《振动力学》习题集(含答案解析)

《振动力学》习题集（含答案）

1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解：

系统的动能为：

()22

2

121x I l x m T &&+=

其中I 为杆关于铰点的转动惯量：

2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭

⎫

⎝⎛=

则有：

()2

212212236

16121x l m m x l m x ml T &&&+=+=

系统的势能为：

()()()2

1212124

1

4121 cos 12

cos 1glx m m glx m mglx x l

g m x mgl U +=+=-⋅

+-=

利用x x

n ω=&和U T =可得： ()()l

m m g

m m n 113223++=

ω

1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2

解：

如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

2222224321212

1θθθ&&&mR mR mR I T B =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+==

()[]()22

22

12θθa R k a R k U +=+⋅=

利用θωθ

n =&和U T =可得： ()m

k

R a R mR a R k n 34342

2

+=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所

示。求系统的固有频率。

图E1.3

解：

系统的动能为：

22

1θ&J T =

2k 和3k 相当于串联，则有：

332232 , θθθθθk k =+=

以上两式联立可得：

θθθθ3

22

33232 , k k k k k k +=+=

系统的势能为：

()232323212

332222*********θθθθ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U

利用θωθ

n =&和U T =可得： ()()

3232132k k J k k k k k n +++=

ω

1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有

频率。

图E1.4

答案图E1.4

解：

对m 进行受力分析可得：

33x k mg =，即3

3k mg

x =

如图可得：

()()2

2221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==

()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 2122

21212110++=+-+='+=

()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0

3212

2212301

1=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++=+=

则等效弹簧刚度为：

()()2

12322

312

3

212

k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：

()()(

)[

]

222132212

321b

k a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ω

mg b

a a F +=

2

x x 2

1.7 质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图E1.7所

示。确定系统由此产生的自由振动。

图E1.7

答案图E1.7

解：

对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：

21112

1

v m gh m =

，即gh v 21=

对整个系统由动量守恒可得：

()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22

110+=

令2m 引起的静变形为2x ，则有：

22sin kx g m =α，即k

g m x α

sin 22=

令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：

()k

g m m x αsin 2112+=

得：

k

g m x x x α

sin 12120=

-=

则系统的自由振动可表示为：

t x t x x n n

n ωωωsin cos 0

0&+

=

其中系统的固有频率为：

2

1m m k

n +=

ω

注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：

t v t x x n n

n ωωωsin cos 0

0-

=