2021-2022学年山东省日照市校际联考高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省日照市校际联考高二下学期期中数学
试题
一、单选题 1．数列2345
13579
，，，，
的一个通项公式是（ ）
A ．21n n
a n =+ B ．21
n n
a n =- C ．23
n n
a n =
- D ．23
n n
a n =
+ 【答案】B
【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.
【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：B
2．若函数()2
sin f x ax x =+，则()0f '=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．3
【答案】C
【分析】求出导函数，令0x =即可得解.
【详解】解：因为()2cos f x ax x '=+，所以()01f '=. 故选：C.
3．等比数列{}n a 中，1238a a a =-，516a =，则公比为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质可求得2a ，再根据35
2
a q a =即可得解. 【详解】解：设公比为q ，
因为1238a a a =-，所有3
28a =-，则22a =-，
所以
35
2
8a q a ==-，解得2q =-. 故选：A.
4．若曲线1ln x y e x -=+在点(1,1)处的切线与直线0ax y +=平行，则=a （ ） A ．1- B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】由1
'11
ln x x y e
x y e x
--=+⇒=+
，显然(1,1)在曲线1ln x y e x -=+上， 所以曲线1ln x y e x -=+在点(1,1)处的切线的斜率为11
1
21
e -+=， 因此切线方程为：12(1)21y x y x -=-⇒=-， 直线0ax y +=的斜率为a -，
因为曲线1ln x y e x -=+在点(1,1)处的切线与直线0ax y +=平行， 所以22a a -=⇒=-， 故选：C
5．在等差数列{}n a 中，123a a +=，567a a +=，则910a a +=（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质，得出1291056()()2()a a a a a a +++=+，即可求解. 【详解】根据等差数列的性质，可得1291056()()2()a a a a a a +++=+， 所以91027311a a +=⨯-=， 故选：D.
6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移s 与时间t 的关系是
3215
632s t t t =-+，那么速度为零的时刻是（ ） A ．1秒末 B ．2秒末
C ．3秒末
D ．2秒末或3秒末
【答案】D
【解析】求出导数s '，然后解方程0s '=可得．
【详解】∵32
15632s t t t =-+，∴2()56v s t t t '==-+.
令0v =，得2560t t -+=，解得2t =或3t =. 故选：D.
7．已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，f
x 是()f x 的导函数，若对()
0,x ∀∈+∞都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则方程()40f x x
'-=的解所在的区间是（ ） A ．1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()5,8
【答案】A
【分析】利用换元法求出函数的解析式及导数法则，再利用函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由题意可知，对任意的()0,x ∞∈+，都有()23x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦.
则()2x f x -为定值.设()2x
t f x =-，则()2x f x t =+.
又由()3f t =，即23t t +=.
可解得1t =.则()21x
f x =+，
∴()2ln 2x
f x '=.∴()442ln 2x f x x x
'-
=-. 令()42ln 2x h x x =-，()2
242ln 20x h x x
'=+>，
故()h x 在()0,+∞上单调递增，
又由()12ln 240h =-<，()24ln 210h =->. 故()h x 的唯一零点在区间1,2之间. 则方程()4
0f x x
'-=的解在区间1,2上. 故选:A.
8．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分
组，则2023在第几组（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
【答案】B
【分析】先求出{}n a 的通项公式，从而求出前m 组的个数和，确定出2023所在组数.
【详解】因为数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，当1n =时，11a =；
当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时21n a n =-也成立，故21n a n =-，
令212023n -=，解得：1012n =，故2023为数列{}n a 的第1012项， 依题意将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则前m 组一共有
()()1212122222212
m m m +-++⋅⋅⋅+=
=--个数，
当8m =时，即前8组有922510-=个数；当9m =时，即前9组有10221022-=个数； 故第1012项在第9组； 故选：B. 二、多选题
9．下列求导数运算正确的有（ ）
A ．(sin )cos x x '=
B ．211()x x '=
C ．31(log )3ln x x
'= D ．1
(ln )x x
'=
【答案】AD
【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. 【详解】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211
()x x
'=-，故错误；
C ：31
(log )ln 3
x x '=
，故错误； D ：1
(ln )x x
'=，故正确. 故选：AD
10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a = C ．7S 或8S 为n S 的最大值 D ．56S S >
【答案】BC
【解析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=， 830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；
由8170a a d =+=，得1
7
a d =-
，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列， (
)()
0,70,9n n
a n N n a n N n **
⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.
