河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学(理)(wd无答案)
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期开学测试数学(理)(解析版)
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期开学测试数学（理）一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 2．已知a R ∈，若复数11aiai+-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．±1D ．2±【答案】C【解析】对复数的分子分母都乘以分母的共轭复数，再根据复数为纯虚数进行运算. 【详解】∵()()()()22212111111a ai ai aiai ai ai a-+++==--++， 又∵复数为纯虚数，∴210a -=， 解得1a =±， 故选：C. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.3．将函数 sin()4y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（ ） A ．5sin()224x y π=-B ．sin()23x y π=- C ．5sin()212x y π=- D ．7sin(2)12y x π=- 【答案】B【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选B ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.4．已知向量()3,2a =，()2,3b =，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．()()a b a b -⊥+C ．//a bD ．()()//a b a b -+【答案】B【解析】利用向量的加、减法的坐标运算公式、向量平行、垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为120a b ⋅=≠，则a ，b 不垂直，A 错误；又因为()()220a b a b a b -⋅+=-=，所以()()a b a b -⊥+，B 正确，D 错误；a ，b 显然不平行，C 错误.故选：B . 【点睛】本题考查向量的坐标运算及向量平行、垂直的坐标运算，较简单.5．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤【答案】B 【解析】用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．6．在[]1,1-上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交”发生的概率为（ ） A ．12B ．513C ．512D ．34【答案】C【解析】通过直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交，计算直线斜率55,1212k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，再根据几何概型求出概率. 【详解】直线y kx =与圆22(x 13)25y -+=相交555,1212d k ⎛⎫=<⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时与圆相交，故所求概率10512212P ==. 故答案选C 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，几何概型求概率，意在考查学生的计算能力. 7．对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是（ ） A ．m n ⊥，m ∥α，n ∥β B ．m n ⊥，m αβ=，n ⊂αC ．//m n ，n β⊥，m α⊂D ．//m n ，m α⊥，n β⊥【解析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案. 【详解】A 选项中，根据m n ⊥，m ∥α，n ∥β，得到αβ⊥或α∥β，所以A 错误；B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n ⊂α，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到α∥β，所以D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题. 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解. 【详解】函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为2±，故排除AD ， 且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ， 即只有B 选项符合要求，【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题. 9．冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i=（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】根据循环结构程序框架图依次进行计算，即可得到答案.【详解】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z∈，1422S=⨯=，314i=+=，1S≠；第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =； 此时输出5i =. 故选：B 【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =22所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．设m R ∈，实数,x y 满足,{2360,3260.y m x y x y ≥-+≥--≤，若218x y +≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．33m -≤≤ B ．66-≤≤mC ．36m -≤≤D ．60m -≤≤【答案】C 【解析】【详解】由题意得可行域所围成的三角形必在两平行直线218,218x y x y +=+=- 之间，由236=0326=0x y x y -+⎧⎨--⎩，解得(6,6)A ，由236=0218x y x y -+⎧⎨+=-⎩，解得15(,3)2B --，由图可知，实数m 的取值范围是36m -≤≤. 故选：C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 12．已知函数()3log,03πcos,393x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x，2x，3x，4x，当1234x x x x<<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x===，则1234x x x x⋅⋅⋅的取值范围是（）A．297,4⎛⎫⎪⎝⎭B．13521,4⎛⎫⎪⎝⎭C．[)27,30D．13527,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】作出()f x的图象，由图象可知3132log logx x=，则可得出121x x⋅=，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412x x+=，且393,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()12343312x x x x x x⋅⋅⋅=-，利用二次函数的性质求出其值域即可.【详解】作出函数()f x的图象如图所示，可以发现3132log logx x=，即3132log logx x-=，所以()3132312log log log0x x x x+=⋅=，121x x⋅=.由余弦函数的图象可知，()f x在[]3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412x x+=，且393,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此1234x x x x ⋅⋅⋅变形为()()()223333331212636g x x x x x x =-=-+=--+，所以当33x =时，()3min 27g x =；当392x =时，()3max 1354g x =. 所以1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数与方程思想的运用，难度一般,准确画出函数的图象是关键.二、填空题13．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的r 值，代入求常数项. 【详解】展开式的通项公式是()626123166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 当1230r -=时，4r =24416260T C +=⋅=.