江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学检测试卷(含解析)

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学
检测试卷
.
1. 设复数10.2i z =+，8
w z =．那么如下说法中错误的是（ ）
A. 1.16
w < B. w 第二象限
C. 若()()2
54f x x =-，那么()2i
f z = D.
1Q
w w w
-Î【答案】A 【解析】
【分析】计算复数模长判断A 选项，根据乘法运算判断象限判断B,化简判断C,结合共轭复数计算判断D 选项.
【详解】A ，
41.0410.044 1.16,
>+´=令()()4
114f x x x =+--且01x <<，则()f x ¢=()3
4140x +->，
所以()f x 在()0,1上递增，故()()00f x f >=，则()4
114x x +>+，故41.0410.044>+´得证，从而A
错误
B ，注意到20.960.4i z =+，()
2
42
0.76160.768i z z ==+，
设4i i z a a b =++，0.7616,0.768
a a
b =+=则(
)
8
2
2
2
2
2i 2i 2222i z a b ab ab b ab a ab =-+-=--++，
0,0,a b >>从而在第二象限．B 正确．
C ，代入就发现()()2
1i 2i f z =+=，从而C 正确
在
D ，化简就是
()
28
21
111
111w w w ww w z
-=-=-=-，而后者是16
1
1.04
，从而两个都是有理数，差也是有
理数．从而D 正确.故选：A
2. 已知12,F F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的两个焦点，点M 在C 上，且[]129,16MF MF ×Î，则
椭圆C 的离心率是（ ）A.
1
4
B.
C.
D.
34
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及基本不等式和二次函数的性质，求得,a b 的值，利用离心率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，点M 为椭圆C:x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)上的一点，
由椭圆的定义，可得122MF MF a +=，因为12
2212(
)2
MF MF MF MF a +×£=，当且仅当12MF MF a ==时，等号成立，
又[]129,16MF MF ×Î，所以216a =，可得4a =，因为122MF MF a +=，可得122MF a MF =-，
则2
122222(2)2MF MF MF a MF MF a MF ×=-=-+，其中2[,]MF a c a c Î-+，当2MF a c =-或2MF a c =+时，2
2
2
12min ()MF MF a c b ×=-=，又[]129,16MF MF ×Î，所以29b =，可得3b =
，则c ==所以椭圆C
的离心率为c e a ==
故选：C.
3. 如下图所示，边长为a 的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段
连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】A 【解析】
【分析】结合题意，根据分类加法原理分类讨论即可.
【详解】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a ，b ，c ，
我们首先假设正方体的一对对顶点是在()0,0,0和()1,1,1，若将()0,0,0染成a 色，那么()0,0.5,0.5，()0.5,0.5,0，()0.5,0,0.5三个点必然都是b 色，
而()0,0,1，()0,1,0，()1,0,0必然都是c 色．如此递推可以恰好染完整个正方体.而当b 色固定的时候通过旋转就可以得到ac 互换的正方体.
从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.故选：A
4. 函数2
3
2()log 2x
f x x x
+=-的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】探讨给定函数的性质，结合当(0,2)x Î时函数()f x 值的符号即可判断作答.【详解】函数2
3
2()log 2x f x x x
+=-定义域为(2,2)-，2
3
2()()log ()2x f x x f x x --=-=-+，则有函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，选项B ，C 不满足；当(0,2)x Î时，212x
x +>-，即32log 02x x
+>-，因此()0f x >，选项A 不满足，D 符合条件.故选：D
5. 我们称两个正整数a 和b 互素，当且仅当a 和b 的最大公因数是1，我们定义()(
)+
n n Z
j Î是小于n 的
正整数中和n 互素的数的个数，例如()62f =．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（ ）
A. 有无限多个正整数n 使()2n
n f >B. 有无限多个正整数n 使()2
n
n f <
C.
