零．
b＝logaN
对数函数
一般地，对数函数
y＝logax
（a>0,a≠1）
具有下列性质： 1）定义域是正实数集，值域是R； 2）当x=1时，y=0，即函数的图像会通过点（1，0）； 3）在定义域内，当a>1时，是增函数； 当0<a<1时，是减函数。
第四章 指数函数与对数函数(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修一
作业：
1、整理今天的题目 2、周末完成一套综合题目，下周进行讲评
题型二 指数函数的图象与性质
命题点3 解简单的指数不等式 例 3 (1)若 2x2＋1≤14x－2，则函数 y＝2x 的值域是
A.18，2
√B.18，2
C.－∞，18
D.[2，＋∞)
解析 14x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4， ∴ 2x2＋1 ≤2－2x＋4，
即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0， ∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3,21]， 即为18，2.
∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上单调递增，
a<0， 则2a≥－3，
解得 a≤－23.
思维升华
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及 值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分 析判断.
题型五 复合函数的应用
例9 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上
第四章 指数函数与对数 函数复习课
课前准备：
1、提前对好答案并改正
2、准备好笔记本做好记录
知识梳理 1.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量， 函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质
a>1
人教高中数学必修二B版《增长速度的比较》指数函数、对数函数与幂函数研讨复习说课教学课件
A.
)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间
的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系为(
)
A.k1<k2 B.k1>k2
C.k1=k2 D.无法确定
答案:D
(0 +Δ)-(0 )
=2x0+Δx,
0 +Δ-0
在[1,1+Δx]上的平均变化率.
Δ
3+1 -3
(3)对于 y=3 , =
=2×3a>6,
Δ
(+1)-
log2 (+1)-log2
Δ
+1
对于 y=log2x,Δ =
=log2
(+1)-
1
1
=log2 1 + <log2 1 + =1.
1
x
所以 y=log2x 在[a,a+1]上的平均变化率小于 y=3x 在[a,a+1]上的平
)
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小无法确定
答案:A
1-0
=1,所以
1-0
解析:因为 m1=1,m2=
m1=m2.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率
为
.
答案:2.9
解析:因为f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,
高中数学总复习 指、对、幂的大小比较
C.a<b<c
D.b<a<c
c＝2－log32＝log39－log32＝log392>log34＝2log32＝b，即 c>b， a－c＝log23＋log32－2>2 log23×log32－2＝2－2＝0，所以 a>c，所 以 b<c<a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则
A.b>c>a C.a>c>b
B.b>a>c
√D.a>b>c
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8， 则 f′(x)＝－ln x＋1x8－1， f′(x)＝－ln x＋1x8－1 在[8，＋∞)上单调递减，且 f′(8)＝－ln 8＋94 －1＝54－ln 8<54－ln e2＝54－2<0， 所以 f′(x)＝－ln x＋1x8－1<0 在[8，＋∞)上恒成立，
∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.
思维升华