故答案为60 【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型. 14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin sin sin 2sin sin a A b B c CC a B+-=，则C 的大小为______.【答案】π4. 【解析】根据正弦定理边角互化，得到2222sin a b c C ab+-=，再根据余弦定理，计算求得角C 的大小. 【详解】由sin sin sin 2sin sin a A b B c C C a B +-=及正弦定理得2222sin a b c C ab +-=，所以2cos 2sin ab C C ab=，即cos sin C C =，因为0πC <<，所以π4C =.故答案为：4π【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型. 15．已知直线:l y kx t =+与圆：22(1)1x y ++=相切且与抛物线2:4C x y =交于不同的两点,,M N 则实数t 的取值范围是_____ 【答案】0t >或3t <-【解析】2212k t t =⇒=+.又把直线方程代入抛物线方程并整理得2440x kx t --=，于是由22161616(2)160k t t t t ∆=+=++>，得0t >或3t <-.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、直线和抛物线的位置关系.16．若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是______. 【答案】[)1,+∞.【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果. 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点()22，即是A ，B 的中点， ∴4m n +=， ∴()111 2141114m n m n n n mm n m ⎛⎫+=⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭++≥，当2m n ==等号成立， 故11m n+的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题主要考查函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值，考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系，属于中档题.三、解答题 17．已知点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()2n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若()1log n a n b a +=-，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）3,121,22nn n a n ⎧-=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）352n n n T +=-. 【解析】（1）将点11,2⎛⎫⎪⎝⎭代入解出a ，然后利用()-12n n n a S S n =-≥求解； （2）将1n a +的表达式代入()1log n a n b a +=-，得到n b 的表达式，然后利用错位相减法求{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】解：（1）把点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数()()0,1x f x a a a =>≠得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的前n 项和满足()1222nn S f n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当1n =时，1132a s ==-；当2n ≥时，11111222n n nn n n a S S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3,121,22nn n a n ⎧-=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）由12a =，()1log n a n b a +=-得1n b n =+，所以 ()23311123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()3411311134122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②由①-②得：()34133111112242222n nn T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---++⋅⋅⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()1113515222n nn n n T n -+⎛⎫⎛⎫=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，难度一般. 18．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X65 70 75 80()P X127 2949 82712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=.（1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥；（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（214. 【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出,PN AM ，然后计算⋅PN AM ，进行判断可得结果.（2）分别计算平面ABC ，平面PMN 的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】以点A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)M ，(1,1,0)N .（1）()11111A P PB A B A P λλ==-，1112(2,0,0),0,0111λλλλλλ⎛⎫∴=== ⎪+++⎝⎭A P AB ， 1122(0,0,2),0,0,0,211λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭AP AA A P ，21(1,1,0),0,2,1,211λλλλ-⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭PN AN AP .(0,2,1)=AM ，0220AM PN ∴⋅=+-=，因此，无论λ取何值，AM PN ⊥；（2）当1λ=时，(1,0,2)P ，(0,1,2)=-PN ，(1,2,1)=--PM ，平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =， 设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2020m PM x y z m PN y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-=⎩，令1z =，得3,2x y ==，则(3,2,1)=m ，设α为平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则||14cos ||||14α⋅==⋅m n m n .因此，平面PMN 与平面ABC所成二面角的余弦值是14. 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，重在计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>四个顶点中的三个是边长为形的顶点.（1）求椭圆E 的方程：（2）设直线y kx m =+与圆O ：22223bx y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意可得3a b，再根据边长为,a b 的值便可解出椭圆的标准方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，先根据直线y kx m =+与圆22223bx y +=相切，利用点到线距离公式得到()2221m k=+，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式得到MN 关于k 与m 的表达式，将()2221m k =+代入得到关于k 的表达式，然后设法求最值. 【详解】解：（1）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， ∴3ab，b =∴ 3a =，b =E ：22193x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，因为圆O ：222x y +=，因为直线y kx m =+与圆O ：222x y +=相切， 所以点O 到直线y kx m =+=，即()2221m k =+.