20.用向量法求空间距离
向量法求空间角及距离
用向量方法求空间角和距离空间角和距离是最基本的两个几何量，空间图形中各元素的位置关系都可以用这两个几何量来定量地描述，因此，有关空间角和距离的计算，是立体几何的一类重要问题，是历年来高考考查的重点，本文运用向量方法简捷地解决这些方法。
一． 求空间角问题 1． 求异面直线的夹角设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量，则由向量的数量积可知，异面直线,a b 的夹角由||cos ||||a b a b θ•=得出。
【例1】 在三棱锥S ABC -中，90,2SAB SAC ACBAC ∠=∠=∠==，BC SB ==① 证明：SC BC ⊥② 求异面直线SC AB α与所成角的余弦值。
（2002年高考题）解析： ① 由题意得：()SC CB SA AC CB •=+•0SA CB AC CB =•+•=故：SC BC ⊥③ 由()()SC AB SA AC AC CB •=+•+2||4AC ==||17,||23,||4,AB SA SC ===故:||17cos 17||||SC AB SC AB α•==⋅ 【例2】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1P DD 是的中点，,,O M N 分别是面1111A B C D ，11,BB C C ABCD 的 中心，求异面直线PN OM 和所成的角.SABC解析： 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，取正方体的棱长为2， 则(0,0,1),(1,1,0),(1,2,1),(1,1,2)P N M O由(1,1,1)(0,1,1)2PN OM •=-•-=||||3PN OM ⋅=⋅= 故PN OM θ与所成的角满足||6cos 3||||PN OM PN OM θ•==⋅，即θ= 2． 求二面角如图，设12,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的一个法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，法向量12,n n 的夹角为θ，就是二面角l αβ--的平面角：1212cos ,||||n n n n θ•=⋅据此，只要求得二面角两个半平面的异侧法向量，即可得到二面角的平面角。
用向量法求空间距离
用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、 求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、 求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、 求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。
利用法向量求解空间距离
空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线a b ，的公垂线的方向向量为n， 这时分别在a b ，上任取A B ，两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a b，的距离． 则n |AB n |d |AB ||n ||n |⋅=⋅=即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．法二：空间向量法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为ϕ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有ne n e ⋅⋅==θϕcos sin ． （2）点到平面的距离A 为平面α外一点(如图)，n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．=|AB n||AB n||AH ||AB |sin |AB ||cos AB,n ||AB |AB n n θ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅ |AB n |d |n |⋅=【小结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值．距离问题1.在直三棱柱111C B A ABC -中，21=AA ，1==BC AC ，∠ACB =90°，求B 1到面BC A 1的距离．2. 如图,已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1A =5,AB =12,则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是3．如图所示，在直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB =90°,则点D 到平面ACE 的距离d 为4. 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC =BC =1,AA 1=3,∠ACB =90°,D 为CC 1上的点,二面角1A A B D --的余弦值为36-. （1）求证:CD =2;（2）求点A 到平面1A BD 的距离.5.在三棱锥ABC S -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，32==SC SA ，M ，N 分别为AB ，SB 的中点，如图所示．求点B 到平面CMN 的距离．6.如图示，在三棱锥ABC P -中，2==BC AC ，︒=∠90ACB ，AP=BP=AB ，PC ⊥AC ．（1）求证：PC ⊥AB ；（2）求二面角B -AP -C 的余弦值；（3）求点C 到平面APB 的距离．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，5,1,2,PB PD AB AP Q ====是CD 中点．（1）求点C 到平面BPQ 的距离；（2）求二面角A PQ B --的余弦值．8.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是( )9．如图所求，已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点．求：（1）PM 与FQ 所成的角；（2）P 点到平面EFB 的距离；（3）异面直线PM 与FQ 的距离．。
用向量法求空间距离
ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。