故选：BC ．
【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.
11．已知正项数列{}n a 满足：13n n a a +≥，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．113n n a a +≥
B ．()
3139k k
k k S S ++≥
C ．()131
222
n n S a a n -≥≤
D ．1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列
【答案】ABC
【分析】对于A ，根据13n n a a +≥和0n a >迭代可得结果，对于B ，由于
()()()
1212221223312k k k k k k k k k k
a a a a a a a a a S S a a a ++++++
++++++++
+=++，结合13n n a a +≥化
简即可，对于C ，由已知可得13n
n a a -≤， (22)
3n n a a -≤，1
13n n a a -≤，相加化简即可，对于D ，举例判断
【详解】对于A ，由已知得23
11213333n n n n n a a a a a +--≥≥≥≥≥，故A 正确；
对于B ，
()()()
1212221223312k k k k k k k k k k
a a a a a a a a a S S a a a ++++++
++++++++
+=++
1222122312121k k k k k k
k k
a a a a a a a a a a a a ++++++++++=+
+++++++，由
113k k a a +≥，223k k a a +≥，…23k k k a a ≥，2119k k a a +≥，2229k k a a +≥，…39k k k a a ≥；得
3139k k k
k
S S ++≥，故()
3139k k k k S S ++≥，故B 正确； 对于C ，由A 知，1133n
n n n a a a a --⇒≥≤
， (22)
3n n a a -≤，1
13n n a a -≤，所以 121211
1133
33
3n n
n n n n n n n n a a a S a a a a a ---⎛⎫=++
+++++=+++ ⎪⎝⎭≤
11133131312232213
n
n
n n n n a a a a a ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯- ⎪⎝⎭-≤故C 正确； 对于D ，若{}n a 是等比数列且14n n
a a +=，则1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是常数列，故D 错误， 故选：ABC.
12．Sigmoid 函数()1
1e x
S x -=
+是一个在生物学中常见的S 型函数，也称为S 型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记()S x '为Sigmoid 函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()1S x S x S x '⎡⎤=-⎣⎦
B ．Sigmoid 函数的图象是中心对称图形
C ．函数()S x '的图象是轴对称图形
D ．Sigmoid 函数是单调递增函数，函数()S x '是单调递减函数 【答案】ABC
【分析】对于A ：直接求导，即可判断；
对于B ：直接求出10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为Sigmoid 函数的一个对称中心；
对于C ：设()()g x S x '=，由()()g x g x -=，即可判断； 对于D ：由()S x '的图象是轴对称图形即可判断． 【详解】对于A ：由题意得()()
2
e 1e x
x S x --'=+，故()()()1S x S x S x '⎡⎤=-⎣⎦，选项A 正确；
对于B ：因为()11e x S x -=
+，()1
11e
x S x -=+，所以()()1S x S x -+=，所以Sigmoid 函数的图象的对称中心为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，选项B 正确；
对于C ：设()()g x S x '=，则()()()
()
()22
2
2
2e e e e 1e 1e e
1e x
x x
x
x x x
x g x g x ----⋅-=
=
=
=+++，所以函
数()S x '的图象是轴对称图形，选项C 正确；
对于D ：由C 可知，由()S x '的图象关于y 轴对称，可知函数()S x '不单调，故选项D 错误． 故选：ABC 三、填空题
13．已知数列{}n a 为等差数列且a 5=2，则其前9项和S 9=___________. 【答案】18
【解析】根据等差数列的性质及前n 项和公式，即可求得答案. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以199559()9
291822
a a S a a +==⨯==， 故答案为：18
14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x x '=，则()()
11lim
x f x f x
∆→+∆-=∆____________.