()1n f =的解只有1和2
D. 对于任意正整数n ，都有m 使得()m n f =【答案】D 【解析】
【分析】根据新定义结合已知分别判断各个选项即可.【详解】A ，因为对于任意的奇质数p ，有()12
p
p p f =->
，正确B ，因为对于任意的正整数6n ，有()623n n n f £<，则B 正确；
C ，因为当2n >的时候1和1n -都和n 互素，从而()n f 至少是2，C 正确，
D ，因为()3m f =是无解的．因为显然对于任意的2m >．
若a 和m 互素，则m a -也和m 互素，反之亦然．而当m 为偶数时自己和自己对应的2
m
和m 不互质．而1,2m =的时候()1m f =．从而该方程无解．综上，D 选项是错误的.故选：D
6. 已知2k +个两两互不相等的复数1212,,,,,k z z z w w L ，满足1212
4
w w w w -=-，且{}1,3j a w z -Î，
其中1,2j =；1,2,,a k =L ，则k 的最大值为（ ）A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】
【分析】设12,(,,,),a bi c di a b c d R w w =+=+Î从而可得22()()4,a c b d -+-=即12,w w 对应平面内距离为2的点，从而利用数学结合求解即可.【详解】设12,(,,,),
a bi c di a
b
c
d R w w =+=+Î1212
4
w w w w -=
-Q ,\1212()()4w w w w --=,
即[()()][()()]4,a c b d i a c b d i ---×-+-=化为22()()4,
a c
b d -+-=故12,w w 对应平面内距离为2的点，如下图中F G 、,
Q {}1,3j a w z -Î,
a z 与12,w w 对应点的距离为1或3,
构成了点A B C D E 、、、、共5个点，故k 的最大值为5.故选：C.
【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解．
7. 若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x Î，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A. ö
+¥÷÷ø
B. ö
+¥÷÷ø
C. ö
+¥÷÷ø
D. ö
+¥÷÷ø
【答案】A 【解析】
【分析】不等式33x m ax b x m -£+£+等价于3
x ax b m ++-£，原命题等价于存在实数a ，b ，对任
意实数[0,1]x Î不等式3
x ax b m ++-£恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3
max x ax b m -++£成
立，分别讨论0a £，01a <£，13a <<，3a ≥的情况，先求出3
max x ax b ++-，再求出
()
3
max min
x
ax b
++-即可解决问题.
【详解】不等式33x m ax b x m -£+£+等价于3m x ax b m +-£-+£即3
x ax b m ++-£，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x Î不等式3
x ax b m ++-£恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3
max x ax b m -++£成立，记3()x ax b f x -=++，则2()3f x x a ¢=-+，
（1）当0a £时，对任意[0,1]x Î，()0f x ¢£恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递减1()a b f x b
+-££①当10a b b +-+≥，即12a
b -≥
时，max ()f x b =，②当10a b b +-+<，即12
a
b -<时，max ()1f x a b =--+，
从而当0a £时，1,2
()11,2
a
b b g b a b a
b -≥
ì=í--+-î<，
则()g b 在1(,
2a --¥上单调递减，在1,2a -éö
+¥÷ê
ëø上单调递增，所以min 111
()(
222
a a g
b g --==≥；（2）当0<<3a 时，令()0f x ¢=
，解得x =
()f x
在区间éêë
上单调递增，在ùúû
上单调递减，
(0)f b =
，f b =，(1)1=+-f a b ，①当01a <£时1a b b +-£
，此时1()a b f x b +-££
+， )a
当10a b b +-+
+<
即1122b a <--时，max ()1f x a b =--+，)b
当10a b b +-+≥
即1122b a ≥-
时，max )(f b x =，
从而当01a <£
时，118,22()11,22b a g b b b a +<-=+≥-，
则()g b
在区间11,22a æ-¥-ççè
上单调递减，在区间1122a éö-+¥÷ê÷ëø上单调递增,
所以min 111()2222a g b g a æ=-=-ççè
令t =
，则0t <£，23min 13()22g b t t =-+，记2313()22h t t t =-+，
则2()33)3(1)h t t t t t ¢=-=-，
当æççè
时，()0h t ¢
<恒成立，即()h t
在区间æççè
