2016年南京市中考模拟数学测试卷及答案(新城二模)资料

2016年中考模拟数学测试卷（新城二模）
全卷满分120分.考试时间为120分钟.
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1．实数a 的相反数是
A ．a
B ．－a
C ．1a
D ．|a |
2．计算a 3·(1a
)2的结果是
A ．a
B ．a 5
C ．a 6
D ．a 8
3．体积为90的正方体的棱长在
A ．3 与4之间
B ．4与5之间
C ．5与6之间
D ．6与7之间
4．小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
5．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点B ，再以B 为圆心，BO 长 为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ，则sin ∠AOC 的值为
A ．12
B ．
33
C ．
22
D ．
32
6．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近 似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 A ．8分 B ．7分
C ．6分
D ．5分
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．） 7．函数y ＝x 1－x
中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．
（第5题）
C
A
B
O （第6题）
8．已知⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝1
是方程3x ＋ay ＝5的解，则a ＝ ▲ ．
9．据统计，江苏省参加高考学生人数持续减少，今年再创历史新低，2016年江苏省高考报 名人数约360 400人．将360 400用科学记数法表示为 ▲ ．
11．如图，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α＝28°，则∠β＝ ▲ °． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，－1），以点A 为圆心，AB 为半径 作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是 ▲ ．
13．若关于x 的方程x 2－25x ＋1＝0的一个根为x 1＝5＋2，则另一个根x 2＝ ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2）、B （3，2），连接AB ．写出一个函数y ＝k
x （k
≠0），使它的图像与线段AB 有公共点，那么这个函数的表达式可能为 ▲ ． 15．如图，AB ＝5，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边，在线段AB 的同侧作正方 形APCD 和正方形BPEF ，连接CF ，则CF 的最小值是 ▲ ．
16．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 外的两点，且AE ＝FC ＝3， BE ＝DF ＝
三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．）
17．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4＜5(x ＋
2)，
2x 3
＋1≥x ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（第16题）
A
B
C
D
E
F
（第15题） (第11题)
（第12题）
18．（6分）先化简，再求值：a －3a －2÷（a ＋2－5
a －2），其中a ＝2016．
19.（7分）
（1）某校有A 、B 两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐， 求三位同学在相同食堂就餐的概率．
（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A 、B 、C 、D 处，每个人 都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、 丁四位同学互不相遇的概率是 ▲ ．
20.（8分）“慈母手中线，游子身上衣”，为了解某校1000名学生在5月8日“母亲节” 期间对母亲表达感谢的方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将问
卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：
（1）本次问卷调查抽取的学生共有 ▲ 人，其中通过给母亲一个爱的拥抱表达感谢 的学生有 ▲ 人；
（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示； （3）根据抽样的结果，估计该校学生通过帮母亲做家务表达感谢的约有多少人？
某校抽取学生“母亲节”期间对母亲表达感谢的方式的统计表
21．（8分）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数
与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步?
22．（8分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，交DC 的延长线于点E ．
（1）求证：△BDC ≌△BEC ；
（2）若BE ＝10，CE ＝6，连接OE ，求OE 的值．
（第22题）
A
B C D
E
O
23.（8分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，D 是边AC 上一点，且∠BDC ＝β，AD ＝a ，求BC 的长.（用含a 、α、β的式子表示）
24．（9分）小明从家骑车出发，沿一条直路到相距2400m 的书店买书，同时，小明的爸爸 以80m/min 速度从书店沿同一条路步行回家，小明在书店停留3分钟后沿原路以原速 返回．设他们出发x min 后，小明与爸爸分别到达离家y 1 m 、y 2
m 的地方，图中的折线 OABC 、线段DE 分别表示y 1、y 2与x 之间的函数关系． （1）求点P 的坐标，并解释点P 的实际意义；
（2）求线段BC 所在直线的函数表达式；
（3）小明从书店返回，从开始到追上爸爸需要多长时间？这时他与爸爸离家还有多远？
25．（8分）已知二次函数y＝x2＋（m－3）x＋1－2m．
求证：（1）此二次函数的图像与x轴有两个交点；
（2）当m取不同的值时，这些二次函数的图像都会经过一个定点，求此定点的坐标．
26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，EF＝3，求EB的长．
B
（第26题）
27．（11分）定义：如图①，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、 BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点． （1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若AB ＝12，AM ＝3，求BN 的长． （2）如图②，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，BE ＝12BC ，DF ＝1
3CD ，
AE 、AF 分别交BD 于点M 、N ． 求证：M 、N 是线段BD 的勾股分割点．
（3）如图3，点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，MN ＞AM ≥BN ，△ABC 、△MN 分别 是以AB 、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点C 与点D 在AB 的同侧，若MN ＝4， 连接CD ，则CD ＝ ▲ ．
A B
C
D
M N 图③
A
B
C D
E
F
M
N
图② A
B
M 图①
N
（第27题）
2016年中考模拟数学测试卷（新城二模）
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
二、填空题（每小题2分，共计20分）
7． x ≠1 8．－1 9．3 .604×105 10．3 11．32 12． 2 3 13．5－2 14． y ＝2
x (答案不惟一) 15． 5 16．7 2
三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）
解：解不等式①，得x ＞－2． ····································································· 2分
解不等式②，得x ≤3． ········································································ 4分 解集数轴表示． ················································································· 5分 所以不等式组的解集是－2＜x ≤3． ························································ 6分
18．（本题6分）
解：原式＝(a －3a －2)÷a 2－4－5
(a －2)
······································································· 2分
＝1a ＋3． ······················································································· 4分 当a ＝2016时， 原式＝