利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12 ，1”对所比较的数进行划分， 然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如 log23 ， 可 知 1 ＝ log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便 于比较.
所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2 024)>f(2 023)，即a<b.
§5.4指数函数和幂函数的性质
§5.4 指数函数和幂函数的性质预备知识∙函数的定义域和函数的值域∙指数函数和幂函数的图象重点∙指数函数和幂函数的性质难点∙指数函数和幂函数的增减性∙指数函数的图象及与底的关系，∙幂函数的图象及与指数的关系学习要求∙掌握指数函数和幂函数的性质∙了解指数函数的图象及与底的关系∙了解幂函数的图象及与指数的关系在第三章中定义指数函数和幂函数时，我们已经初步介绍了它们的性质．在这一节中，我们在复习已学性质的基础上，将进一步讨论它们的性质，讨论的线索就是上一节所论及的一些内容．经过这一节的学习，使你能对这两个函数有更全面的了解． 1. 指数函数的性质在第三章已经知道指数函数y =a x 的底a >0,且a ≠1；在那里我们还分别作出过指数函数y =2x , y =3x , y =x )21(和y =x )31(等的图象，并且指出这些函数的定义域是(-∞,+∞)；它们的图象无对称性、无周期性．现在，我们在同一个直角坐标系内，画出这四个指数函数的图象，另外再添上两个指数函数y =4x , y =x )41(的图象(见图5-27)．从图5-27中，你可以看出指数 函数随着a 的变化而变化的趋势． 当0<a <1，a 越接近1，在y =1以上 的图象离y 轴越远；随着a 由1逐渐 减小，y =a x 的图象左翘右压，好像在 绕着点(1,0) 作顺时针旋转，逐渐靠向 y 轴；而当a >1，a 越大，在y =1以上 的图象离y 轴越近；随着a 逐渐减小， y =a x 的图象继续左翘右压，仍然好像 在绕着点(1,0)作顺时针旋转，逐渐远离y 轴(见图5-27中圆箭头所示)．当然，上面讲的仅仅是指图象的变化趋势，实际上不同的a ，y =a x 的图象的线型也是在变化的，而不是简单的旋转． 这种变化趋势，使你在遇到不同的a 时，可以估计y =a x 的图象的大致位置．例如y =(2.5)x 的图象，肯定夹在y =2x 与y =3x 的图象之间；y =x )125(的图象，也肯定夹在y =x )21(和y =x )31(的图象之间．依此类推，你能够相信，只要有了y =n x 和y =x n )1((n =1,2,3,...)的图象，因为任何a (a >0, a ≠1)，当0<a <1(a ≠n 1)，必定存在一个n 0∈N *，使110+n < a <01n ，因此y =a x 的图象会夹在y =x n )1(0的图象与y =x n )11(0+的图象之间；当a >1(a ≠n )，也必定存在一个自然数n 1∈N *，使n 1<a <n 1+1，因此y =a x 的图5-271 y =图象会夹在y =(n 1+1)x 的图象与y =(n 1)x 的图象之间．这表明，任何a (a >0,a ≠1)，y =a x 的图象，要么就是y =n x 和y =x n)1((n ∈N *)这种图象，要么夹在这种图象之间．因此我们不必如图5-27那样画出众多的指数函数图象，只要分0<a <1、a >1两种情况，画出两条典型的图象作为代表(见图5-28)，就能了解指数函数y =a x 的基本性质了．这些基本性质是：(1)任意a >0，指数函数定义域为(-∞,+∞), 值域为(0,+∞)；(2)任意a >0，指数函数既不是奇函数， 也不是偶函数，它的图象既不是中心对称， 也不是关于y 轴轴对称；(3)任意a >0，指数函数都没有周期性； (4)指数函数的单调性与底a 有关： 当a >1，y =a x 单调增加，且在x ∈(-∞,0)， a x <1，在x ∈(0,+∞,)，a x >1；当0<a <1，y =a x 严格单调减小，且在x ∈(-∞,0)，a x >1，在x ∈(0,+∞,)，a x <1． 从图象角度来看，也可得出指数函数y =a x (a >0,a ≠1)图象的一些特性： (1)在x 轴的上方，都经过点(0,1)； (2)无任何对称性，无周期性；(3)当a >1，图象曲线上升，在y 轴左边的图象曲线，位于水平线y =1以下，当x 无限减小时，图象无限靠近x 轴；在y 轴右边的图象曲线，位于水平线y =1以上，当x 无限增加时，图象向右上方无限延伸；(4)当0<a <1，y =a x 图象曲线下降，在y 轴左边的图象曲线，位于水平线y =1以上，当x 无限减小时，图象向左上方无限延伸；在y 轴右边的图象曲线，位于水平线y =1以下，当x 无限增加时，图象无限靠近x 轴． 例1 比较下列指数函数值的大小： (1)y =21.5, y =21.4； (2)y =5-1.4, y =5-1.1；(3)y =)21(0.3 , y =)21(0.4； (4)y =)32(-0.31, y =)32(-0.32．