上单调递减，即min ()h t h ==，
即min ()g b ≥
②当13a <<时1a b b +->
，此时()b f x b ££
+，)a
当0b b +<
即b <时，max ()f x b =-，)b
当0b b ++≥
即b ≥
时，max )(f b x +=，
从而当13a <<
时，,
(),b g b b b
<=
≥则
()g b 在区间,æ-¥ççèö+¥÷÷ø上单调递增，
所以min ()g b g æ==>ççè（3）当3a ≥时，对任意[0,1]x Î，()0f x ¢≥恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递增，
()1
b f x a b ££+-①当10a b b +-+≥，即12a
b -≥
时，max ()1f x a b =+-，②当10a b b +-+<，即12
a
b -<时，max ()f x b =-，
从而当3a ≥时，1,282()1,2
a
b a b g b b a b -
≥
+-ì=í--î<
，则()g b
在1(,
2a --¥上单调递减，在1,2a -éö
+¥÷ê
ëø上单调递增，所以min 11
2)2
((
)1g a b g a -==≥-；综上所述，min ()g b =
所以m ≥.故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =Î，()[]
,,y g x x c d =Î（1）若[]1,x a b "Î，[]2,x c d "Î，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <；（2）若[]1,x a b "Î，[]2,x c d $Î，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <；（3）若[]1,x a b $Î，[]2,x c d $Î，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <；
（4）若[]1,x a b "Î，[]2,x c d $Î，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8. 已知关于x 的不等式1
ln e 1x m m x x
x
-++£
在()3
1,e 上恒成立，则正数m 的最大值为（ ）A.
1e
B. 0
C. e
D. 1
【答案】C 【解析】
【分析】将不等式变形得到ln ln e e m m x x x x --£，构造()()ln 1f t t t t =-≥，研究其单调性得到
e m x x £，取对数后参变分离得到
ln 1x x m £，构造()ln x g x x
=，求导后得到()max e 1
g x =，从而得到1e 1
m
£，求出0e m <£，得到答案.【详解】1
ln e 1x
m m x x
x
-++£
变形为ln e m x x x m x +£+， 即ln ln e e m m x x x x --£，其中0m >，(
)3
1,e
x Î，故1,1e m
x x
>>，
令()()ln 1f t t t t =-≥，则有()()e m
x
f x f £，
因为()1
1
10t f t t
t
-¢=-=
≥在1t ≥上恒成立，故()ln f t t t =-在1t ≥上单调递增，故e m x x £，两边取对数得：ln m x x £，则ln 1
x x m
£，令()ln x g x x =
，则()21ln x
g x x
-¢=，故当()1,e x Î时，()0g x ¢>，当()e,+x Î¥时，()0g x ¢<，故()ln x
g x x
=
在()1,e x Î上单调递增，在()e,+x Î¥上单调递减，()ln x g x x
=
在e x =处取得极大值，也是最大值，()max e 1
g x =，
所以
1e 1
m
£，解得：0e m <£，故正数m 的最大值为e .故选：C
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是
1
ln e 1x
m m x x
x
-++£
变形得到ln ln e e m m x x x x --£，从而构造()()ln 1f t t t t =-≥进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 柯西不等式（Cauchy -Schwarz Inequality ）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：①对于所有实数x 和y ，有(
)()()2
2
2
22a b
c d ac bd ++≥+.
②等式条件：当且仅当0ad bc -=时，等号成立.例：已知22x y +=，由柯西不等式(
)()
()2
22
2
21
22x y x y ++≥+，可得()
22
min
4
5
x y +=
.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）A. 若221a b +=，则(
)max 23a b +=B. 若02a <<
，则min
1232a a æö+=+ç÷-èøC. 若4a b +=
，则
max
+=D. 若13a <<
，则
max
+
=【答案】AD 【解析】
【分析】根据柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++，等号成立条件为0ad bc -=，对每个选项进行分析计算，判断其正误.
