2020年高考数学选做题预测
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应考方略 数学有数
2020 年高考数学选做题预测
■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其
众所周知， 新课标高考全国卷数学试题的最后一题， 是 一个分值为 10 分的选做题， 要求二选一作答， 其中一题考查 坐标系与参数方程内容， 另一题考查不等式选讲内容. 从命题 形式来看， 两个题目都是具有两小问的解答题； 从难度上看， 以中档题为主； 从考查目标来看， 主要考查考生的逻辑推理 能力和数学运算素养.
＝
83
姨1891 3782
.
【评注】 本题是一道给出背景的显性数学试题， 取材于著
名的数学名题勃罗卡点问题. 第 （1） 问根据余弦定理和三角
形面积公式可求出三角形△ABC的问题； 第 （2） 问先根据三
角形面积公式可得出△ABP、 △BCP、 △CAP 的面积， 再相加整
理可得出①式， 再分别在△ABP、 △BCP、 △CAP 中运用余弦定
高考命题一向坚持稳中有变不断创新的原则. 在 2020 年 的新课标高考数学的全国卷中， 选做题会如何命题， 本文分 坐标系与参数方程和不等式选讲两个部分加以预测， 供考生 参考.
一、 坐标系与参数方程 （一） 考纲回眸 1. 了解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系伸缩变换 作用下平面图形的变化情况； 2. 了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻 画点的位置， 能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 4. 了解参数方程， 了解参数的意义； 5. 能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程．
2
sin（兹+
仔 4
）
，
故
兹=
5仔 4
时，
| MN | 的最大值为 姨 2
+1.
【考点说明】 本题背景新颖， 主要考查极径的几何意义，
三角函数的性质， 利用极径的几何意义是解题关键， 属于基
础题.
【预测题 2】 在平面直角坐标系中， 曲线 C1 的参数方程为
n n ｘ＝４cos兹，
ｘ＝1+cos兹，
N 图1
S△BCP ＝
1 2
aysin琢＝
3 2
ysin琢，
S△CAP ＝
1 2
bzsin琢＝
7 2
zsin琢，
由上可得， （5x+3y+7z）sin琢=2（S△ABP +S△BCP +S△CAP）＝2S△ABC ，
所以（5x+3y+7z）sin琢=Βιβλιοθήκη 15姨 23
……①
分别在△ABP、 △BCP、 △CAP中运用余弦定理可得： y2＝52+x2-10xcos琢，
z2＝32+y2-6ycos琢，
x2＝72+z2-14zcos琢，
将以上三式相加可得：
（5x+3y+7z）cos琢＝ １ ×（52+32+72）， ２
即（5x+3y+7z）cos琢＝
83 ２
……②
①式和②式两边平方相加可得：
（5x+3y+7z）2＝1891， 5x+3y+7z＝ 姨1891 ，
83
cos琢＝ ２ 姨1891
【预测题 1】 在新中国成立周年国庆阅兵庆典中， 众多群
众在脸上贴着一颗红心， 以此表达对祖国的热爱之情. 在数学
中， 有多种方程都可以
表示心型曲线， 其中有
y
著名的笛卡尔心型曲线.
如图 1， 在直角坐标系
M
O
x
中， 以原点 O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系. 图中的曲线
就是笛卡尔心型曲线， 其极坐标方程为 ρ=1-
y＝2sin兹 （兹为参数）， 曲线 C2 的参数方程为 y＝sin兹 （兹为参
数）.
（1） 求曲线 C1 直角坐标方程以及 C2 的极坐标方程.
（2）
若 A（ρ1,
兹），
B（ρ2,
兹+
仔 2
）
是曲线
C1
上的两点，
求
１ ρ12
+
１ ρ22
的值.
【详细解答】
(1)
由题可得
C1
的普通方程为
ｘ２ 16
＋
ｙ２ 4
,
11仔 6
）.
（2）
由题意可设 M（ρ1, 兹），
N（ρ2,
仔 2
+兹）.
由 ρ=1-sin兹，
得 ρ1 =1-sin兹，
ρ2
=1-sin（
仔 2
+兹）=1-cos兹.
| MN |= 姨ρ12 + ρ22 = 姨（1-sin兹）2+（1-cos兹）2 = 姨3-2（sin兹+cos兹）
姨=
3-2 姨
＝１，
C2 的普通方程为 （ｘ－1）２＋ｙ２＝1，
nｘ＝ ρcos兹，
∴将 y＝ ρsin兹
代入 C2 的普通方程化简得 C2 的极坐标方
程为 ρ=2cos兹.
nｘ＝ ρcos兹，
（2） 将 y＝ ρsin兹
代入 C1 的普通方程化简得 C1 的极坐标
方程为 ρ２cos２兹 ＋ ρ２sin２兹 ＝１，
（二） 命题规律
高考对坐标系与参数方程考查主要有以下两方面：
(1) 参数方程、 极坐标与曲线的关系；
(2) 由参数方程、 极坐标方程求解曲线的一些基本量， 主
要是极坐标与直角坐标、 参数方程 (直线、 圆、 椭圆的参数方
程) 与普通方程的互化问题及应用等， 考查知识点较为简单和
稳定.