解 (1)指数函数a x 的底a =2>1，所以函数单调增加，所以21.5>21.4 ▌ (2)指数函数a x 的底a =5>1，函数单调增加，所以5-1.4<5-1.1▌(3)指数函数a x 的底a =21<1，函数单调减小，所以)21(0.3 >)21(0.4▌ (4) 指数函数a x 的底a =32<1，函数单调减小，所以)32(-0.31<)32(-0.32 ▌例2 把下列各数由小到大排列，并用“<”把它们连结起来： (1)0.32, 62.3, 0, 0.50, 62.1； (2)0.5-2, 0-3.2, 21.5, 0.40, 7-0.3． 解 (1)指数函数的函数值都是正的，所以0最小．图5-28因为 0.50=1, 0.32=0.09<1，所以 0<0.32<0.50．62.3, 62.1是a x 的底a =6时的两个函数值，因为6>1, 2.3>0, 2.1>0，所以62.3>1, 62.1>1．又因为a =6>1，a x 单调增加，所以62.3>62.1． 综上得 0<0.32<0.50<62.1<62.3 ▌(2)0-3.2=0，指数函数的函数值都是正的, 所以0-3.2最小； 7-0.3是a x 的底a =7时的两个函数值，因为-0.3<0，所以7-0.3<1， 又因为 0.40=1，所以 0-3.2<7-0.3<0.40=1． 0.5-2=(21)-2=4>1；21.5是a x 的底a =2时的函数值，因为a =2>1, 1.5>0，所以21.5>1，又2x 单调增加，所以1<21.5<22=4=0.5-2．综上得 0-3.2<7-0.3<0.40<21.5<0.5-2 ▌例1、例2貌似简单，其实比较起来你会觉得很繁．你会说，我有计算器，只要把所有数计算出来，就能比较了，何必自讨苦吃？好吧，请你比较两个数：20.1, 20.100000001，在计算器上计算出来是相同的结果――1.071773463，但实际上不等关系是明确的：20.1<20.100000001．可见掌握指数函数性质比计算器有时还要高明一些吧？那么形如例1、例2之类的问题，该如何着手去解呢？一般先把各数与1和0进行比较，把正数分成小于1组和大于1组两部分；然后比较小于1组内的各个数的大小和大于1组内的各个数之间的大小――这一步是关键，你得熟练应用指数函数的性质；最后把各数由小到大统一排列． 课内练习11. 比较下列指数函数值的大小： (1)y =30.5, y =30.4； (2)y =4-1.4, y =5-1.3；(3)y =(31)2.5 , y =(31)2.6； (4)y =(43)-4.3 , y =(43)-4.2．2. 把下列各数由小到大排列，并用“<”把它们连结起来：(1)0.52, 43.2, 0, 20, 0.52.1； (2)3.5-2, 0-5.3, 81.5, 0.20, 3.5-1.9． 例3 在同一个直角坐标系中，作出下列指数函数的示意图：(1)y =4.5x ；(2)y =1.8x ；(3)y =(43)x ；(4)y =(32)x ．(所谓示意图，并不要求图象精确，只要求它经过一些特征点，并表明大体形状及相对位置关系．因此不必像我们在函数作图那样用描点法．) 解(1)指数函数y =a x 中的a =4.5>1，据a >1时指数函数图象特性描述(1)~(4)，作出示意图如图5-29的实线 ▌(2)指数函数y =a x 中的a =1.8>1，据a >1时指数函数图象特性描述(1)~(4)，并注意当a 减小时，图象顺时针旋转的规律，定出它与y =4.5x 的图象的相对位置关系，作出示意图如图5-29的虚线 ▌(3)指数函数y =a x 中的a =43<1，据a <1时指数函数图象特性描述(1)~(4)，作出示意图如图-39的单节线 ▌(4)指数函数y =a x 中的a =32<1， 据a <1时指数函数图象特性描述 (1)~(4),并注意当a 减小时, 图象顺 时针旋转的规律，定出它与y =(43)x 的图象的相对位置关系，作出示意 图如图5-29的双节线 ▌ 课内练习21. 在同一个直角坐标系中，作出下列指数函数的示意图： (1)y =2.1x ； (2)y =(23)x ； (3)y =(0.4)x ； (4)y =(73)x ．2. 幂函数的性质在第三章，对具体给定了指数α的某些幂函数y =x α作了初步讨论．那时你已经发现，对不同的α，x 允许取值的范围是不同的．在这里，我们的兴趣并不在于具体的某个幂函数，而是在于所有的一般幂函数的性质，也就是对一般的α∈R 来讨论幂函数y =x α的性质的．因为不论α为何值，当x >0时，幂x α总是有意义的，所以在本部分，我们只是在x >0的范围内讨论幂函数y =x α．在第三章，通过例题、课内练习体和课外习题，你已经对α=3,2,21,31, -21,-1,-2，作出过幂函数 y =x 3,y =x 2,x y =,3x y =,x y 1=,x y 1=, y =21x 的图象．现在，我们在同一 个直角坐标系的第一象 限内，画出这些幂函数 的图象(见图5-30)，你 可以从中发现随着指数α的变化，幂函数y =x α的图象的变化规律．