2020年广西壮族自治区梧州市昭平中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年广西壮族自治区梧州市昭平中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。

可得这个几何体的体积是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
2. 已知函数f（x）=，当x∈[0，10]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）
A．55 B．100 C．110 D．120
参考答案：
B
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．
【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，
∴x1+x2=1；
x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1=x2﹣2x+2，
令f（x）=x﹣，得：x2﹣3x+；
∴x3+x4=3，
x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2=x2﹣4x+6，
令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，
…，
x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，
令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，
x∈[9，10]时，f（x）=（x﹣9）2+9，
令f（x）=x﹣，得：x19+x20=19，
∴1+3+5+…+19=100，
故选：B
【点评】本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，难度中档．
3. 设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（2+z）?|等于（）
A．B．2C．5D．
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【分析】把z代入（2+z）?，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式计算．【解答】解：∵z=﹣2+i，
∴（2+z）?=（2﹣2+i）?（﹣2﹣i）=i（﹣2﹣i）=1﹣2i，
则|（2+z）?|=．
故选：A．
4. 函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
5. 设函数对任意满足，且，则的值为（） A． B． C． D．
参考答案：
B
6. 已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是
（）
A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]
参考答案：
B
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+?=0有实根，
∴||2﹣4≥0，
∴≤，
∴cos＜＞=≤=，又0≤＜＞≤π，
∴＜＞≤π．
故选B．
7. 已知、都是实数，且，则“”是“”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件参考答案：
B
略
8. 利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）
A．46 B．48 C．50 D．52
参考答案：
D
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．
【解答】解：这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的频率为
1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52
∴用电量落在区间[150，250]内的户数为
100×0.52=52．
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．
9. 已知数列为等比数列，且，则（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
10. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（）
A． B． C
． D．
参考答案：
A
试题分析：因为,所以,即,则,故
,,故其减区间为,
即,故应选A.
考点：三角变换及正弦函数的图象和性质.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}的前n项和为S n，=1，=3，且，若
对任意都成立，则实数的最小值为______．
参考答案：【分析】
先根据和项与通项关系得，再利用叠加法得，利用分组求和法得，
【详解】数列的前项和为，=1，=3，且，
所以：，故：，
因为，所以
所以：，，
则：，故：，
所以：=，
所以：，
因为对任意都成立，
所以
设则
当时，当时，
因此
即
故的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查和项与通项关系、累加法求通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.
12. 某学生猜测，若该学生回答正确，则
．
参考答案：
试题分析：可由待定系数法求得，解得，所以.
考点：合情推理.
13. 已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积
为。

参考答案：
14. 已知，则.
参考答案：
15. 在平面直角坐标系xoy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为．
参考答案：
[，2）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论．
【解答】解：圆心C（1，1），半径R=1，要使AB长度最小，则∠ACB最小，即∠PCB最小，
即PC最小即可，由点到直线的距离公式可得d==2
则∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=，
当点P在3x+4y+3=0无限远取值时，∠ACB→180°，
此时|AB|→直径2，
故≤|AB|＜2，
故答案为：[，2）．16. 已知点C在直线AB上运动，O为平面上任意一点，且()，则
的最大值是
．
参考答案：
略
17. 已知三棱柱ABC-A 1B1C 1 底面是边长为的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12,则该三棱柱的体积为 .
参考答案：
设球半径，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，
即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为，，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和为，证明：（）．
参考答案：
解：（1）当时，，解得；
当时，，，
以上两式相减，得，∴，
∴，
∴
（2）
当时，；
当时，，
∴，
∴（）．
19. （本小题满分12分）
已知向量，，
设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若将图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，
纵坐标不变，得到的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
参考答案：由直线是图象的一条对称轴，可得，
所以，即．
又，，所以，故.
略
20. 某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
（2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其指标值t 的关系式为
y=，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述
产品平均每件的利润．
参考答案：
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（1）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为=0.3
∴用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为=0.42
∴用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （2）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94
），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P （X=2）=0.54，P （X=4）=0.42， 即X 的分布列为
【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题．
21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，
，
AB=BC=2CD=2，PB=PC ，侧面底面ABCD ，O 是BC 的中点。

（1）求证：
平面ABCD ；（2）求证：
（3）若二面角D —PA —O 的余弦值为，求PB 的长。

参考答案：
解之得
，所以
为所求．
22. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．一个随机变量的概率分布律如下：
x x
其中为锐角三角形的三个内角．
（1）求的值；
（2）若，，求数学期望的取值范围．
参考答案：
（1）由题，………………..2’
则………………..4’
又为锐角，得………………..6’
（2）由
得，则，即…………..8’
………………..9’
，………………..11’
由为锐角三角形，得
则，
得………………..14’。