联立方程22193x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222136330k x kmx m +++-=，设，则122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-⋅=+，故MN ==()()222122712132k k k ⎡⎤+++⎣⎦=≤=+.当且仅当222271k k +=+即215k =时等号成立.所以弦长MN . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆相交时弦长的最值问题，难度较大.解答时，利用韦达定理表示弦长的表达式是关键，然后利用基本不等式、函数等方法求其最值. 21．已知函数()(sin cos )e x f x x x x =+-，()'f x 为()f x 的导函数． （1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间； （2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-． 【答案】（1）()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，；单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z ；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意，求得()(),g x g x '，解三角不等式则问题得解；（2）构造函数()()1h x f x x =+-，通过二次求导，判断()h x 的单调性，即可求得()h x 的最小值，则问题得解. 【详解】（1）由已知，()(1cos sin )e (sin cos )e (12sin )e x x x f x x x x x x x x '=++++-=++，所以()()()(1sin cos )e x g x f x f x x x '=-=++，()(12cos )e xg x x '=+，令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得2π2π2π2π,33k x k k -+<<+∈Z ， 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得2π4π2π2π,33k x k k +<<+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，；单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z . （2）要证()1f x x ≥-，只需证：0()1f x x +-≥．设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )e 1xh x f x x x ''=-=++-．记()()(12sin )e 1x t x h x x x '==++-，则()(22sin 2cos )e xt x x x x '=+++．当[0,π]x ∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '； 当(π,)x ∈+∞时，πx >，2sin 2x ≥-，所以2sin π20x x +>->， 又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '． 综上，当0x ≥时，()0t x '恒成立， 所以()t x 在[0,)+∞上单调递增．所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥， 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕． 【点睛】本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）若点(,)P x y 在直线l 上，且23x y x y--=+，求直线l 的斜率；（2）若4πα=，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）12-；（2）12+. 【解析】（1）根据直线的参数方程，设出点P 的坐标，代入直线方程并化简，即可求得tan α，即为直线l 的斜率；（2）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值. 【详解】（1）设点(1cos ,1sin )P t t αα+-+，则2cos sin cos sin 3cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα----===+++，整理可得2sin cos αα=-，即1tan 2α=-，∴直线l 的斜率为12-. （2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=，化成普通方程可得222x y y +=，即22(1)1y x +-=，曲线C 表示圆心为(0,1)C ，半径为1的圆， 直线l 的参数方程化成普通方程可得20x y --=，圆心C 到直线l 的距离为2d ==，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题.23．已知()12f x x ax a =---（其中a R ∈）. （1）若1a =，求不等式()1f x <的解集；（2）若不等式()4f x x ≥-对[)2,8x ∀∈恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|2x x <（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将1a =代入函数解析式，由不等式可知121x x ---<，对x 分类讨论去绝对值，即可解不等式.（2）将()f x 解析式代入不等式，根据[)2,8x ∈去绝对值化简，讨论2x =与()2,8x ∈两种情况.分离参数a ，结合恒成立问题解法即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()12f x x ax a =---，当1a =时，代入可得()12f x x x =---； 此时()1f x <化为121x x ---<.当1x ≤时，不等式化为()()121x x --+-<， ∴可得11-<，即1x ≤；当12x <<时，不等式化为()()121x x -+-<， ∴2x <，即12x <<；当2x ≥时，不等式化为()()121x x ---<，解得为∅； 综上，()1f x <的解集为{}|2x x <.（2）当28x ≤<时，()1(2)f x x a x =---， 由()4f x x ≥-可得1(2)4x a x x ---≥-， 当2x =时，不等式显然成立，当28x <<时，可得32a x ≤-，而当()2,8x ∈时，3122x >-， 故只需12a ≤，即1122a -≤≤，∴a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了分类讨论解含绝对值的不等式，不等式恒成立问题的证明，属于中档题.。
河南省郑州市2021届高三一模理科数学试题(含答案解析)
2021年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A = QI |z|V2}, 8={ - 2, — 1,0,1,2},则4[13 =A. {-1,0}B. {0,1}C. {-1,0,1） D, {-2,-1,0,1,2} 2 .设第数z 满足告=3则|司=A. iB. -iC. 1D.V2 3 .巳知P 为抛物线《：丁 = 2"；（立＞0）上一点，点P 到C 的焦点的距离为9,到y 轴的距因为6,则p= A. 3B. 6C.9D. 12 4 .设为单位向量，且|o-b|=l ，则1。
+ 2"=A. 3 B,V3 C.7 D.V7 5 .调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼 状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是注：90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生，8。
前指1979年及以 前出生.90后从事互联网行业岗位分布图 17%涧 12.3% I 9.8% ①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 ②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% ③互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多④互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.5% 其他H 1.6%80 前技术运营碳区设计产品蹂S6.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31. 5尺，前九个节气日影长之和为85. 5尺，则谷雨日影长为A. 2.5B. 3.5C.4.5D.5.57.函数，=筌片的图像大致为A.3 B,5 C. 15 D. 209.若直线，与曲线kG和圆/+/=看都相切，则z的方程为A. %—2。