（三） 试题预测
仔 ２
与该曲线相交于
点 N， 求 | MN | 的最大值.
【详细解答】 （1） 设点 M 在极坐标系中的坐标 （ 3 , 兹）， ２
由 ρ=1-sin兹，
得
3 ２
=1-sin兹，
sin兹=-
１ ２
. ∵ 0≤兹<2仔 ∴ 兹=
7仔 6
或
兹=
11仔 6
.
所以点 M 的极坐标为
（
3 ２
,
7仔 6
）
或
（
3 ２
理， 相加可得出②式， 再把①和②平方相加整理可得出勃罗
卡角 琢 的余弦值 cos琢
责任编辑 徐国坚
20 广东教育·高中 2020 年第 4 期
sin兹 （ρ=1-sin兹， ρ>0）， M 为该曲线上的任意一点.
（1）
当 | OM | =
3 ２
时，
求 M 点的极坐标；
（2）
将射线
OM
绕原点
O
逆时针旋转
16
4
将 A（ρ1,
兹），
B（ρ2,
兹+ 仔 ） 2
代入，
得 ρ12 cos２兹 ＋ ρ12 sin２兹 ＝１，
16
4
ρ22 cos２兹 ＋ ρ22 sin２兹 ＝1，
16
4
∴
１ ρ12
+
１ ρ22
=（
cos２兹 16
＋
sin２兹 4
）+（
sin２兹 16
＋
cos２兹 4
）=
5 16
.
GUANＧ ＤONG JIAO YU GAO ZHONG
【考点说明】 本题考核参数方程和普通方程的互化， 直角
坐标方程和极坐标方程的互化， 考查了极坐标方程的应用，
是基础题．
【预测题 3】 在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐
标系中， 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ２cos２兹+8ρcos兹=ρ２+8.
2020 年高考数学选做题预测
■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其
众所周知， 新课标高考全国卷数学试题的最后一题， 是 一个分值为 10 分的选做题， 要求二选一作答， 其中一题考查 坐标系与参数方程内容， 另一题考查不等式选讲内容. 从命题 形式来看， 两个题目都是具有两小问的解答题； 从难度上看， 以中档题为主； 从考查目标来看， 主要考查考生的逻辑推理 能力和数学运算素养.
＝
83
姨1891 3782
.
【评注】 本题是一道给出背景的显性数学试题， 取材于著
名的数学名题勃罗卡点问题. 第 （1） 问根据余弦定理和三角
形面积公式可求出三角形△ABC的问题； 第 （2） 问先根据三
角形面积公式可得出△ABP、 △BCP、 △CAP 的面积， 再相加整
理可得出①式， 再分别在△ABP、 △BCP、 △CAP 中运用余弦定
高考命题一向坚持稳中有变不断创新的原则. 在 2020 年 的新课标高考数学的全国卷中， 选做题会如何命题， 本文分 坐标系与参数方程和不等式选讲两个部分加以预测， 供考生 参考.
一、 坐标系与参数方程 （一） 考纲回眸 1. 了解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系伸缩变换 作用下平面图形的变化情况； 2. 了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻 画点的位置， 能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 4. 了解参数方程， 了解参数的意义； 5. 能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程．
2
sin（兹+
仔 4
）
，
故
兹=
5仔 4
时，
| MN | 的最大值为 姨 2
+1.
【考点说明】 本题背景新颖， 主要考查极径的几何意义，
三角函数的性质， 利用极径的几何意义是解题关键， 属于基
础题.
