高一数学函数的性质

函数的单调性
（注意：①函数的单调性是函数的局部性质；②函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成并集形式，多个单调性相同的区间只能用中文字“和”来连接.） 设函数()x f y =的定义域为U ，若对于定义域U 内的某个区间D 内的任意两个自变量21x x ，，当21x x <时，始终有()()21x f x f <，那么就说()x f 在区间D 上是增函数.区间D 称为()x f y =的单调增区间； 当21x x <时，始终有()()21x f x f >，那么就说()x f 在区间D 上是减函数.区间D 称为()x f y =的单调减区间. 函数单调区间与单调性的判定方法（A ） 定义法：
①任取D x x ∈21，，令21x x <；②作差()()21x f x f -；③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（判断差()()21x f x f -的正负）；⑤下结论（指出函数()x f 在给定的区间D 上的单调性）． （B ）函数的单调性规律总结
)(x f )(x g )]([x g f 或)]([x f g
)(x f +)(x g
)(x f -)(x g
增 增 增
增 无 减 减 增 减 无 增 减 减 无 增 减 增 减
无 减
（C ）一些基本初等函数的单调性
①一次函数y kx b =+。

0k >时，在(,)-∞+∞上是增函数；0k <时，在(,)-∞+∞上是减函数。

②反比例函数(0)k
y x x
=
≠。

0k >时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数； 0k <时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都是增函数。

③二次函数2y ax bx c =++。

0a >时，在(,]2b a -∞-
为减函数，在(,)2b
a -+∞上为增函数； 0a <时，在(,]2
b a -∞-为增函数，在(,)2b
a
-+∞上为减函数。

④指数函数和对数函数。

当1a >时，x y a =和log a y x =在其定义域内都是增函数； 当01a <<时，x y a =和log a y x =在其定义域内都是减函数. 例1. 如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。

变式：下列函数()f x 中，满足：“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，当12x x <时，都有12()()f x f x >”的是（ ）
A.1
()f x x
= B.2()(1)f x x =- C.()x f x e = D.()ln(1)f x x =+
例2. 已知函数()1
2
+-=x x x f ，证明：函数()f x 在(-1,+∞)上为增函数.
变式：讨论函数()x
a
x x f +=的单调性.
例3．已知函数2()5f x x mx =-+在区间[1,)-+∞上是增函数，求(1)f 的最小值。

变式：求函数2()32,[3,2]f x x x x =+-∈-的最大值和最小值。

变式：函数2()1f x x =+在区间(1,2)-上（ ） A ．是减函数
B ．是增函数
C ．有最小值
D ．有最大值
例4. 已知函数()y f x =的定义域为[1,1]-，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足
(1)(21)f a f a -<-的实数a 的取值范围。

变式：已知定义在区间()+∞,0上的函数()x f 满足()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-2121x x f x f x f ，且当1>x 时，()0<x f
（1）求()1f 的值； （2）判断()x f 的单调性； （3）若()13-=f ,解不等式()2-<x f .
例5. 已知(1)4 , 1
()(13)2,1a x a x f x a x a x -+<⎧=⎨
-+⎩
≥是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围。

函数的奇偶性（注意：函数的奇偶性是函数的整体性质，有一处不满足，则函数没有奇偶性） 一般地，对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么()x f 叫做偶函数。

一般地，对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么()x f 叫做奇函数。

注：①如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0；
②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称； ③奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称.
函数奇偶性判定方法： （A ）定义法
①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②求出()x f -，与()x f 进行比较； ③作结论：若()()x f x f =-,()x f 是偶函数；若()()x f x f -=-,()x f 是奇函数．否则非奇非偶. （B ）函数的奇偶性规律总结
)(x f )(x g ()()x g x f ±
()()x g x f ⋅或()()
()()0≠x g x g x f 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶
偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 非奇非偶
奇
关于奇偶性的拓展：
1.对称性，对任意定义域内的数：
①若函数()x f 满足：()()x a f x a f -=+，则函数()x f 关于a x =轴对称； ②若函数()x f 满足：()()x b f x a f -=+，则函数()x f 关于2
b
a x +=
轴对称； ③若函数()x f 满足：()()n x m f x m f 2=-++，则函数()x f 关于()n m ,中心对称；
④若函数()x f 满足：()()r x q f x p f =-++，则函数()x f 关于⎪⎭⎫
⎝
⎛+2,2r q p 中心对称. 2.任何一个函数定义域关于原点对称的函数，总可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和。

例：()()()()()2
2x f x f x f x f x f --+-+=，则()()()2x f x f x F -+=为偶函数；
()()()2
x f x f x G --=为奇函数。

例1. 判断下列函数的奇偶性.
（1）()x x x f --+=11； （2）()112
2
-+-=x x x f ； （3）2
21)(2
-+-=x x x f
变式：判断下列各函数的奇偶性： （1）()()222-+-=x x x x f ； （2）()1
11
202>≤-<⎪⎩
⎪
⎨⎧+-+=x x x x x x f ； （3）()x x x f +-=11ln
变式：设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。

例2.已知函数()f x ，当0<x 时，()3122+--+=x x x x f ，根据条件写出()f x 的完整表达式. ①若()f x 为R 上的偶函数； ②若()f x 为R 上的奇函数。

变式：已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，()2x
f x =，试求函数()y f x =的表达式.
变式:已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，试求函数()y f x =的表达式.
例3. 已知函数()b a bx ax x f +++=32为偶函数，其定义域为[]a a 2,1-，求b a ,的值。

变式：已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知二次函数()42+-=ax x x f ，若()1+x f 是偶函数，则实数a 的值为( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2
例4. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：试求a 的取值范围。

（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<
变式：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围。

例5. 已知()x g 是奇函数，8
1
5)3(2)()1(log )(22=-++-+=f x g x x x f x 且，则()3f =_____。

变式：已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f ____。

例 6. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有
1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=.
（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．
变式：已知函数)1(1
1
)(>+-=a a a x f x
x （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域；（3）证明函数在R 上是增函数。