这 种变化规律明显比指数 函数要复杂一些，但总 的趋势还是清晰可见的：图5-292x y =图5-30α=0))随着α由-∞逐渐变大到0、再由0逐渐变大到1、继续变大直到+∞，在x =1右边的曲线逐渐上翘，而左边的曲线却逐渐下压，好像在绕着点(1,1)旋转． 根据图5-30所见到的规律，可以总结幂函数的性质如表5-1．表5-1 幂函数及其图象变化规律表结合幂函数y =x 图象的总体变化规律，你可以相信，如果能有幂函数 y =x n , y =n x 1, y =nx1-,y =x -n (n ∈N *) (1)的图象，那么任何α∈R ，幂函数y =x α图象就能大致定位了．例如y =x 2 .7的图象总是夹在y =x 2和y =x 3的图象之间；y =10x的图象总是夹在y =x 3和y =x 4的图象之间；y =x -1. 8的图象总是夹在y =x -1和y =x -2的图象之间；y =x 0. 4的图象总是夹在y =31x =3x 和y =21x =x 的图象之间；y =x -0.7的图象总是夹在y =21-x=x1和y =x -1=1的图象之间，...．而如(1)形式的幂函数的图象，总是如图5-30形状，由此可见，任何α∈R ，夹在这些的图象之间的y =x α图象也是如图5-30的形状．这表明，在表5-1中所列的、由图5-30总结出来的幂函数及其图象的性质，是所有一般幂函数所共有的．也就是说，你只要把表5-1中第一列的具体的α=2,3,21,31,-21,-1,-2等，改为括号中的α>1, 0<α<1和α<0，那么表1就是一般幂函数的性质及其图象的特性．例1、例2我们仅用指数函数的性质于比较数的大小，现在了解了幂函数的性质，我们也可以把它用于比较数的大小，有时比单纯用指数函数性质更方便．例4 比较下列各对函数值的大小： (1)y =21.8, y =31.8； (2)y =5-1.1, y =6-1.1； (3)y =(21)0.4, y =(31)0.4；(4)y =(32)-3.2, y =(52)-3.2．解 (1)把所给的数看做指数α=1.8的幂函数y =x α的函数值．因为1.8>1，幂函数单调增加，所以21.8<31.8 ▌(2)把所给的数看做指数α=-1.1的幂函数y =x α的函数值．因为-1.1<0，幂函数单调减小，所以5-1.1>6-1.1 ▌(3)把所给的数看做指数α=0.4的幂函数y =x α的函数值．因为0<0.4<1，幂函数单调增加，所以(21)0.4>(31)0.4 ▌(4)把所给的数看做指数α=-3.2的幂函数y =x α的函数值．因为-3.2<0，幂函数单调减小，所以(32)-3.2>(52)-3.2▌ 例5 把下列两组数用“<”连接：(1)0.32.4, 62.4, 1, 22.4, 4.52.4； (2)0.5-2.1, 0.3-2.1, 1, 0.21.6, 0.41.6． 解 (1)把各数看作幂函数y =x 2.4，在x =0.3, 6, 1, 2, 4.5时的函数值．因为指数2.4>1，所以幂函数y =x 2.4单调增加，所以大小关系为 0.32.4<1<22.4< 4.52.4<62.4 ▌(2)把前三个数看做幂函数y =x -2.1在x =0.5, 0.3, 1时的函数值．因为指数-2.1<0，所以幂函数y =x -2.1单调减小，所以有 1<0.5-2.1<0.3-2.1；把后三个数看做幂函数y =x 1.6在x =1, 0.2, 0.4时的函数值．因为指数1.6>1，所以幂函数y =x 1.6单调增加，所以有 0.21.6<0.41.6<1； 综上得 0.21.6<0.41.6<1<0.5-2.1<0.3-2.1 ▌在这里遇到了与例1、例2相同的问题：比较一批数如何着手？方法与那里类似，一般首先把两个特殊的数0,1拿出来，其它数与它作比较；对大于0的数再分成0, 1之间的数和大于1的数两个组；其次在各组内，再应用幂函数性质，比较它们的大小；最后统一排序得到结果． 课内练习31. 比较下列各对函数值的大小：(1)y =50.4, y =30.4； (2)y =4-1.3, y =2-1.3；(3)y =(43)-4.7, y =(52)-4.7； (4)y =(32)2.6, y =(31)2.6． 2. 把下列两组数用“<”连接：(1)0.53.2, 43.2, 1, 23.2, 0.13.2； (2)3-2.4, 2-2.4, 1, 45.4, 75.4． 例6 在同一个直角坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =x 4.5； (2)y =x 1.7； (3)y =x 0.2； (4)y =x -1.1； (5)y =2-x．解 所谓示意图的含义，在例3已经解释过了．(1)在幂函数y = y =x α中，指数α=4.5>1．根据表5-1的图象特性以及与直线y =x , x =1的相对位置关系，作出示意图如图5-31之实线 ▌(2)在幂函数y = y =x α中，指数α=1.7>1．