1 2016＋3＝1
2019
． ···································································· 6分
19．（本题7分）
解：（1）甲、乙、丙选择A ，B 两个食堂的事件有（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，
A ），（A ，
B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ）． 一共有8种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有2种． P (甲、乙、丙选择相同食堂)＝ 28 ＝ 1
4
．
答：甲、乙、丙选择相同食堂的概率为 1
4． ······································· 5分
（2）18
． ···························································································· 7分
20．（本题8分）
解：（1）50，4． ······················································································ 2分 （2）选择条形图或扇形统计图，画图正确． ············································· 5分 （3）1 000×16%＝160人．
答：估计该校1 000名学生中通过帮母亲做家务表达感谢的约有160人． · 8分
21．（本题8分）
解：设每消耗1千卡能量需要行x 步．
根据题意，得12000x ＋10＝9000x ， ································································· 4分
解得x ＝30． ····················································································· 6分 经检验：x ＝30是原方程的解．
答：每消耗1千卡能量需要行30步． ····················································· 8分
22．（本题8分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，
∴ AB ＝CD ，AB ∥DC ．∴∠BCD ＝∠BCE ＝90°． ∵ AC ∥BE ，
∴ 四边形ABEC 为平行四边形． ∴ AB ＝CE ．∴ DC ＝EC ． 在△BCD 和△BCE 中，
DC ＝EC ，∠BCD ＝∠BCE ，BC ＝BC ．
∴△BCD ≌△BCE ． ············································································ 4分 （2）解：过点O 作OF ⊥CD 于点F ． ∵四边形ABEC 为平行四边形， ∴ AC ＝BE ．∴ BE ＝BD ＝10． ∵△BCD ≌△BCE ， ∴ CD ＝CE ＝6．
易得CF ＝DF ＝1
2CD ＝3． ··································································· 6分
∴EF ＝9．
在Rt △BCE 中，由勾股定理可得BC ＝8． ∵ OB ＝OD ，
∴ OF 为△BCD 的中位线， ∴ OF ＝1
2
BC ＝4．
∴在Rt △OEF 中，由勾股定理可得OE ＝OF 2＋EF 2＝42＋92＝97． ······· 8分 23．（本题8分）
解：在Rt △ABC 中，由tan α＝
BC AC ，得AC ＝BC
tan α
， ··········································· 2分 在Rt △DBC 中，由tan β＝BC DC ，得DC ＝BC
tan β， ·········································· 4分
∵AD ＝a ，∴BC tan α－BC
tan β＝a ， ································································ 6分
∵BC ＝a ⋅tan α⋅tan β
tan β－tan α
． ············································································ 8分
24．（本题9分）
A
B
C
D E
O F
解：（1）∵2400－80×12＝2400－960＝1440，∴点P 的坐标为（12，1440）． ······ 1分
P 的实际意义：小明的爸爸从书店出发12分钟后，离家1440米． ········· 3分 （2）由题意得C 点坐标为（27，0），
设线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧15k ＋b ＝2400，
27k ＋b ＝0．
········ 4分
解之得⎩⎨
⎧k ＝－200，b ＝5400．
∴线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝－200x ＋5400．6分
（3）线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝－80x ＋2400，
∴⎩⎨⎧y ＝－200x ＋5400，y ＝－80x ＋2400， ···································································· 7分 解之得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝400．
············································································ 8分
25－15＝10． ················································································ 9分
答：小明从书店返回，从开始到追上爸爸需要10分钟．这时他与爸爸离家还有400米．
25．（本题8分）
证明：（1）b 2－4ac ＝（m －3）2－4（1－2m ）＝ m 2＋2m ＋5＝（m ＋1）2＋4，
∵（m ＋1）2≥0，∴（m ＋1）2＋4＞0，
∴二次函数图像与x 轴有两个交点． ············································· 3分 （2）当x ＝2时，y ＝22＋（m －3）×2＋1－2m ＝4＋2m －6＋1－2m ＝－1． · 6分
∴当m 取不同的值时，这些二次函数的图像都会经过（2，－1）． ······· 8分
26．（本题9分）
（1）证明：连接OD 、AD ，
∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°． 又∵AB ＝AC ，∴CD ＝DB ．又CO ＝AO ， ∴OD ∥AB ．∵DE ⊥AB ， ∴OD ⊥DF ．
又∵OD 为⊙O 的半径，
∴DF 是⊙O 的切线． ·········································································· 4分 （2）解：∵∠C ＝30°，∴∠AOD ＝60°，在Rt △ODF 中，∠ODF ＝90°， ∴∠F ＝30°，∴OA ＝OD ＝12
OF ．
在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，∵EF ＝3，∴AE ＝1．
∵OD ∥AB ，OA ＝OC ＝AF ．∴OD ＝2AE ＝2，
∴AB ＝2OD ＝4．
∴EB ＝3． ························································································ 9分 27．（本题11分）
解：（1）∵AB ＝12，AM ＝3，∴BM ＝9，
设BN ＝x ，由题意得32＋x 2＝（9－x ）2，∴x ＝4． ······························ 2分
2016年中考模拟数学测试卷（新城二模）
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或32＋（9－x ）2＝ x 2，∴x ＝5． ····················································· 4分 答：BN 的长为4或5．
证明：（2）∵菱形ABCD ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BC ∥DA ．∴△AMD ∽△EMB ．
∴AD EB ＝MD MB ．∵BE ＝12BC ，∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13
BD ． ··················· 5分 同理DN ＝14
BD ． ······································································· 6分 ∴MN ＝BD －13BD －14BD ＝512
BD ． ················································· 7分 ∵BM 2＋DN 2＝(13BD)2＋(14BD)2＝25144BD 2＝(512
BD)2＝MN 2． ∴M 、N 是线段BD 的勾股分割点． ·············································· 9分
（3）22． ·················································································· 11分。