组合数学第四章Pólya定理

[定理]任一循环都可以表示为对换的积。
• (1 2 …n)=(1 2)(1 3)…(1 n)=(2 3)(2 4)…(2 n)(2 1)表示不唯一。 • 任一置换表示成对换的个数的奇偶性是 唯一的. • 置换分成两大类：奇置换与偶置换。 • 循环长度减1的奇偶性即置换奇偶性。
[定理]Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群称 为交错群，记做An.
4.2 置换群
• 置换群是最重要的有限群，所有的有限 群都可以用之表示。 • 置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。 2 … n ), a1a2…an是[1,n]中 [1,n]目标集。( a1 1 a2 … an 元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一 置换用这样的表示可有n!个表示法。例 1234 3142 如 p1=( 3 1 2 4 )=( 2 3 4 1 )，n阶置换又可看 作[1,n]上的一元运算，一元函数。
[定理1]Sn中属(1)C1(2)C2…(n)Cn共轭类的元 的个数为
[证](1)C1(2)C2…(n)Cn 一个长度为k的循环有k种表示，Ck个 长度为k的循环有Ck!kCk种表示.1,2,…,n的全排列共有n!个， 给定一个排列，装入格式得一置换，除以前面的重复度得 个不同的置换. [例1]S4中(2)2共轭类有4!/(2!22)=3 (1)1(3)1共轭类有4!/(1!3!1131)=8 (1)2(2)1共轭类有4!/(1!2!1221)=6
4.4 Burnside引理
• (1)共轭类 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识。 S3={(1)(2)(3),(12),(23),(13),(123)(132)}. A3={(1)(2)(3),(123),(132)}. S4={(1)(2)(3)(4),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. A4={(1)(2)(3)(4),(123),(124),(132),(134),(142), (143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
4.3循环、奇循环与偶循环
(a1a2…am)= 称为置换的循环表示。 • 于是 =(1 4 5 2 3), =(1 3 2)(4 5), =(1 5 4)(2)(3). • (a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m种 表示方法。 • 若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相 交的循环相乘可交换。如(1 3 2)(4 5)=(4 5)(1 3 2). • 若P=(a1a2…am),则Pn=(1)(2)…(n)=e.
群的基本性质
(a)单位元唯一 e1e2=e2=e1 (b)消去律成立 ab=ac → b=c, ba=ca → b=c (c)每个元的逆元唯一 aa-1=a-1a = e, ab = ba = e , aa-1= ab , a-1= b (d) (ab….c)-1 =c-1…b-1a-1. c-1…b-1a-1ab…c = c-1…b-1eb…c=e
1
a· a·…· a=a (共n个a相乘).
n
2
n
4.1 群的概念
(2) 简单例子 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群. 例 二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构 成群。其中Ta = cosa sina -sina cosa TbTa= cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa
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(3)等价类
• 例:G={(1)(2)(3)(4),(12),(3 4),(1 2)(3 4)}.在G下， Z1=Z2={e,(3 4)}, Z3=Z4={e,(1 2)}. 对于A4, Z1={e,(2 3 4),(2 4 3)},Z2={e,(1 3 4),(1 4 3)} Z3={e,(1 2 4),(1 4 2)},Z4={e,(1 2 3),(1 3 2)} 一般[1,n]上G将[1,n]分成若干等价类，满足等价类的3 个条件.(a)自反性;(b)对称性;(c)传递性。 • 一个由G定义的关系R： 若存在p∈G,使得k→jp则称kRj.显然kRk；kRj则jRk； kRj,jRm则kRm。R是[1,n]上的一个等价关系。将[1,n] 划分成若干等价类。k所属的等价类是k在G作用下的” 轨迹”形成的一个封闭的类，记作Ek。
1
4.2 置换群
• 任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。 设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任 意aj∈G，Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一 个置换，即以G为目标集。 a1 a2 … an Pi=( a1ai a2ai … anai )， G的右正则表示f： a i ai→( aai)=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj a1 a2 … an f(aiaj) = ( a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) ) a1 a2 … an 1 a2 … an =( a1ai a2ai … anai )((a1a ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj )=f(ai)f(aj) ai )|a,ai∈G},则P≈G 令P={Pi=( aa i
1 2 n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1 1 2
1
2
n
1 1
2 2
n n
n
1
2
n
1
2
n
2
n
1 1
2 2
n n
1
2
n
1
2
n
4.2 置换群
• (2)例 等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 2 3 绕对称轴翻转。 123 123 123 123 P1=( 1 2 3 ),P2=( 2 3 1 ),P3=( 3 1 2 ),P4=( 1 3 2 ), 2 3 ),P6=( 1 2 3 )。 P5=( 1 321 213 [1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个 群，称为对称群，记做Sn. • 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不 一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。
Sn中P的循环格式(1)C1(2)C2…(n)Cn,
例如,S3中置换(1)(2)(3)的格式为132030: 1· 3+2· 0+3· 0=3 S4中置换(124)=(124)(3)与(132)的格式均为 11203140:1· 1+3· 1=4 • 定义 Sn中有相同格式的置换全体构成 一个共轭类。
(2) k不动置换类
设G是[1,n]上的一个置换群。G≤Sn. K∈[1,n] G中使k保持不变的置换全体，称为k不动 置换类，记做Zk.