【详解】对于A 选项，根据柯西不等式22222()(23)(23)a b a b ≥+++.因为221a b +=，所以222(23)(23)a b ≥++，即213(23)a b +≥.
所以23a b ££+
(23)max a b +=，当且仅当32a b =时取等号，A 选项正确.
对于B 选项，令m a =，2n a =-，则2m n +=.
根据柯西不等式212(
)((2))2a a a a ≥++--.
即212
(
2(132a a ≥+´+=+-.当且仅当12(2)2a a a a ´-=´-取等号，
所以12(
)2a a ≥
+-，B 选项错误.
对于C 选项，根据柯西不等式2(14)(12)a b ++++£+.
因为4a b +=，所以25(412)35++£´+=.当且仅当4(1)2a b +=+取等号.所以
+£C 选项错误.
对于D 选项，令x =
，y =，则22
132x y a a +=-+-=.
根据柯西不等式22222()(12)()x x y +£==+++.
因为222x y +=，所以26+£.=取等号.
+£，D 选项正确.
故选：AD.
10. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F C 的准线l 与x 轴交于点P ，过P 的一条直线与C 交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,S T ，则（ ）A. MF NP NF MP ×=× B. π2
MFS NFT Ð+Ð=
C. MF NF SF TF ×=×
D. MNF V 的面积等于STF △的面积
【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A ：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B ：设直线MN 的方程为()1y k x =+，利用韦达定理可得πMFP NFP Ð+Ð=，即可得结果；对于
C ：整理可得2sin2SF TF MF NF MFS ×=×Ð，进而分析判断；对于
D ：整理可得
1sin22MFN S MF NF SFT =
×ÐV ，1
2sin2sin 2
SFT S MF NF MFS SFT =××ÐÐV ，结合题意分析证明.【详解】对于选项A ：由几何性质可知,MF MS NF NT ==，且MS NT ∥，
可得
MF MS MP NF
NT
NP
=
=
，所以MF NP NF MP ×=×，故A 正确：
对于选项B ：设直线MN 的方程为()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立方程()
2
14y k x y x
ì=+í
=î，消去y 可得(
)
22
2
2
240k x k x k +-+=，
则120,1x x D >=，即22
12
144
y y ×=，
由条件知12,y y 同号，所以124y y =.则()()()()
121212
12124011411MF NF
y y y y y y k k x x x x +-+=+==----，可得πMFP NFP Ð+Ð=，因为MFS MSF SFP Ð=Ð=Ð，则2MFP MFS Ð=Ð，同理可得2NFP NFT Ð=Ð，则π
2
MFS NFT Ð+Ð=
，故B 正确；对于选项C ：因为2cos ,2cos 2sin SF MF MFS TF NF NFT NF MFS =Ð=Ð=Ð，可得2sin2SF TF MF NF MFS ×=×Ð，
当且仅当1
sin22MFS Ð=
时，MF NF SF TF ×=×，故C 错误；对于选项D ：设π
2
MFP Ð<，
由πMFP NFP Ð+Ð=，可知直线,MF NF 关于直线1x =对称，所以
1π22
MFN NFP Ð+Ð=.因为2MFN MFS SFN SFP SFN NFT Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð2SFN SFN SFT +Ð+Ð=Ð，可得π
2
SFT NFP Ð+Ð=.则11
sin sin222MFN S MF NF MFN MF NF SFT =
×Ð=×ÐV ，11
sin 2sin2sin 22
SFT
S SF TF SFT MF NF MFS SFT =×Ð=××Ð×ÐV 1π12sin2sin 2sin2sin 222MF NF NFT SFT MF NF NFT SFT æö
=
××-ÐÐ=××
Ð×Ðç÷èø
11π2sin sin 2sin sin 222MF NF NFP SFT MF NF SFT SFT æö
=××Ð×Ð=××Ð×Ðç÷èø11
2cos sin sin222
MF NF SFT SFT MF NF SFT =
××Ð×Ð=×Ð，所以MNF V 的面积等于STF △的面积，故D 正确.故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.
11. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，4,AB BC CD DA ====AC BD ==，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 过点E ，F ，G 作四面体ABCD 的截面，则该截面的面积为2
B. 四面体ABCD
C. AC 与BD 的公垂线段的长为
D. 过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4【答案】ACD 【解析】
【分析】A 选项，找到过点E ，F ，G 的四面体ABCD 的截面，证明出是正方形，求出边长和面积；B 选项，分割法求解四面体体积；C 选项，找到AC 与BD 的公垂线，求出长度；D 选项，先找到球心的位置，然后再得到过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，求出两圆面积之比.
【详解】A 选项，取AB 中点H ，连接EH ，GH ，因为点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，GH ∥BD ，FG ∥AC ，EH ∥AC ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故平行四边形EFGH 即为过点E ，F ，G 做四面体ABCD 的截面，取AC 中点Q ，连接QB ，QD ，因为4AB BC CD DA ====，由三线合一得：DQ ⊥AC ，BQ ⊥AC ，又DQ BQ Q =I ，所以AC ⊥平面BDQ ，因为BD Ì平面BDQ ，所以
AC ⊥BD ，从而EF ⊥EH ，因为AC BD ==，所以EF EH ==EFGH 是正方
形，面积为
2
2=，A 正确；
B 选项，由勾股定理得：DQ =
=，同理得：BQ =BD 中点M ，连接QM ，
由三线合一得：QM ⊥BD ，所以BM =QM ==，故
1
2BDQ S BD QM =
×==V 1133C BDQ BDQ V S CQ -=×=´=V ，
2A BCD C BDQ V V --==
B 错误；
C 选项，连接MA ，MC ，由勾股定理得：CM ==，同理可得：AM =，由由
三线合一得：QM ⊥AC ，结合B 选项求得的QM ⊥BD ，可得：QM 为AC 与BD 的公垂线段，
QM =AC 与BD 的公垂线段的长为，C 正确；
D 选项，取QM 的中点S ，则S 为球心O ，理由如下：
因为QM ⊥BD ，MS SB SD ==
=SA SC ==，所以S
为球心O ，因为OE ⊥BC ，所以过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半
径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，所以2
min π24πS =×=，2
max π5πS =×
=，所以过
E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4，D 正确.
故选：ACD
【点睛】对于立体几何中求解截面面积问题，需要先结合图形特点，找到截面，再进行求解，寻找截面的方法，通常是由线线平行，得到截面是平行四边形或梯形.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数221,1
()(4),1
x
x ax x f x a x ì-++£=í->î，若()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是__________．【答案】4[1,3
【解析】
【分析】由函数()f x 在每一段上都递增，列出不等式，且有(1)4f a £-，再联立求解即得.
【详解】因函数221,1()(4),1
x
x ax x f x a x ì-++£=í->î在R 上单调递增，则有2
21=-++y x ax 在(,1]-¥上递增，于是得1a ≥，
(4)x y a =-在(1,)+¥上也递增，于是得41a ->，即3a <，并且有(1)4f a £-，即24a a £-，解得43
a £
，综上得：413
a ££
，所以a 的取值范围是4[1,3
.故答案为：4[1,3
13. 已知函数()311
x x a f x a -=+（0a >且1a ¹），若()0,3x $Î，()()2
320f x f ax a ++---≥是假命题，
则实数a 的取值范围是______．【答案】{
01a a <<或}3a ≥【解析】
【分析】对a 进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为()()3143143111
x
x x x x a a f x a a a +--===-+++，
若1a >，由于4
1
x y a =
+单调递减，则()f x 在R 上单调递增；若01a <<，由于4
1x y a =+单调递增，则()f x 在R 上单调递减，
又()()44
6211
x
x f x f x a a -+-=--=++，故()()2f x f x --=，因为()0,3x $Î，()
()2
320f x f ax a ++---≥是假命题，
故()0,3x "Î，()
()2
320f x f ax a ++---<恒成立为真命题，
即不等式()
()()2
32f x f ax a f ax a +<---=+对()0,3x "Î恒成立，
当1a >时，()22
3
311
x x a x a x ++<+Þ<+，即()4121x a x ++-<+在()0,3x "Î恒成立，设()114t x t =+<<，即4
2a t t
>+-在()1,4t Î恒成立．由于对勾函数()4
2h t t t
=+
-在()1,2单调递减，在()2,4单调递增，因为()()()143h t h h <==，因此3a ≥；
当01a <<时，()22
3
311
x x a x a x ++>+Þ<+，
即()4
121
a x x <++
-+在()0,3x "Î恒成立，当2t =时，函数()4
2h t t t
=+-有最小值()22f =，
即2a <，又因为01a <<，故01a <<．综上可知：{
01a a <<或}3a ≥．故答案为：{
01a a <<或}
3a ≥【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否
定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
14. 设严格递增的整数数列1a ，2a ，…，20a 满足11a =，2040a =.设f 为12a a +，23a a +，…，
1920a a +这19个数中被3整除的项的个数，则f 的最大值为________，使得f 取到最大值的数列{}n a 的
个数为________.【答案】 ①. 18 ②. 25270
【解析】
【分析】第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果.