再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。
一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。
[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。
图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。
向量法求空间距离
向量法求空间距离（教师用）淄博五中 孙爱梅一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.二．难点：异面直线及点面距离求法.三．知识点及例题【知识点一】 两点的距离公式应用空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.【知识点二】通过向量求空间线段的长.｜a →｜＝a →2〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12＝68，∴｜CD →｜＝217.注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.【知识点三】求点到平面距离｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一→.〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E的距离.解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），D 1A →＝（2，0，0），D 1E →＝（2，2，1）.设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，ACA 1（0，0，1），C 1（0，1，1），A 1C 1→＝（0，1，0），B 1（1，0，1），C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），且A 1B 1→＝（1，0，0），设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，则n →·A 1C 1→＝0，n →·B1C →＝0⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.课堂测试1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．1443、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.1、如图，建立空间直角坐标系D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
高考专题向量法求空间距离
高考专题：向量法求空间的距离基础知识梳理(1)点到平面的距离(如图1)：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(2)异面直线的距离(如图2)：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅(3)线到平面的距离(如图3)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.(4)平面到平面的距离(如图4)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||n n MP ⋅.图1nPM αb a图2n PMlαMPn图3β图4nPM αl典型例题剖析例1：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求异面直线1AA 与1BD 的距离。
变式：如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求面对角线C B 1与体对角线1BD 的距离。
例2：在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． 求1B 到面EFBD 的距离ABCD1A 1B 1C 1D ABCD1A 1B 1C 1D变式：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b.(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．例3：三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式总结
空间向量距离公式是数学中常用的一个重要公式，它可以用来衡量空间中两个点之间的距离。
这个公式是在空间几何学中经常使用的，主要用来测量任意两点之间的距离，计算空间点之间距离的公式是： d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1)]
这个距离公式中的变量分别是x、y、z，用来表示空间中的三个维度。
由于空间中的维度是固定的，所以空间向量距离公式也是固定的，可以用来表示任意两点之间的距离。
以上这个公式是专门用来计算二维空间中点之间的距离的，而三维空间中的点之间的距离计算公式则会有所不同，具体如下：
d=√[(x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) + (t2-t1)]
这是三维空间中计算两点之间距离的公式，其中的t则表示时间的维度，也就是说在三维空间中需要测量的四个量的距离。
可以看到，三维空间中的距离公式是二维空间中的距离公式的一般化，它是在时间的维度上对原来的距离公式做了一个补充，以此来计算三维空间中任意两点之间的距离。
有了上面距离公式的处理，我们可以使用这些公式来解决很多空间几何学问题，比如计算平面图形的周长、面积等。
同时，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，比如地理信息系统中使用距离公式计算不同的小区之间的距离，以此来规划交通路线，更好地改善交通状况。
至此，本文总结了空间向量距离公式，这个距离公式可以用来衡
量空间中两个点之间的距离，主要有二维空间中和三维空间中的距离公式，这两个公式都可以用来计算任意两点之间的距离。
此外，空间向量距离公式还可以应用到实际的工程中，用来解决路径规划等问题。
本文围绕空间向量距离公式的基本原理和应用，作了一个详细的总结，希望能够对读者有所帮助。
向量法求解空间距离与空间角
向量法求解空间距离与空间角要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。