根据表5-1的图象特性，并根据指数α增大图象逆时针“旋转”的论断， 确定它与y =x 4.5图象的相对位置关系， 作出示意图如图5-31之长虚线 ▌ (3)在幂函数 y =x α中，指数α=0.2<1根据表5-1的图象特性以及与直线y =x , x =1的相对位置关系，，作出示意图如 图5-31之点虚线 ▌(4)在幂函数y =x α中，指数α=-1.1 <0．根据表5-1的图象特性以及与直 线x =1和y 轴的相对位置关系，作出 示意图如图5-31之单节线▌(5)在幂函数 y =x α中，指数α=-2<0．根据表5-1的图象特性，并根 据指数α增大图象逆时针“旋转”的论断，确定它与y = x -1.1图象的相对位置关系，作出示意图如图5-31之双节线 ▌ 课内练习41. 在同一个直角坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =x -0.9； (2)y =x -2.1； (3)y =x -2.5； (4)y =x 2.4； (5)y =3x．阅读材料(关于幂函数和指数函数的“突变”现象)仔细观察图5-30，你能发现一个非常奇怪的现象．当α>0时，幂函数αx y =的图象都是经过原点(0,0)的；当α=0，幂函数y =x 0=1，是一条过点(0,1)平行于x 轴的直线，它已经不经过原点了；当α<0时，图象在靠近x =0端又变成是无限延伸的了．幂函数的图象，在α>0时，随着α的减小，变化是有一定规律的，在α<0时，随着α的减小，变化也是有一定规律的，但就是在α=0这一个值处，却发生了“突变”．这是不是有些令人费解？同样的现象，你也能在指数函数y =a x 的图象变化中看到(见图5-27)，它对底a 也有“突变”点a =1．在0<a<1时，随着a 逐渐变大，指数函数图象的变化是很有规律的；但当经过a =1时，图象好像突然关于y 轴翻过来了；图5-31之后随着a 逐渐增大，变化又变得有规律．因此我们在指数函数定义中，把a =1排除在外，规定只考虑a >0且a ≠1．要解释清楚这些反常的“突变”现象，不是一件简单的事．事实上，在数学发展的早期，这些问题确实长期困扰了很多数学家．但正是对这种突变现象的解释的挚著追求，促使一门新的几何学的诞生，从而使不少在以笛卡儿坐标系为基础的欧几里德平面内无法解释的所谓反常现象，得到了圆满的解释．这表明笛卡儿坐标系是有其局限性的，它不能反映图象无限延伸之后的变化性态，而只是在有限范围内，正确地反映客观实际．这也表明人类思维的巨大威力，图象延伸到无限之后，已经不再可见，但人们凭借正确的思维，可以“见到”它的变化．这正说明了一个道理：只要善于思索，就能发现问题；只要挚著追求，就能有所收获．课外习题 A 组1. 不求值，比较下列函数值的大小：(1)y =20.7, y =20.6； (2)y =0.22, y =0.22.1； (3)y =2－0.1, y =2－0.2；(4)3121)31(,)31(--==y y ； (5)y =20.1, y =0.12； (6)y =0.5－1.2, y =1.2－0.5．2. 不求值，比较下列各式的大小：(1)2.12, 2.22； (2)0.13, 0.23； (3)0.10.2, 0.20.2； (4)0.1－0.2, 0.2－0.2； (5)321-,331-； (6)21)31(-, 21)41(-．3. 在同一坐标系中，作出下列指数函数的示意图： (1)y =2x ； (2)y =1.5x ； (3)y =2.5x ．4. 在同一坐标系中，作出下列指数函数的示意图： (1)y =x )21(； (2)y =x )32(； (3)y =0.4x ．5. 在同一坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =x 2； (2)y =x 2.5； (3)y =x 1.5．6. 在同一坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =21x ； (2) y =31x ； (3)y =32x ．7. 在同一坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =x -1； (2) y =x –1. 5； (3)y =x –2. 5．B 组1. 把下列各数由小到大排列，并用“<”连结起来： (1)23.1, 0.5－2.1, 1, 0, 7－0.3； (2)1,)21(,)21(,)31(,)21(31212131---．2. 把下列各数由小到大排列，并用“<”连结起来：(1)(-1.1)-1, (-0.9)-1, 0, 0.9-1, 1.1-1； (2)1.70.6, 0.70.6, 0.70.8, 1.70.8, 1．C 组1. 在同一坐标系中，作出下列指数函数的示意图：(1)y =2.3x ； (2)y =0.6x ； (3)y =x )43(； (4)y =x )35(．2. 在同一坐标系中，作出下列幂函数的示意图： (1)y =x -0. 4； (2)y =x -1. 3； (3)2x y =； (4)y =x 0. 6．。