数列的极限、数学归纳法

数列的极限、数学归纳法

一、知识要点 （一） 数列的极限

1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作

A a n n =∞

→lim .

2.运算法则：若lim n n a →∞

、lim n n b →∞

存在，则有

lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

⋅=⋅

)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞

→∞→∞→n n n n n

n n

n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩

⎪⎨⎧-=>=<=∞

→)11()

1(1)

1(0lim a a a a a n

n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、

p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()

(0)()(lim q p q p b a q p n g n f q

p

n 不存在

4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1

1a S q

=

- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞

= （当lim n n S →∞

存在时）

（二）数学归纳法

数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。

②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。

二、例题（数学的极限）

例1.（1）∞→n lim 1

1

2322+++n n n = ;

（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim

=3,则122lim n

n n

a a a n

b →∞+++=

（3）∞→n lim n

n a a +-+211

(a>1)= ;

（4）2

2

2

1321lim(

)1

1

1

n n n n n →∞

-+

++

+++= ;

（5）)2(lim 2

n n n n -+∞

→= ;

（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则n

n

n a a a a a a 24221lim

++++++∞→ = ;

例2．将无限循环小数∙

∙21.0；1.32∙

∙2

1化为分数.

例3．已知1)1

1

(

lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞

→n lim (2a n +b n )=1, ∞

→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否

存在，说明理由并求∞

→n lim (a n b n )的值.

例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim(

)n n n A S n

→∞

-=a,求r 的值.

例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1

(1,2,)n n S n S +=,

求n n T ∞

→lim .

例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2

─c n x+n )3

1(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…

c n , …的各项和.

例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

例9．如图，B 1，B 2，…，B n ,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A 1，A 2，…，A n …顺次为ox 轴上的点，且三角形OB 1A 1，三角形A 1B 2A 2，三角形A n─1B n A n 为等腰三角形（其中∠ B n 为直角),如果A n 的坐标为(x n ,0). (1)求出A n 的横坐标的表达式; (2)求|

||

|lim 11n n n n n A A A A -+∞→.

二．例题（数学归纳法）

例1．用数学归纳法证明2n

>n 2

(n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ; 例2．用数学归纳法证明)1,(,1

21

31211>∈<-++++

n N n n n ,第一步验证不等式 成立；

例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22

＋2·32

＋……＋n(n ＋1)2

＝12

)

1(+n n (an 2

＋bn ＋c)

对一切自然数n 成立？并证明你的结论.(89年) 例 4.已知数列{a n }=n

1

31211++++ ,记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,用数学归纳法证明S n =(n+1)a n -n. 例5．证明：n 2

131211++++

>

22

+n (n ∈N,n ≥2) 例6．证明：x n

─na n─1

x+(n─1)a n 能被(x─a)2

整除(a ≠0).

例7.在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 使这2+n 个数成等差数列．记

n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,．

（Ⅰ）求数列{}n A 和{}n B 的通项；（Ⅱ）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．