[定理]置换群G的k不动置换类Zk是 G的一个子群。
封闭性： , . 结合性：自然。 有单位元：G的单位元属于Zk. 有逆元：P∈Zk, ,则 ,P-1∈Zk. ∴Zk是G的子群.
1234 P1=( 3 1 2 4 ),P2=( 1234 3 1 2 4 )=( )( 3124 2431 1234 4321 1234 2431
) )
P2P1=(
1234 4321
)(
4321 4213
)=(
1234 4 2 3 1 )≠P1P2.
4.2 置换群
• (1)置换群 [1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定 义下是一个群。 1 2… n a a …a 2… n ) (a)封闭性 ( a a … a )(b b … b )=( 1 b b …b a a …a 1 2 … n b …b (b)可结合性 ((a a … a )( b b … b ))(b c c …c ) 2 … n )=( 1 2 … n )(( a a … a )( b b … b )) =( 1 a a …a c c …c c c …c b b …b 2…n (c) 有单位元 e=(1 1 2 … n) 2 … n )-1=( a a … a ) (d) ( 1 1 2… n a a …a
4.2 置换群
• 置换乘法 P1P2=(
注意：既然先做P1的置换，再做P2的置换就规 定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与 一般习惯的前置不一样。 • 一般而言，对[1,n]上的n阶置换，i[1,n]要写成 (i)P1P2，而不是P1P2(i). (i)P有时写成iP在上面例 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 中，1→3→2,2→1→4,3→2→3,4→4→1.也 可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1.
[定理]任一置换可表成若干不相交 循环的乘积。
[证]对给定的任一置换P= ， 从1开始搜索 得一循 环 ,若 包含了[1,n]的所有文字，则命题成 立。否则在余下的文字中选一个，继续 搜索,又得一循环。直到所有文字都属于 某一循环为止。 因不相交循环可交换， 故除了各个循环的顺序外，任一置换都 有唯一的循环表示。
4.1 群的概念
= cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb = cos(a+b) sin(a+b) =Ta+b -sin(a+b) cos(a+b) 从而有(a)封闭性; (b)结合律成立： (TαTβ)Tγ = Tα(TβTγ) = TαTβTγ ; (c)有单位元： 0 有逆元：Ta =T-a T0 = ; 1 (d)
4.1 群的概念
(e) G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使 得ar= e.且a-1= ar-1. 证 设|G|=g,则a,a2,…,ag,ag+1∈G,由鸽巢原理 其中必有相同项。设am=al, 1≤m＜l≤g+1, e=al-m ,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有ar=ar-1a=e.即ar1=a-1.既然有正整数r使得ar=e,其中必有最小 者，不妨仍设为r. r称为a的阶。易见 H={a,a2,…,ar-1,ar=e}在原有运算下也是一个 群。
= cosa -sina sina cosa
0 1
4.1 群的概念
• 前两例群元素的个数是有限的，所以是 有限群；后一例群元素的个数是无限的， 所以是无限群。 • 有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。 • 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。责 称G为交换群，或Abel群。 • 设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运 算之下也是一个群,则称为G的一个子群。
[例]一副扑克牌，一分为二，交错互相插入(洗 牌)，这样操作一次相当于一个置换p。
i 1 , i 1,3,...,51. 2 p i i 26, i 2, 4,...,52 2
p8=e 2阶循环叫做对换。
p=(2 27 14 33 17 9 5 3) (4 28 40 46 49 25 13 7) (6 29 15 8 30 41 21 11) (10 31 16 34 43 22 37 19) (12 32 42 47 24 38 45 23) (20 36 44 48 50 51 26 39) (18 35)(52)
第四章 Pó lya定理
• • • • • • • • 群的概念 置换群 循环、奇循环与偶循环 Burnside引理 Pó lya定理 例 母函数型的Pó lya定理 图的计数
4.1 群的概念
(1)群 定义 给定集合G和G上的二元运算 ·，满足 下列条件称为群。 (a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a· b=c. (b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a· b)· c=a· (b· c). (c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.a· e=e· a=a. -1 (d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G, a· b=b· a=e. b=a. 由于结合律成立，(a· b)· c=a· (b· c)可记做a· b· c. 例 证明对于a ,a ,…,a 的乘积，结合律成立.
[证 ] (1)封闭性 (2)单位元 (3)逆元 (i k)-1=(i k) 设p=(i1 j1)(i2 j2)…(ik jk),则p-1=(ik jk)…(i1 j1) 令Bn=Sn-An, |Bn|+|An|=n!, 则(i j) Bn包含于An,因此,|Bn|≤|An|， (i j) An包含于Bn |An|≤|Bn| ∴|An|=|Bn|=(n!)/2