【分析】根据导数的定义即可得出答案. 【详解】解：由导数的定义知()()
()0
11lim 11x f x f f x
∆→+∆-'==∆.
故答案为：1.
15．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为1
3
的小正方形，保留靠角的4个
小正方形，记4个小正方形面积之和为1S ：然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为2S ；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃.若1217
25
n S S S +++≥
，则操作次数n 的最小值为____________.
【答案】3
【分析】由已知得49n n S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由等比数列的求和公式建立不等式，由函数()49x
f x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭的单调性即可得答案.
【详解】解：1S 是边长为1
3的4个正方形的面积之和，故1214439S =⨯=；
2S 是边长为2
13⎛⎫ ⎪⎝⎭的24个正方形的面积之和，故22
22214439S ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
以此类推得：214439n n
n n S ⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
从而1
2
12444444417
9914999592519
n n
n n n S S S +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎝⎭++
+=++
+=
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
-≥， 所以43920n n ≤，函数()49x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
关于x 单调递减，
且2n =时，224163
98120=>，3n =时，334643972920
=<
，故n 最小值取3.
16．已知x 轴上的点()11,0A 、()25,0A 、…、(),0n n A a 满足111
2
n n n n A A A A +-=
，射线()0y x x =≥上的点()13,3B 、()25,5B 、…、(),n n n B b b 满足122n n OB OB +=+*n ∈N ，
则四边形11n n n n A A B B ++的面积n S 的取值范围为______ 【答案】(]9,12
【分析】先通过点(),0n n A a 满足111
2
n n n n A A A A +-=可得{}1n n a a +-为等比数列，求其通项公式，进而可得点4(92
,0)n
n A --，再利用(),n n n B b b 满足122n n OB OB +=+(21,21)n B n n ++，则根据11
n n n n
OA B OA B S S
S
++=-可将面积用n 表示，再通过判断数列的单
调性可得面积的取值范围.
【详解】由x 轴上的点()11,0A 、()25,0A 、…、(),0n n A a 满足111
2
n n n n A A A A +-= 得111
()2
n n n n a a a a +--=-，2n ≥，
又214a a -=，
则{}1n n a a +-是以4为首项，1
2为公比的等比数列， 111
4()2
n n n a a -+∴-=⨯，
1
2
4121111()1
2()...()14...4()149212
12
n n n n n n a a a a a a -----∴=+-++-=+++⨯=+⨯=--， 又11a =符合上式， 4(92,0)n n A -∴-，
因为射线()0y x x =≥上的点()13,3B 、()25,5B 、…、(),n n n B b b 满足122n n OB OB +=+又112,2n n n n OB
b OB b ++
=
=
1n n ++
12,n n b b +∴-=又1()3,3B ，
21n b n ∴=+， (21,21)n B n n ∴++，
则311(92
,0),(23,23)n
n n A B n n -++-++，
四边形11n n n n A A B B ++的面积为11
n n n n
OA B OA B S S
S
++=-，
即34311184(92)(23)(92)(21)()2992222n n n
n
n S n n n ----=-+--+=-⨯+=
+， 令84()2n
n g n -=
，n *
∈N
，则184(1)2n n g n +++= 1848464(1)()222n n n
n n n
g n g n ++--∴+-=
-=， 当1n =时，(2)(1)g g > 当2n ≥时，(1)()g n g n +<， 则84
()2
n
n g n -=
的最大值为2824(2)32g ⨯-==， 又(1)2g =，且84
()02n
n g n -=
>， 所以()03g n <≤，而84
()992n
n S g n -=+=+， 故912S <≤，
所以四边形11n n n n A A B B ++的面积n S 的取值范围为(]9,12. 故答案为：(]9,12 四、解答题
17．已知{}n a 是等差数列，其中222a =，84a =. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值. 【答案】(1)283n a n =- (2)117
【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程求出1,d a ，从而可求出其通项公式，
（2）由通项公式可求得当9n ≤时，0n a >；当10n ≥时，0n a <，从而可得9n =时，n S 最大，进而可求出其最大值
【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为826a a d =+，222a =，84a =， 所以4226d =+，
所以3d =-，125a =， 所以283n a n =-.