【详解】第一个空，设某个数除以a 余数为b ，则称该数模a 余b (a ，b 均为整数，且b a <)，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.
而11a =，2040a =均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以f 的最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.
第一步，在1a 到20a 这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得f 的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有4
21C 种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由1
8C 种，共有4
21C 1
8C 种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有3
212C 种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共3
212C 种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为A ，它旁边两个数分别为,B C ，即排列为,,B A C ，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为BA ，然后删去，再补回B ；或者为AC ，然后删去，再补回C ，这两种删去方式结果相同.综上，共有
()
41
3218211C C 2C 252702
+=种.故答案为：18；25270
【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为1
2，高二、高三对高一和行政组的胜率均为2
3
，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.
（1）求比赛结束时，高二比赛场次是2场的概率；（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；
（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.【答案】（1）16
（2）
29
（3）得冠军的概率分别为1027与1
3
，“双败淘汰制”对高二夺冠有利【解析】
的
【分析】（1）由题意可得高二两场全输，计算其概率即可得；
（2）由题意可得高二后三场全胜，结合每轮的对手及胜率计算即可得；
（3）在“双败淘汰制”下，分别计算高二全胜、只输了第一场与只输了第二场的概率，求和即可得其夺冠概率；在“单败淘汰制”下，高二需全胜，计算其概率即可得其夺冠概率；比较两者概率大小，即可得解.【小问1详解】
设高二在第i 场比赛获胜的事件为()1,2,3,4i A i =，由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输，则()
1212111236
P A A æ
öæö=-´-=ç÷ç÷è
øèø；【小问2详解】
由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军，则()23422211122+=33323239
P A A A æö=´´´´´ç÷èø；【小问3详解】
在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场，若高二全胜，其概率为()12312122211216=
1+23333323381
P A A A éùæö´´´´´´+´=ç÷êúèøëû，若高二只输了第一场，则()
1234122211121
=
+=233323239P A A A A æö´´´´´´ç÷èø，若高二只输了第二场，则()
1234111222125=+=2333332381
P A A A A æö´´´´´´ç÷èø，则高二获得冠军的概率为1161510
8198127
P =
++=；在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则2121=233
P =´，由
1011027327
-=>，故12P P >，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于计算“双败淘汰制”下高二获得冠军的概率需要分全胜、只输了第一场与只输了第二场的情况进行计算.
16. 在圆柱12O O 中，等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，且1AD DC BC ===，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，1CG =.
