精品导学案：秦九韶算法

精品导学案：秦九韶算法
1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

重点：理解秦九韶算法的思想。

评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需
要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法..
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1:对于多项式
763452)(2345+-+--=x x x x x x f ，
求)5(f 的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？
思考2:在上述问题中，若先计算2x 的值，然后依次计算x x ∙2，x x x ∙∙)(2，
x x x x ∙∙∙))((2的值，这样每次都可以
利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？
小结：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。

而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。

思考3:利用后一种算法求多项式
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的
值，这个多项式应写成哪种形式？
思考4:对于
1210
111))))(a x a x a x a x a a x a x a x a x f n n n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅++=----（（由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算11-+=n n a x a v . 第二步，
第三步， …
第n 步，计算01a x v v n n +=- 思考5:上述求多项式
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的
值的方法称为秦九韶算法，利用该算
法求)(0x f 的值，一共需要多少次乘法
运算，多少次加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记n a v =0那
么第k 步的算式是什么？ 知识探究(二):秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 第一步， 第二步， 第三步，
第四步， 第五步， 思考2:该算法的程序框图如何表示？
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？ 理论迁移 例1 已知一个5次多项式为 102345)(2345+++++=x x x x x x f
用秦九韶算法求)5(f 的值.
例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？ INPUT “x=”；a
n=0 y=0
WHLE n<5 y=y+(n+1)*a ∧n n=n+1 WEND PRINT y END
1、利用秦九韶算法求多项式
115372
3
+-+x x x 在23=x 的值时，在运
算中下列哪个值用不到（ ）
A.164
B.3767
C.86652
D.85169 2、利用秦九韶算法计算多项式)(x f
1876543x 23456++++++x x x x x ＝
当x =4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ） A.6，6 B.5，6 C.5，5 D.6，5
3、利用秦九韶算法求多项式
13
52.75.3812323456-++-++x x x x x x 在6=x 的值，写出详细步骤。

4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s 表示（ ）
A .3210a a a a +++的值
B .3
00201032x a x a x a a +++的值 C .303202010x a x a x a a +++的值
5、已知n 次多项式
1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++
++
如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法， （1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？
（2）若采取秦九韶算法： 0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+
（k ＝0， 1，2，…，n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？
（3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）
资料：秦九韶的生平
秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。

秦九韶的突出数学成就表现为四个方面： （1）“大衍求一术”。

即为一次同余式组解法。

西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。

他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。

(2)线性方程组解法。

他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。

他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。

(3)高次方程数值解法。

他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。

他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。

西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。

(4)“三斜求积”。

他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。

这与西方的海伦公式是等价的。

※自我评价（ ） A 、课前自主学习认真，学案完成很好； 你真棒，继续坚持。

B 、课前自主学习一般，学案完成良好； 下次争取做的更好。

C 、课前自主学习较差，学案空白较多； 注意学习方法，提高学习效率。