【预测题 2】 在平面直角坐标系中， 曲线 C1 的参数方程为
n n ｘ＝４cos兹，
ｘ＝1+cos兹，
N 图1
S△BCP ＝
1 2
aysin琢＝
3 2
ysin琢，
S△CAP ＝
1 2
bzsin琢＝
7 2
zsin琢，
由上可得， （5x+3y+7z）sin琢=2（S△ABP +S△BCP +S△CAP）＝2S△ABC ，
所以（5x+3y+7z）sin琢=Βιβλιοθήκη 15姨 23
……①
分别在△ABP、 △BCP、 △CAP中运用余弦定理可得： y2＝52+x2-10xcos琢，
z2＝32+y2-6ycos琢，
x2＝72+z2-14zcos琢，
将以上三式相加可得：
（5x+3y+7z）cos琢＝ １ ×（52+32+72）， ２
即（5x+3y+7z）cos琢＝
83 ２
……②
①式和②式两边平方相加可得：
（5x+3y+7z）2＝1891， 5x+3y+7z＝ 姨1891 ，
83
cos琢＝ ２ 姨1891
【预测题 1】 在新中国成立周年国庆阅兵庆典中， 众多群
众在脸上贴着一颗红心， 以此表达对祖国的热爱之情. 在数学
中， 有多种方程都可以
表示心型曲线， 其中有
y
著名的笛卡尔心型曲线.
如图 1， 在直角坐标系
M
O
x
中， 以原点 O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系. 图中的曲线
就是笛卡尔心型曲线， 其极坐标方程为 ρ=1-
y＝2sin兹 （兹为参数）， 曲线 C2 的参数方程为 y＝sin兹 （兹为参
数）.
（1） 求曲线 C1 直角坐标方程以及 C2 的极坐标方程.
（2）
若 A（ρ1,
兹），
B（ρ2,
兹+
仔 2
）
是曲线
C1
上的两点，
求
１ ρ12
+
１ ρ22
的值.
【详细解答】
(1)
由题可得
C1
的普通方程为
ｘ２ 16
＋
ｙ２ 4
,
11仔 6
）.
（2）
由题意可设 M（ρ1, 兹），
N（ρ2,
仔 2
+兹）.
由 ρ=1-sin兹，
得 ρ1 =1-sin兹，
ρ2
=1-sin（
仔 2
+兹）=1-cos兹.
| MN |= 姨ρ12 + ρ22 = 姨（1-sin兹）2+（1-cos兹）2 = 姨3-2（sin兹+cos兹）
姨=
3-2 姨
＝１，
C2 的普通方程为 （ｘ－1）２＋ｙ２＝1，
nｘ＝ ρcos兹，
∴将 y＝ ρsin兹
代入 C2 的普通方程化简得 C2 的极坐标方
程为 ρ=2cos兹.
nｘ＝ ρcos兹，
（2） 将 y＝ ρsin兹
代入 C1 的普通方程化简得 C1 的极坐标
方程为 ρ２cos２兹 ＋ ρ２sin２兹 ＝１，
（二） 命题规律
高考对坐标系与参数方程考查主要有以下两方面：
(1) 参数方程、 极坐标与曲线的关系；
(2) 由参数方程、 极坐标方程求解曲线的一些基本量， 主
要是极坐标与直角坐标、 参数方程 (直线、 圆、 椭圆的参数方
程) 与普通方程的互化问题及应用等， 考查知识点较为简单和
稳定.
（三） 试题预测
仔 ２
与该曲线相交于
点 N， 求 | MN | 的最大值.
【详细解答】 （1） 设点 M 在极坐标系中的坐标 （ 3 , 兹）， ２
由 ρ=1-sin兹，
得
3 ２
=1-sin兹，
sin兹=-
１ ２
. ∵ 0≤兹<2仔 ∴ 兹=
7仔 6
或
兹=
11仔 6
.
所以点 M 的极坐标为
（
3 ２
,
7仔 6
）
或
（
3 ２
理， 相加可得出②式， 再把①和②平方相加整理可得出勃罗
卡角 琢 的余弦值 cos琢
责任编辑 徐国坚
20 广东教育·高中 2020 年第 4 期
sin兹 （ρ=1-sin兹， ρ>0）， M 为该曲线上的任意一点.
（1）
当 | OM | =
3 ２
时，
求 M 点的极坐标；
（2）
将射线
OM
绕原点
O
逆时针旋转
16
4
将 A（ρ1,
兹），
B（ρ2,
兹+ 仔 ） 2
代入，
得 ρ12 cos２兹 ＋ ρ12 sin２兹 ＝１，
16
4
ρ22 cos２兹 ＋ ρ22 sin２兹 ＝1，
16
4
∴
１ ρ12
+
１ ρ22
=（
cos２兹 16
＋
sin２兹 4
）+（
sin２兹 16
＋
cos２兹 4
）=
5 16
.
GUANＧ ＤONG JIAO YU GAO ZHONG
【考点说明】 本题考核参数方程和普通方程的互化， 直角
坐标方程和极坐标方程的互化， 考查了极坐标方程的应用，
是基础题．
【预测题 3】 在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐
标系中， 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ２cos２兹+8ρcos兹=ρ２+8.