2021-2022学年江苏省泰兴、如皋四校高二下学期期末联考数学试题

2021~2022学年第二学期高二年级期末考试
数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
二项式12
x ⎛
+ ⎝
的展开式中的常数项是（
）A.第7项
B.第8项
C.第9项
D.第10项
2.在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =
，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，
则MN =
（
）
A.121232a b c -+
B.221332
a b c +-r r r
C.111222
a b c +- D.211322
a b c
-++ 3.设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n
n A a
B b
+=+（a ，b 为常数），则74a b =（）
A.
128
81
B.
12780
C.
3227
D.
2726
4.《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（）
A.
37
B.
47 C.
1321
D.
57
5.“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（
）
A.32π-
B.36π-
C.42π-
D.48π-6.（1）将k 个小球随机地投入编号为1，2…，1k +的1k +个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为1ξ；（2）将1k +个小球随机地投入编号为1，2…，2k +的2k +个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记2k +号盒子中小球的个数为2ξ，则（）
A.()()()()1212E E D D ξξξξ<<
B.()()()()1212E E D D ξξξξ<>
C.()()
()()
1212E E D D ξξξξ>< D.()()
()()
1212E E D D ξξξξ>>7.已知球O 的半径为2，A ，B ，C 为球面上的三个点，2AB =，点P 在AB 上运动，若OP 与平面ABC 所成角的最大值为
3
π
，则O 到平面ABC 的距离为（）
A.
32
B.
32
C.
217
D.
2
8.已知直线0l y kx k =>：（）既是函数()2
1f x x =+的图象的切线，同时也是函数
()()ln 1
px
g x x p R x =
+∈+的图象的切线，则函数()g x 零点个数为（）
A.0
B.1
C.0或1
D.1或2
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的有（
）
A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是7
B .
若事件A ，B 满足()0P A <，()1P B <且()
()()1AB P A P B P =-⋅⎡⎤⎣⎦，则A 与B 独立
C.若随机变量1~6,3X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，则()49
D X =
D.已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是
373
10.已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =且248,,a a a 成等比数列，则（
）A.
19
232a a a a +=+ B.
45
34
a a a a > C.
11
12
n S n n ++=+ D.n n
S a ≥11.18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，那么当n 比较大时，可
视为X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其密度函数()2
2
2()x x μσμσϕ
--
⋅=
，(,)x ∈-∞+∞．任意正态分布
()2,X N μσ ，可通过变换x Z μ
σ
-=
转化为标准正态分布（0μ=且1σ=）．当(0,1)Z N ~时，对任意实数x ，记()()t x P Z x =<，则（）
A.()1()t x t x -=-
B.当0x >时，(||)12()
P Z x t x <=-C.随机变量()2
,X N
μσ ，当μ减小，σ增大时，概率(||)P X μσ-<保持不变
D.随机变量
()2,X N μσ ，当,μσ都增大时，概率(||)P X μσ-<单调增大
12.（多选题）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）
A.()12
P A =
B.()
13
P B A =
C.()712
P B =
D.()
47
P A B =
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数(
)ln f x x m =在()()1,1f 处的切线过点()0,2，则实数m =______．
14.若()2022
2202201220222x a a x a x a x +=++++ ，则0242022a a a a +++ 被4除得的余数为
___________.
15.3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．
16.如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，若
35PE PB =，12PF PC =，则PG
PD
的值为___________
.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（1）已知567
117C C 10C m m m -=，求1234
778910C C C C C m m m m m ++++++++的值（用数字作答）；（2）已知211C C ,11C C ,
3x x n n x x n n +-⎧=⎪
⎨=⎪⎩
试求x ，n 的值．
18.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，()5435a a a =-，()5434b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）对任意的正整数n ，设()2
1132,,n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩
为奇数为偶数，
①求13521n c c c c -+++⋅⋅⋅+②求2462n
c c c c +++⋅⋅⋅+19.如图，三棱锥A -BCD
中，2BC BD CD ==
=，O 为CD 中点，平面AOB ⊥平面BCD
.
（1）证明：AC AD
=（2）若三棱锥A -BCD 的体积为23，二面角A CD B --的余弦值为55
，E 为BC 中点.求BD 与平面AED 所成角的正弦值.
20.今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.
（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的22⨯列联表.
学业优秀
学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计
150
250
400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据：()()()()
2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++()20P K k 0.50
0.400.250.150.100.05
0.0250.010.0050.0010
k 0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
21.2022年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2022年1月份到7月份，销量y （单位：百件）与月份x 之间的关系.
月份x 1234567销量y
6
11
21
34
66
101
196
（1）根据散点图判断y ax b =+与x y cd =（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y 与月份x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测2022年8月份的销量；（3）考虑销量､产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2022年1月份到12月份（x 的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为2
0.050.610x x
P -+=元，求2022年几月份该产品的利润Q 最大.
参考数据：
y
v
7
1
i
i
i x y
=∑7
1
i i
i x v
=∑0.54
1062.14
1.54
253550.12
3.47
其中lg i i v y =，7
1
17i i v v ==∑.参考公式：
对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线 v
u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1
2
21
n
i i i n
i
i u v nuv
u
nu
β
==-=-∑∑， v u α
β=-.22.已知函数1()sin ln 122
m
f x x x x =-
-+.（1）当2m =时，试判断函数()f x 在(,)π+∞上的单调性；
（2）存在12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，()()12f x f x =，求证：2
12x x m <.
2021~2022学年第二学期高二年级期末考试
数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】ACD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】【答案】6【14题答案】【答案】1【15题答案】【答案】
2235【16题答案】【答案】
34
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1）462；（2）15n =，5x =．【18题答案】
【答案】（1）n a n =，12
n n b -=（2）①221
21
n
n -+；②565994n n +-⨯【19题答案】
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
3
【20题答案】【答案】（1）①1
20；②分布列答案见解析，数学期望：611
；（2）有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.【21题答案】【答案】（1）x
y cd =（2） 0.253.4710x y =⨯，预测2022年8月份的销量为347百件（34700件）（3）2022年8月份或9月份利润最大【22题答案】
【答案】（1）函数()f x 在(,)π+∞上单调递增；（2）证明见解析.。