运动学教师版

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3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心l1=1m的A点处时，速度是v1=2cm s⁄。试求蚂蚁继续由A点爬到距巢中心l2=2m的B点需要多少时间？

−t的图像解

解：此题即可用微积分求解，也可画1

v

4.如图所示，高为h的旗杆顶端有一物P，一男孩在离旗杆底端A距离s处的o 点，欲用弹弓射小石子击中物P。已知弹弓射出的小石子初速度为v0，问小石子能击中物P的最小v0值为多少？相应的弹射角（弹射方向的夹角）为多大？

5.如图所示，若抛射体的初速度v0已知，图中y=−h，那么抛射体所能达到的最大

水平射程为多少？（此题还可根据包络线解或者将斜抛分解为匀速和自由落体解）

解：不论抛射角是为多大，到达地面的速率v的大小相同。由能量关

系得到

6.足球运动员在距球门前方s=11m处的罚球点，准确地从球门正中横梁边沿下踢进一球。

横梁边沿离地高度h=2.5m，足球质量为m=0.5kg，空气阻力不计。求运动员至少做多少功？

7.一斜面体两斜面的倾角分别为θ和φ，如图所示。一物体从倾角为θ的斜面底角作斜上抛运动。求为使物体从斜面体的顶角处切过，并若在倾角为φ的斜面底角处，则物体的抛射角α与倾角θ和φ应满足什么关系？（用简单形式写出）。

8.若要使石头在运动过程中始终远离抛石头的人，那么人抛出石头时与地面成的最大角度是多少？

解：如图所示，设投石头的出发点在坐标原点O（即投石人所在位置）石

9. 如图所示，球1和球2均从同一高度水平抛出，起抛点离水平地面的高度为H 。两球的

水平初速度分别为v 1和v 2(v 1

（1）比值v 1

v 2；

（2）杆的位置x p ； （3）杆的高度h 。 解：

10.迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为 h 的小山，迫击炮到山顶的水平距离为a,目标到山的距离为b 。试求为击毁目标， 炮弹必须具有的最小初速度以及发射角。

〖解析〗先讨论当没有山的情况下所有通过目标的轨道。在图标出与炮弹最小初速度相应的轨道。大家知道：这条轨道对应发射角α=π

4。不难确信：位于这条轨道上方或下方的其它

轨道所对应的初速度都要大小这个最小初速度。因此，如果山位于这条轨道的下方，那么上述解答是符合实际的；也就是这条轨道满足题意。如果山高出这条轨道，那么上述所求的轨道要穿过山的顶部，我们必须重新来求出新的轨道，问题就在于此。

现在我们来作定量的讨论。

选择坐标系：追击炮位于坐标的原点，x 轴为水平线，y 轴为竖直线。炮弹的坐标与时间的关系表述如下

11.一盏灯挂在离地面高l2、天花板下面l1处，灯泡突然爆破，所有碎片一同样的速度v朝各个方向飞去。求碎片落在地板的半径（可以认为碎片与天花板的碰撞是完全弹性的，与地板的碰撞是完全非弹性的，碎片碰不到四周的墙）

解：首先假设没有天花板，求这种情况下碎片落在地板上散落点的最大半径

建立坐标系，以悬挂处的灯头位置作为原点（如图所示），碎片与水平面方向成α角飞行，经时间t后落在地板上，则

12.火炮从掩蔽所下向外所发射炮弹，掩蔽所与水平方向成α角，炮位O与掩蔽所顶点P相距l，如图所示。炮弹发射的初速度为v0，试求炮弹的最远射程。

解：以O点为坐标原点，取平行于掩蔽所方向

为x轴方向，垂直于掩蔽所的方向为y轴方向，如

图所示。在此坐标系下，炮弹运动在y方向的初速

度和加速度分别为

若炮弹运行轨道与掩蔽所相切，则相切点A的y坐标值为

13.有一个半径为R的刚性圆环竖直地在刚性水平面上做纯滚动，圆环中心以不变速度v0在圆环平面内水平向前运动。求圆环上与圆心等高的P点的瞬时速度、切向加速度、法向加速度。如图所示

14.质点运动的椭圆方程为

x 2a 2+y 2

b 2

=1 试利用物理方法求A （a ，0）和B （0，b ）两点的曲率半径，如图所示。

15.狐狸以不变速度 v F 沿着直线AB 奔跑，猎犬以不变的速率v D 追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD =L ，如图所示，试求： (1)此时猎犬运动加速度的大小； (2)猎犬追上狐狸的时间。

16.在如图所示的坐标平面xOy 内，原点O处有一质点1，x 轴上坐标为(d，0)的A处有另一质点2。现在2沿如图夹角为α的直线作匀速直线运动，速度为b，同时以速a(a>b)始终向着2运动。求：1、2 相遇时的相遇点P 的坐标。

【解析】由于题中未说明沿直线哪个方向运动，故须讨论.

(1)当速度b向着x轴上方时，以2为参考系，则1的速度，如图所示

17. 有一轮绕定轴以匀角速度ω转动，某一质点自轮心沿着某一根轮辐以匀速v0向轮边运动，如图所示。试求质点的运动情况。

17. 有一轮绕定轴以匀角速度ω转动，某一质点自轮心沿着某一根轮辐以匀速v0向轮边运动，如图所示。试求质点的运动情况。

17. 有一轮绕定轴以匀角速度ω转动，某一质点自轮心沿着某一根轮辐以匀速v0向轮边运动，如图所示。试求质点的运动情况。

【解析】取地面为参考系，质点沿轮辐运动，而轮本身又在

转动，取轮心O 为极点，建立如图所示的极坐标系。在任

一时刻t，质点径向速度和环向速度分别为

18. 兔子沿半径为R的圆形轨道以恒定速率v跑动，在兔子出发的同时，猎狗从圆形轨道圆心O处出发以相同的速率v追求兔子。在追求过程中，圆心O、猎狗和兔子始终在同一直

线上。取圆心O 为坐标原点，从O到兔子初始位置为极轴，

建立极坐标系，如图所示。试求：

(1)推导猎狗的速度vρ，vφ加速度aρ，aφ与猎狗所在位置

参量ρ，φ之间的关系；

(2)确定猎狗运动轨道的极坐标方程，并画出轨道曲线；

(3)分析猎狗能否追上兔子

解析（1）兔子做圆周运动的角速度为