一、 空间向量与空间距离由向量的数量积||||cos AB b AB b θ⋅=⋅可知，向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是||cos ||AB b AB b θ⋅=，也就是说向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是线段AB 在直线l 上射影线段的长。
1、 点面距离公式：平面α的法向量为n ，P 是平面α外一点，点M 为平面α内任一点，则P 到平面α的距离d 就是MP在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
2、 线面距离公式： 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，P ∈直线l ，点M 为平面α内一点，则直线l 与平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
3、 面面距离公式：平面α∥平面β，平面α的法向量为n，点M 为平面α内一点，点P 为β平面β内一点，则平面α与平面β的距离d就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。
4、向量法求解距离问题的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
5、典例评析： 例1、（03广东）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，点E 是CC 1的中点，F 是BD 1中点。
（1）证明：EF 是BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离。
二、 空间向量与空间的角 1、 异面直线所成的角：异面直线a 、b 的方向向量分别为m 、n，其向量的夹角为θ，直线a 、b 的所成的角为α，(0,]2πα∈，则||cos |cos |||||m n m n αθ⋅== ，即||cos ||||m n arc m n α⋅=。
向量法求空间距离教案
一、教案基本信息1. 向量法求空间距离教案2. 适用课程：高等数学、空间解析几何等3. 教学目标：让学生掌握向量法求空间两点间的距离公式培养学生运用向量知识解决实际问题的能力提高学生对空间几何概念的理解和运用二、教学内容及课时安排1. 第一课时：向量法求空间两点间的距离公式介绍向量的概念回顾空间直角坐标系介绍两点间的向量表示距离公式的推导2. 第二课时：向量法求空间距离的例题讲解与练习利用距离公式解决简单问题引导学生运用向量法解决实际问题课堂练习与讨论3. 第三课时：向量法求空间距离在实际问题中的应用利用向量法求空间直线、平面与其他几何体的距离引导学生运用向量法解决实际工程问题课堂练习与讨论4. 第四课时：向量法求空间距离的拓展与应用空间向量的其他运算向量法在空间解析几何中的应用课堂练习与讨论5. 第五课时：总结与复习回顾本节课的主要内容巩固向量法求空间距离的知识点布置课后作业三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2. 利用多媒体课件、黑板、模型等教学手段，直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的过程。
四、教学评价1. 课后作业：检查学生对向量法求空间距离公式的掌握程度。
2. 课堂练习：观察学生在实际问题中运用向量法的熟练程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高解决问题的能力。
五、教学资源1. 教材：高等数学、空间解析几何等相关教材。
2. 多媒体课件：展示空间几何图形，直观地呈现向量法求距离的过程。
3. 模型：用于直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的概念。
4. 课后作业：提供一定数量的练习题，巩固学生对向量法求空间距离的掌握程度。
六、教学过程设计导入新课通过一个实际问题引入：在空间中，如何计算两点之间的距离？回顾已学的传统方法（如坐标差求和后开方），并提出向量方法作为一种更一般的解决方案。
探究新知介绍向量表示两点间的距离，即使用坐标表示的向量差来求距离。
用向量方法求空间角和距离
用向量方法求空间角和距离向量方法是利用向量的性质和运算，来求解空间角和距离的方法。
在几何学中，向量可以用来表示位置、方向和大小，因此可以通过向量的定义和运算来求解空间角和距离。
一、空间角的求解空间角是指两个平面或者两个直线之间的夹角。
我们可以通过向量的点积来求解空间角。
对于两个平面，可以先求出它们的法向量，然后计算法向量的夹角即可得到空间角。
设两个平面的法向量分别为n1和n2，则它们的夹角θ为：θ = arccos((n1·n2) / (，n1，n2，))其中，·表示向量的点积，n1，和，n2，分别表示向量n1和n2的模。
对于两个直线，可以先求出它们的方向向量，然后计算方向向量的夹角即可得到空间角。
设两个直线的方向向量分别为u和v，则它们的夹角θ为：θ = arccos((u·v) / (，u，v，))其中，·表示向量的点积，u，和，v，分别表示向量u和v的模。
二、距离的求解距离是指空间中两个点之间的长度。
我们可以通过向量的运算来求解空间中两点之间的距离。
设空间中两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离d为：d=，AB，=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中，AB，表示向量AB的模，即两点之间的距离。
通过向量方法求解空间角和距离的步骤如下：1.对于求解空间角，先计算出两个平面或者两个直线的法向量或方向向量。
2.根据向量的点积定义，计算法向量或方向向量的点积。
3.根据向量的模定义，计算法向量或方向向量的模。
4.将点积和模代入空间角的计算公式，求解空间角。
5.对于求解距离，先计算出两个点的坐标。
6.根据向量的运算规则，计算两个坐标点之间的差向量。
7.根据向量的模定义，计算差向量的模，即两个点之间的距离。
通过向量方法求解空间角和距离的优点是简单、直观，并且适用于各种空间问题。
向量法求空间的距离问题
又PA 平面EDB，EG 平面EDB PA // 平面EDB
x
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 解：因为PD 平面ABCD，所以PD是平面ABCD的法向量。
由(1)知D(0， 0) P(0，1) 0，， 0，， 1 1 B(11，，E (0， ， ) ，0) 2 2 1 1 PD (0， 1)， (1， ， ) 0， EB 2 2
S z
A B x C
D y
练习2:
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d PA n n
x D
F A
C
E
y
B
练习3:
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 z 平面AMN与平面EFDB的距离。
P F
D A
E
C B
作业：如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
二面角 A-PB-C 的余弦值为
3 3
2、点与直线的距离：
P
(先求 cos AP, a )
A
O
l
a
例1：在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，E、F分别是BB1，
用向量法求空间距离
β
B
异面直线的距离
求异面直线的距离，我们同样是找它们的公垂线段 公垂线段那么难找，难证，难求，我们能不能从另一个 角度去求解呢？
在前几节课我们学习了空间向量，课本把 空间向量放在立体几何来学习，一定是因为空 间向量可以解决立体几何中的问题，那么，今 天我们一起来研究，能不能用空间向量的方法 用空间向量的方法 来求解上节课我们所学习的距离问题 距离问题
A B x
C
z S 3a
A(0, 0, 0), B (a, 3a, 0) C (0, 2 3a, 0), S (0, 0,3a )
A B x x
C
接下来我们要求面SBC的法向量了 y
uur uuu r SB = (a, 3a, −3a ), SC = (0, 2 3a, −3a) r r uur r uuu r n = ( x, y, z ), n ⊥ SB, n ⊥ SC ax + 3ay − 3az = 0, 2 3ay − 3az = 0
例题1：四面体SABC中，三角形ABC是等腰三角形， AB=BC=2a，SA=3a，角ABC为120度角，SA垂直面ABC， 求点A到面SBC的距离
z S 分析：我们首先要建立空间直角坐标 系，建立坐标系，要使各个点的坐标 简捷化，我们一般是观察有没有线面 垂直的情况，有的话，那条线一般标 为z轴，把面放在xoy的平面上，那么， 请同学们思考，这道题应该怎么样来 y 建立空间直角坐标系呢？ 以SA所在直线为z轴，以A为坐标原点建系 接下来我们就来写出各点的坐标
可是
uuu uuur r AP, PH
P
uuu r uuur 怎么求呢？ AP 可以求解，可是 PH 呢？
uuur 我们发现，PH 垂直平面ABCD， 我们可以理解成面ABCD的法向量
空间向量距离公式
空间向量距离公式空间向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x1,y1,z1)，另一个向量可以表示为(x2,y2,z2)。
我们可以将这两个向量看作两个点在三维空间中的坐标位置，计算它们之间的距离。
在计算向量距离之前，我们首先需要了解两个向量之间的距离是如何定义的。
在欧几里得空间中，向量距离被定义为两个向量之间的长度，可以通过计算它们之间的欧几里得范数或者称为L2范数得到。
L2范数计算公式如下：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中，d表示向量之间的距离，x1,y1,z1表示第一个向量的坐标，x2,y2,z2表示第二个向量的坐标。
这个公式可以理解为首先计算两个向量在每个维度上的差值，然后对每个维度差值的平方进行求和，最后开平方得到欧几里得范数，即向量距离。
值得注意的是，欧几里得范数是向量距离的一种常见计算方式，适用于大部分情况。
然而，在一些特殊的情况下，我们可能需要使用其他的范数来计算向量距离。
例如，当我们需要更加关注向量中的最大差值时，可以使用L∞范数（也称为切比雪夫距离）来计算向量距离，其计算公式如下：d = max(，x2-x1，, ，y2-y1，, ，z2-z1，)其中，d表示向量之间的距离，x1,y1,z1表示第一个向量的坐标，x2,y2,z2表示第二个向量的坐标。
L∞范数的计算方式是取两个向量在各个维度上差值的绝对值的最大值。
这种距离计算方式适用于需要关注向量差异中的最大差值的应用场景。
总结来说，空间向量的距离公式可以根据计算需求和应用场景选择不同的范数进行计算。
在大部分情况下，欧几里得范数是一种常见且广泛适用的距离计算方式，可以通过计算向量差值的平方和再开平方得到。
而当需要关注向量差异中的最大差值时，可以使用L∞范数来计算向量距离。
利用空间向量求空间距离问题
1、已知直线 l,点 A 为直线 l 上一点，点 P 直 线外的一点， n 为直线 l 的方向向量，则点
P到直线 l 的距离为：
h
|
AP
|2
d
2
| AP n |
P （其中d
）
|n|
h
A
α
d
Hl
2、已知平面α,点 A 为 平面α上的一点，点 P 平面α外的一点， n 为平面α的法向量，
则点 P到平面α的距离为：
| AP n |
h
P
|n|
h
A
Hl
α
二、考点突破
【例题 1】在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E 为线段
D1
A1B1 的中点，F 为线段 AB 的中点．
A1 E
(1)求点 B 到直线 AC1 的距离；
D
(2)求直线 FC 到平面 AEC1 的距离． A F
C1 B1C B源自【练习 1】如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB＝1CD＝1， 2
E 为 PC 的中点，若 AB⊥平面 PBC，△PBC 是边长为 2 的正三
角形，求点 E 到平面 PAD 的距离．
三、课堂总结
四、作业布置
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三、求直线到平面的距离 同样原理可以得到直线到平面的距离、 平行平面间的距离公式．在公式d=
| n AB | 中，n为已知平面的法向量， |n| A 、B 分别为直线和平面上的任意点(如图)．
【例3】 如图所示，已知边长为4 2 的正三角形A B C 中，E 、F 分别为 B C 和A C 的中点，P A ⊥平面A B C ， 且P A =2，设平面α过P F 且与A E 平行， 求A E 与平面α的距离．
2 6y|e2|2＝0， ⇒ 2 2 2 － 2 x | e | ＋ 6 y | e | ＋ 2| e | ＝0 1 2 3 2 x＝ ， 2 y＝0. 2 故n＝ e1＋e3. 2 所以直线A E 与平面α的距离为
| n AP | |n| 2e1 ( 2 e1 e3 ) 2
解析 如图建立空间直角坐标系，则 B （0 ，4 ，
0），E （2，4，0），F （4，2，0）， G （0,0,2）, EF =（2，-2，0），
GE Байду номын сангаас（2，4，-2），BE =（2,0，0）.