(2)因为283n a n =-，令2830n -<，得1
93
n >，
所以当9n ≤时，0n a >；当10n ≥时，0n a <，
故当9n =时，n S 最大，且最大值为()91
2599831172
S =⨯+⨯⨯⨯-=.
18．已知函数()()ln f x ax x a R =-∈. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若对()0,x ∀∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）极小值为1ln2+，无极大值；（2）1
,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
【分析】（1）对函数()f x 进行求导、列表、判断函数()f x 的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对()0f x <进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a 的取值范围即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，
当2a =时，'
121
()2(0)x f x x x x -=-
=>.由'()0f x =，得12
x =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表
所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以函数()f x 的极小值为11ln 22f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，无极大值.
（2）对()0,x ∀∈+∞，()0f x >恒成立，即对()0,x ∀∈+∞，ln x
a x
>恒成立. 令ln ()x h x x =
，则'
2
1ln ()x h x x
-=.由'()0h x =得x e =，
当()0,x e ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，
所以()max 1
()h x h e e ==，因此1a e
>.
所以a 的取值范围是1,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想. 19．在①3n n b a =+；②2122
1
log log n n n b a a ++=
⋅这两个条件中任选一个，填写在下面问题
横线处，并完成问题的解答.
问题：已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，且2a 是12a -和31a +的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)记__________，求数列{}n b 的前n 项和n T .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)12n n a
(2)答案见解析
【分析】（1）利用2a 是12a -和31a +的等差中项列出含q 的方程，即可求解出q ，即可由定义公式写出通项；
（2）选①，n T 可采取分组求和，利用公式求和即可；选②，()
1
1n b n n =⋅+，利用裂项
相消法求和即可.
【详解】(1)设公比为q ，则213221a a a =-++，即22121q q =-++，得2q ，故通项
公式为12n n
a ；
(2)如果选①：
1323n n n b a -=+=+，()()()
1112..132323n n n T b b b -=++⋯+=++++⋯⋯++ ()1
1
121223323112n
n n n n n --=++⋯⋯++=+=+--
如果选②：()2122
1111
log log 11n n n b a a
n n n n ++===-⋅⋅++ 故
12..n n T b b b =++⋯+1111
1111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯⋯+-=-+-+⋯⋯+- ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
n n n =-=++
20．设各项非负的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知212n n S a n +=-*
()n N ∈，且235,,a a a 成
等比数列.
(1)求{}n a 的通项公式； (2)若1
2n
n n a a b +=
，数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)1n a n =- (2)1
2
42n n n T -+=-
【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出{}n a 的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a ，这样可得通项公式(2)n a n ≥，然后由已知式中令1n =求得1a ，比较后可得结论； （2）用错位相减法求和．
【详解】(1)当1n =时，2
1221a a =-，
当2n ≥时，212n n S a n +=-①，2
12(1)n n S a n -=--②.
①-②得22121n n n a a a +=--，即()2
22
1211n n n n a a a a +=++=+，
∵0n a ≥，∴11n n a a +=+，
∴数列{}n a 从第2项起是公差为1的等差数列. ∴22(2)n a a n n =+-≥，
又2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2
325a a a =，即()()2
22213a a a +=+，
解得21a =，∴121(2)n a n n n =+-=-≥，
∵2
12
21a a =-，∴10a =，适合上式， ∴数列{}n a 的通项公式为1n a n =-. (2)1
2n n n
b -=
， ∴数列{}n b 的前n 项的和为
012
21
123122222n n n n n
T ---=
++++
+③ 123111*********n n n
n n
T --=++++
+④ ③-④得
2111111222
22n n n
n
T -=++++
- 111122*********n
n n n n n n n -⎛⎫- ⎪
+⎝⎭=-=--=--， ∴1
2
42n n n T -+=-
. 21．如图所示，两村庄A 和B 相距10km ，现计划在两村庄外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造自来水厂，并沿线段CA 和CB 铺设引水管道.根据调研分析，CA 段的引水管道造价为2万元/km ，CB 段的引水管道造价为m 万元/km ，设km CA x =，铺设引水管道的总造价为y 万元，且已知当自来水厂建在半圆弧AB 的中点时，302y =.
