流体动力学基本方程
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上式表明：单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功 率＋作用于该微团上的合面力的功率。 III－3热流量方程： 面力的功率包含两项，其中合面力的功率转化为系统的宏观运动动能， 另一部分转化为系统的内能。 尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如 果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。 参考本章后面的例题。
例题：拖动上板引起的剪切运动，。设平板面积间距，忽略边缘效应， ①写出该流动的耗散函数。
，， ②证明=外力拉动上板的功率
上板受外力＝上板受流体摩擦力＝， 力功率＝，得证。
例题 N—S 方程应用于静止流体 N—S 方程： 1）若流体静止，N—S 方程化成什么形式？ 2）推导阿基米德定律（Archimeder） 答：1）。 若仅受重力这唯一体力，则，即（均质流体）。 2）如图物体浸没在静止流体中，求作用于物体上的合面力。
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起 的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个 速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。
************************************************************************* 3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量可表示为 ，其中是标量，即 。 3－3偏应力张量是对称张量，于是，于是。 另外，由上式还可知。 4分解，于是 如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝0。偏应力 与变形运动相关联。 5将的表达式带入上式，得 最后得到： 其中代表无体积变化的纯剪切运动，代表各向同性膨胀运动。 6Stokes假设 对于不可压缩流体，＝0。对于可压缩流体表示流体发生膨胀或收缩时 引起的法向应力，被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。 Stokes假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为。 7的意义 考虑纯剪切运动，，粘性应力，可知为动力学粘性系数。 8的意义 设流体满足Stokes假设，可以证明
。 方程中各项意义分析： 代表单位体积流体能量变化率； 代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率； 代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率； 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的 能量。 III－2动能方程 将动量方程 两边同时点积得： 。
其中，故有动能定理 。
——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上的质量通量。 由奥高公式得 ，于是有。 考虑到的任意性，故有 ，即
——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）——流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质
流体的不可压缩流动。 2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体 积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体，故有 。 由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
II动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度
II-1方程的导出 1直角坐标系下推导微分形式的动量定理 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻 所占控制体，其边界。 受力分析： 体力合力= 面力合力 于是有， 即。 分量形式： 或写成， 或。
意义：单位体积流体团所受面力的合力。 2积分形式的动量定理的导出 考虑体系，该流体团时刻所占控制体，其边界。由动量定理有 利用输运定理可得。 于是得到积分形式动量定理： 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。
本构方程（广义牛顿公式）的适用范围： 1）大多数液体； 2）非高温、非高频振动的气体； 非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203，23
1） 平板上的切应力，平板所受总阻力。 2） 处流体内摩擦力为0。 例3 吴书p203，22 柱坐标系下应力张量的表达式见p190。 除外，应力张量其他非对角元均为零。 管壁处的切应力，单位长圆管对流体的阻力。
不可压缩流动满足的或是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：
；如为均质不可压缩流动，则。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
则有， 即，其中代表点源百度文库度（单位时间发出的流体体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流 入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。 通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时 的最大速度。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管 壁无渗透故上式可写为：，可得。
作用于球形微团上的法应力的平均值。 So, it’s a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid. 证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 证明： . Since , 或者在球坐标系下， Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it’s a measure of the local intensity of the ‘squeezing’ of the fluid. （关于与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章 节。） 9关于偏应力张量 A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’ tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994)
流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受 力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定 边界条件的近似描述和数学表达。 I质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对 于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换 可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根据输运定理，设时刻该系统 所占控制体为，对应控制面，则有
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
。 III.能量方程 III－1能量方程的推导：时刻流体团所占控制体，其边界，能量平衡 关系式： 时刻 其中 ，代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能） ，为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体 设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为，则 故能量方程积分形式为： 因为 所以得到能量方程微分形式：， 其中。 由于旋转运动张量是反对称张量，而应力张量是对称张量，故有（因是 对称张量） 记。另外，于是有如下形式的能量方程：
II-2地转参照系下的动量方程 就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作 惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球 相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将 来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。 地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速 度，牵连速度（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速 度），为地球自转角速度。 绝对加速度：， 其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。 动量方程： 其中，。 因为真实力与参照系无关，故 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有
与圆管共轴的半径为的单位长流体柱表面的总摩擦力。
V流体力学基本方程组 V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组 内能，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体。 V-2 N-S方程 将代入动量方程即得：，其中。 当流场温度变化不大时，近似为常数，故有 ， 其中 。 最后得到
。 又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程：。 又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：。 V-3耗散函数 耗散函数——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内 能。 其中为压缩功，而为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。 定义耗散函数，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化 成的内能。它可以化成如下形式： 。 可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能， 这个过程不可逆。