设平面E F G 的一个法向量是n= (x,y,1),
( x, y,1) (2,2,0) 0 则由n EF , n GE得 ( x, y,1) (2,4,2) 0 1 x , x y 0 1 1 3 所以n ( , ,1). 3 3 x 2 y 1 y 1 . 3 n BE 2 11 则点B到平面GEF的距离为d . |n| 11
点评
用平面法向量的方法求空间距离时，避免了
繁琐的推理论证，只要进行向量运算即可，能收到 化隐为显、化难为易的功效.
返回
且n DA1 , n AC, ( x, y,1) (1,0,1) 0, x 1. 则 ( x, y,1) (1,1,0) 0 y 1 n (1,1,1). 所以异面直线 DA1与AC的距离为 d | n DA | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 . |n| | (1,1,1) | 3
【例2】 解析
已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， 如图建立空间直角坐标系，
求异面直线DA1与AC的距离.
则A（1，0，0），C（0，1，0）， B1（1，1，1），A1（1，0，1），
AC (1,1,0), DA ,0,1), DA (1,0,0).设向量n ( x, y,1), 1 (1
2
⇒
d
2 e1 | e3 |2 2
2 3 . 3
四、求两平行平面间的距离 如图，在公式 d
| n AB | 中， |n|
n为两平行平面的一个法向量， A 、B 分别为两平面上的任意点． 【例4】 已知正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1
的棱长为1，求平面A B 1C 与平面A 1C 1D 间的距离．
二、求异面直线间的距离 如图，若C D 是异面直线a、b的公 垂线，A 、B 分别为a、b上的任意点， 令向量n⊥a，n⊥b，则n∥C D .
由AB AC CD DB, 得 AB n AC n CD n DB n AB n CD n,| AB n || CD || n | . n AB 异面直线a、 b 间的距离为d | CD | . |n|
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用向量法求空间距离
对于立体几何中的距离问题，应用向量往往可以 轻松地找到解决问题的突破口，简化求解过程，方 便易行．下面就通过例题来讨论用向量法解决立体 几何中求点到平面的距离、异面直线间的距离、直 线到平面的距离、平行平面间的距离等问题．
一、求点到平面的距离 如图所示，已知点B （x0,y0,z0）， 平面α内一点A （x1,y1,z1），平 面α的一个法向量n，由数量积的
(x，y，1)·(1，0，1)＝0 ⇒ (x，y，1)·(0，1，1)＝0 x＝－1， ⇒ y＝－1.
x＋1＝0 ⇒ y＋1＝0
故n＝(－1，－1,1)，所以平面A B 1C 与平面A 1C 1D 间
| n AD | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 的距离为d . 2 2 2 |n| 3 (1) (1) 1
2e1 6e2 2e3 设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，
则n AE, n PF, 所以
n AE 0 ( xe1 ye2 e3 ) 2 6e2 0, ( xe1 ye2 e3 ) (2e1 6e2 2e3 ) 0 n PF 0
n AB | n || AB | cos , 其中 n, AB , 定义知：
则 | AB | cos | n AB | 即d . |n| n AB , 所以 || AB | cos | 就是B到平面的距离d , |n|
【例 1】已知正方形 A B C D 的边长为 4，C G ⊥平面 A B C D ，C G =2，E 、F 分别是 A B 、A D 的中点，求 点 B 到平面 G E F 的距离.
解析 建立如图所示的空间直角坐标 系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)， C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．
设平面A 1C 1D 的一个法向量为
n DA1 0 n ( x, y,1),则 n DC1 0
解析 设 AP 、AE 、 EC上单位向量分别为 e1 、 e2 、 e3 , 选取{e1 , e2 ,
e3}作为空间向量的一组基底，可得e1·e2＝e2·e3＝e3·e1 ＝0，且 AP 2e1 , AE 2 6e2 , EC 2 2e3 .
1 1 则 AF PA AF PA AC PA ( AE EC ) 2 2