（1）求证：平面1O CG ∥平面ADE ；
（2）设DP DE l =uuu r uuu r
，[]0,1l Î，试确定l 的值，使得直线AP 与平面ABG
.【答案】（1）证明见解析 （2）1
3l =或23
l =【解析】
【分析】（1）先证明AE ∥平面1O CG 以及AD ∥平面1O CG ，根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面ABG 的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
小问1详解】
在圆柱12O O 中，AE CG ∥,AE ⊄平面1O CG ,CG Ì平面1O CG ,故AE ∥平面1O CG ；
连接1DO ，因为等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，1AD DC BC ===，
故111π
3
AO D CO D BO C Ð=Ð=Ð=
，则1AO D V 为正三角形，故11π
3
O AD CO B Ð=Ð=
，则1AD O C ∥，AD ⊄平面1O CG ,1O C Ì平面1O CG ,
故AD ∥平面1O CG
；
【
又,,AE AD A AE AD Ç=Ì平面ADE ，故平面ADE ∥平面1O CG .【小问2详解】
如图，以1O 为坐标原点，在底面圆1O 过点1O 垂直于平面ABFE 作直线为x 轴，以112,O B O O 为,y z 轴建立空间直角坐标系，
由于1,1AD DC BC CG ====，由（1）可知11AO =,
故()(
)1101001,010(0,11)
,,22,,,,,,,,A B G D E æöæö
---ç÷ç÷ç÷ç÷
øèø,则2,,,3(020)1,AB AG æö
==ç÷ç÷èø
uuu r uuu r ，
设平面ABG 的一个法向量为(,,)n x y z =r
，
则00n AB n AG ì×=ïí×=ïîuuu
r r uuu r r ，即3
02x y z ìï
í
++=ïî，
令x =n =r
，
由DP DE l =uuu r uuu r
，[]0,1l Î，11,2DE ö=-÷
÷
uuu r ，
可得11112,,2,22P AP l l l l öö
---=-+÷÷÷÷\øø
uuu r ，
设直线AP 与平面
ABG 所成角π
,[0,
]2
q q Î，
则||sin |cos ,|||||n AP n AP n AP q
×=áñ===uuu r r uuu r r
uuu r r 为
即得29920l l -+=，解得1
3l =或23
l =，符合[]0,1l Î，故1
3l =
或23
l =.17. 新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
（1）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
()()()()()()()()()200000002!!
n
n
f x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢-¢=+-+-+++L L ，
（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数3n ≥，*n ÎN ），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式，当00x =时
泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：
22111
e 12!3!!
x n x x x x n =++
++++L L ，由此当0x ≥时，可以非常容易得到不等式e 1x x ≥+，21e 12
x x x ≥++
，2311
e 126x x x x ≥+++，L ，请利用上述公式和所学知识写出sin y x =在0x =处的
泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
（2）设m 为正整数，数列1a ，2a ，¼，42m a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1a ，2a ，¼，42m a +是
(,)i j 一可分数列.请写出所有的(),i j ，16i j £<£，使数列1a ，2a ，¼，6a 是(,)i j —可分数列.
【答案】（1）()()1
35
21111sin 3!5!21!
n n x x x x x n ---=-+++
+-L L （2）()()()1,2,1,6,5,6【解析】
【分析】（1）对sin y x =求导，利用泰勒展开式的定义即可得解；（2）直接利用(),i j -可分数列的定义即可得解.【小问1详解】
因为()sin cos x x ¢=，()cos sin x x ¢=-，()sin cos x x ¢-=-，
()cos sin x x ¢-=，其中cos 01,sin 00==，
所以sin y x =在0x =处的泰勒展开式为：
13521
11(1)sin 3!5!(21)!
n n x x x x x n --+-=-+++-L L ，
【小问2详解】
由题意可知，问题相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.
18. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点
在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN V 面积的最大值；
（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点
(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）22
1124
x y +=；
（2）3+
（3
）éö
÷ê÷ëø
【解析】
【分析】（1）观察可知，,Q M 都在椭圆上，即满足椭圆方程，若()1,3P 在椭圆上，代入方程，联立解得
2210a b ==，舍去；因此,,Q M N 三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；
（2）要使EMN V 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.当过点E 的直线l 与MN 平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；
（3）写出直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，可得(
)
2
2
31690k x kx ++-=，根据韦达定理求出AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程，代入0y =，即可求得m 的值.根据基本不等式，可求出实数m 的取值范围.【小问1详解】
因为()3,1Q ，()3,1M -关于y 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有22
911a b +=成立.若()1,3P 在椭圆上，则有
2
2191a b
+=.联立22
22
91
1191a b a b ì+=ïïíï+=ïî可得，2210a b ==，不合题意，舍去.