例题：拖动上板引起的剪切运动，。设平板面积间距，忽略边缘效应， ①写出该流动的耗散函数。
，， ②证明=外力拉动上板的功率
上板受外力＝上板受流体摩擦力＝， 力功率＝，得证。
例题 N—S 方程应用于静止流体 N—S 方程： 1）若流体静止，N—S 方程化成什么形式？ 2）推导阿基米德定律（Archimeder） 答：1）。 若仅受重力这唯一体力，则，即（均质流体）。 2）如图物体浸没在静止流体中，求作用于物体上的合面力。
考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起 的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个 速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。
************************************************************************* 3－2对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量可表示为 ，其中是标量，即 。 3－3偏应力张量是对称张量，于是，于是。 另外，由上式还可知。 4分解，于是 如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量＝0。偏应力 与变形运动相关联。 5将的表达式带入上式，得 最后得到： 其中代表无体积变化的纯剪切运动，代表各向同性膨胀运动。 6Stokes假设 对于不可压缩流体，＝0。对于可压缩流体表示流体发生膨胀或收缩时 引起的法向应力，被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。 Stokes假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为。 7的意义 考虑纯剪切运动，，粘性应力，可知为动力学粘性系数。 8的意义 设流体满足Stokes假设，可以证明
。 方程中各项意义分析： 代表单位体积流体能量变化率； 代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率； 代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率； 代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的 能量。 III－2动能方程 将动量方程 两边同时点积得： 。
其中，故有动能定理 。
——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上的质量通量。 由奥高公式得 ，于是有。 考虑到的任意性，故有 ，即
——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）——流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质
流体的不可压缩流动。 2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体 积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体，故有 。 由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
II动量方程
流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度
II-1方程的导出 1直角坐标系下推导微分形式的动量定理 时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻 所占控制体，其边界。 受力分析： 体力合力= 面力合力 于是有， 即。 分量形式： 或写成， 或。
意义：单位体积流体团所受面力的合力。 2积分形式的动量定理的导出 考虑体系，该流体团时刻所占控制体，其边界。由动量定理有 利用输运定理可得。 于是得到积分形式动量定理： 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。
本构方程（广义牛顿公式）的适用范围： 1）大多数液体； 2）非高温、非高频振动的气体； 非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。
例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量 例2吴书p203，23
1） 平板上的切应力，平板所受总阻力。 2） 处流体内摩擦力为0。 例3 吴书p203，22 柱坐标系下应力张量的表达式见p190。 除外，应力张量其他非对角元均为零。 管壁处的切应力，单位长圆管对流体的阻力。
不可压缩流动满足的或是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：
；如为均质不可压缩流动，则。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）
则有， 即，其中代表点源百度文库度（单位时间发出的流体体积）。
例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流 入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。 通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时 的最大速度。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管 壁无渗透故上式可写为：，可得。
作用于球形微团上的法应力的平均值。 So, it’s a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid. 证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 证明： . Since , 或者在球坐标系下， Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that it’s a measure of the local intensity of the ‘squeezing’ of the fluid. （关于与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤《流体力学》对应章 节。） 9关于偏应力张量 A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress’ tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994)
流体动力学基本方程
例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受 力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定 边界条件的近似描述和数学表达。 I质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对 于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换 可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根据输运定理，设时刻该系统 所占控制体为，对应控制面，则有
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
。 III.能量方程 III－1能量方程的推导：时刻流体团所占控制体，其边界，能量平衡 关系式： 时刻 其中 ，代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能） ，为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体 设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为，则 故能量方程积分形式为： 因为 所以得到能量方程微分形式：， 其中。 由于旋转运动张量是反对称张量，而应力张量是对称张量，故有（因是 对称张量） 记。另外，于是有如下形式的能量方程：
II-2地转参照系下的动量方程 就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作 惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。
在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球 相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将 来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。 地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速 度，牵连速度（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速 度），为地球自转角速度。 绝对加速度：， 其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。 动量方程： 其中，。 因为真实力与参照系无关，故 一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有
与圆管共轴的半径为的单位长流体柱表面的总摩擦力。
V流体力学基本方程组 V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组 内能，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体。 V-2 N-S方程 将代入动量方程即得：，其中。 当流场温度变化不大时，近似为常数，故有 ， 其中 。 最后得到
。 又，若流体不可压缩，方程化为N—S方程：。 又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：。 V-3耗散函数 耗散函数——单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内 能。 其中为压缩功，而为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。 定义耗散函数，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化 成的内能。它可以化成如下形式： 。 可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能， 这个过程不可逆。