(1)求m 的值，并将y 表示为x 的函数；
(2)分析y 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4m =，224100y x x =+-010x <<； (2)存在，且y 的最大值为205【分析】（1）求得2100BC x -x 的取值范围，根据题意得出
22100y x m x =+-将52x =代入函数解析式可求得m 的值，由此可得出y 表示为x
的函数关系式；
（2）利用导数分析函数224100y x x =+-()0,10上的单调性，由此可得出结论. 【详解】(1)解：因为AB 为半圆弧的直径，则90ACB ∠=，则
222100BC AB AC x =--
由题意可得2
01000x x >⎧⎨->⎩，可得010x <<， 所以，22100y x m x =+-010x <<，
当点C 在AB 的中点时，52x =，此时)522302y m =+=4m =， 因此，224100y x x =+-010x <<. (2)解：因为224100y x x =+-010x <<，则
22
2
x
y'=
因为函数()2
f x x在()
0,10上为减函数，由()0
f
x=可得x
=
当0
x
<<
22
x
y'
=>，此时函数2
y x
=+
当10
x<时，
22
x
y'
=<，此时函数2
y x
=+
故当
x=2
y x
=+max
y=
22．已知函数()ln
g x x
=，()e x
h x=.
(1)设()()21
1
f x
g x
x
=--
-
，求函数()
f x的单调区间；
(2)若1
x=是函数()()2
x g x x ax
ϕ=+-的一个极值点，求a的值；
(3)设直线l为函数()
g x图象上任意一点()
00
,
A x y处的切线，在区间()
1,+∞上是否存在0
x，使得直线l与函数()
h x表示的曲线也相切？若存在，满足条件的
x有几个，说明理由.
【答案】(1)()
f x的单调递增区间为()
0,1，()
1,+∞，无单调递减区间
(2)3
(3)存在唯一的
x，理由见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，结合导函数恒大于0，得到递增区间，无递减区间；（2）求定义域，求导，利用1
x=是极值点，得到方程，求出a的值，检验得到结果；
（3）设出切点，表达出切线方程，得到0
1
ln
1
x
x
x
+
=
-
，然后利用第一问的结论和零点存在性定理证明区间()
1,+∞上
x存在且唯一
【详解】(1)()()
21
1ln
11
x
f x
g x x
x x
+
=--=-
--
，定义域为()()
0,11,+∞，
()
()
2
2
1
1
x
x x
f x
+
'=>
-
，
所以函数()
f x的单调递增区间为()
0,1，()
1,+∞，无单调递减区间.
(2)()()2
x g x x ax
ϕ=+-的定义域是()
0,∞
+，且()12
x x a
x
ϕ'=+-
由已知得：()0
1
ϕ'=，
∴120a +-=，∴3a =. 经验证，3a =时符合题意. 所以3a =. (3)由ln y x =得1
y x
'=，所以切线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，
①
设直线l 与曲线()e x
h x =相切于点()11,e x x ，因为()e e x x '=，所以10
1e x x =，
所以10ln x x =-，所以直线的方程可以写为()000
11
ln y x x x x -
=+，即0000
111
ln y x x x x x =
++，② 由①②得0000
11ln 1ln x x x x -=
+，所以0001
ln 1x x x +=-，
下面证在区间()1,+∞上0x 存在且唯一. 由（1）知()1
1
ln x f x x x -=-
+在()1,+∞上单调递增，
又()e 12e ln e 0e 1e 1f +-=-=<--，()222
22e 1e 3e 20e 1e 1
f +-=-=>--， 所以()0f x =必在区间()2
e,e 上有唯一的实根，即在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得
直线l 与曲线ln y x =，e x y =均相切.
【点睛】求解切线方程的题目，当不知道切点时，要设出切点，求解切线方程，再利用条件得到等量关系，进行求解.。