所以，()0,2N 椭圆上，即有
241b =，所以24b =，代入2291
1a b
+=，可得212a =.所以，椭圆C 的方程为22
1124
x y +=.
【小问2详解】
要使EMN V 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.由()3,1M -，()0,2N ，可得直线MN 方程为360x y -+=.
过点E 作直线l ，使得//l MN ，则E 到直线MN 的距离即等于直线l 到直线MN 的距离.显然，当直线l 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线l 方程为30x y m -+=，联立直线与椭圆的方程
在
22
1124
30x y x y m ì+
=ïíï-+=î
可得，22126120y my m -+-=.因为，直线l 与椭圆相切，则()()()
2
2
2
64121212480m m m D =--´-=--=，
解得，m =±.
则当m =-
时，此时直线方程为30x y --=，与直线360x y -+=距离最大，此时
d .
又
MN =
=，
所以EMN V
面积的最大值为11322MN d ×==+.【小问3详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在一点(),0D m ，使得DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形.因为直线l 过()0,1R 点，则直线l 的方程为1y kx =+()0k >，
联立直线l 的方程与椭圆的方程2211124
y kx x y =+ìïí+
=ïî可得，()22
31690k x kx ++-=，
()()()()
2
22Δ6431936410k k k =-´+´-=+>恒成立，
且122
631
k x x k +=-
+，1229
31x x k -=+，111y kx =+，221y kx =+，所以()12122y y k x x +=++2
26231
k k =-++2
231k =+，则AB 的中点坐标为22
31,3131k k k æ
ö-
ç÷++èø
，所以线段AB 的垂直平分线方程为221
133131k y x k k k æö-=-+ç÷++èø，
显然该直线过点(),0D m .令0y =，则221
133131k m k k k æö-
=-+ç÷++èø，即2
231
k
m k -=+.
因为0k >
，所以23110,3k m k k k +<=+≥=当且仅当13k k =
时，即k =时，等号成立.
所以，231k k +≥
2
31k k £+
22231k k -≥-=+，
所以m ≥.即实数m
的取值范围为éö÷ê÷ëø
.19. 若12,,,n x x x L 为(,)a b 上任意n 个实数，满足()()()1212n n
f x f x f x x x x f n n ++++++æö≥
ç
÷èø
L L ，当且仅当12n x x x ===L 时等号成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.也可设可导函数()f x 在
(,)a b 上的导函数为(),()f x f x ¢¢在(,)a b 上的导函数为()f x ¢¢，当()0f x ¢¢<时，函数()f x 在(,)a b 上的
为“凸函数”.若12,,,n x x x L 为(,)a b 上任意n 个实数，满足
()()()1212
n n
f x f x f x x x x f n n ++++++æö£ç÷è
ø
L L ，当且仅当12n x x x ===L 时等号成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”.也可设可导函数()f x 在(,)a b 上的导函数为(),()f x f x ¢¢在(,)a b 上的导函
数为()f x ¢¢，当()0f x ¢¢>时，函数()f x 在(,)a b 上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
（1）讨论函数1π(),0,tan 2f x x x æö
=
Îç÷èø
的凹凸性；（2）在锐角ABC V 中，求
111
tan tan tan A B C
++的最小值；（3）若n 个正数(
)*
12,,n a a a n N
ÎLL 满足12
1n a a
a +++=L ，证明:
12121111n n n
a a a n a a a n æöæöæöæö+++≥+ç÷ç÷ç÷ç÷èøè
øèøèøL .
【答案】（1）凹函数 （
2（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据函数凹凸性的定义判断()f x ¢¢的符号即可；。