河南郑州第一中学2021高三上期中数学(理)考试试题(解析版)
2021届河南省郑州市第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()R A B =（ ） A ．(0,1)B ．[1,2)C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞ 【答案】A【分析】求出集合A 的补集，再按交集的定义运算即可.【详解】由题意，{}1A x x =≥，则{|1}R A x x =<，所以()R A B =(0,1). 故选：A2．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 【答案】D【分析】利用复数的除法求解. 【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D3．若α为第三象限角，则（ ）A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin20α>D ．sin 20α< 【答案】C【分析】利用α为第三象限角，求2α所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为α为第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈， 可得24234k k ππαππ+<<+ ()k Z ∈，所以2α是第第一，二象限角，所以sin20α>，cos2α不确定，故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.4．命题“0x ∀>，11ln x x -≤”的否定是（ ） A ．0x ∀>，11ln x x -> B ．00x ∃>，0011ln x x -> C ．00x ∃>，0011ln x x -≤ D ．00x ∃≤，()0011ln x x -≤- 【答案】B 【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题“0x ∀>，11ln x x-≤”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即00x ∃>，0011ln x x ->， 故选：B 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90° 【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.6．函数()2x xe ef x x --=的图象是下列图中的（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】先确定函数奇偶性，舍去A,B ；再根据函数值确定选择项.【详解】()()220,()x x x xe e e ef x x f x f x x x ----=∴≠-==-∴()2x x e e f x x --=为奇函数，舍去A,B ； 因为当0x >时，()20x xe ef x x --=>，所以舍去D, 故选：C【点睛】本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知数列{}n a 满足()*,n m n m a a a m n N++=∈且11a =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项和为（ ）A ．12B ．1135C ．24D ．40 【答案】C【分析】先由条件得出数列{}n a 是以首项为1，公差为1的等差数列，即可求出n a n =，然后依次列出数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项即可. 【详解】因为数列{}n a 满足()*,n m n m a a a m n N++=∈且11a = 所以111m m m a a a a +=+=+所以数列{}n a 是以首项为1，公差为1的等差数列所以()111n a n n =+-⨯= 所以232355n a n ++= 所以数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项依次为：1,1,1,2,2,3,3,3,4,4 所以数列235n a +⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的前10项和为111223334424+++++++++= 故选：C【点睛】由条件得出数列{}n a 是等差数列是解题的关键.8．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p+2是素数，素数对(p ，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是A ．115B ．215C ．245D ．445【答案】D【分析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.【详解】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为2104445P C ==， 故选D【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.10．已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B两点，且||AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ） A．B ．4 C．D ．2 【答案】A【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由AB =()0,0到l1=，即12p =，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2所以PQF △的边长为4所以144sin 602PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A 【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（）A ．[)3,3e +B ．()3,3e +C ．()3,+∞D ．(]3,3e +【答案】D【分析】利用导数得出函数()f x 的单调性，将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点，数形结合求解即可.【详解】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e '+=+ ()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在1,0上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===当0x >时，22244()1x f x x x '-=-= ()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在2,上单调递增，4(2)2312f =+-= 函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点如下图所示由图可知，1a e <12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根 所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两个 所以343(4,3]x x a e +=+∈+(]12343,3x x x x e ∴-++∈+故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于难题. 12．如图是一个由正四棱锥1111P A B C D -和正四棱柱1111ABCD A B C D -构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，1BB 为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球表面的最小距离是（ ）A ．6243-B ．6(32)-C ．6(21)-D ．6(31)-【答案】B 【分析】设正四棱锥的高为h ，AB a ，由条件可得221362h a +=，然后该组合体的体积为()223113472233a h a h h h +⨯=-，然后利用导数求出当23h =时体积取得最大值，此时43a =，然后算出正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的半径，然后点P 到正四棱柱1111ABCD A B C D -外接球表面的最小距离为点P 到球心的距离减去半径，即可得到答案.【详解】设正四棱锥的高为h ，AB a ，由正四棱锥的侧棱长为6可得221362h a +=， 该组合体的体积为 ()()22223113131347227223333a h a h a h h h h h +⨯==-=-， 令()3722f h h h =-，则()2726f h h '=-，所以可得f h在(上单调递增，在()+∞上单调递减，所以当h =f h 取得最大值，即该组合体的体积最大,此时a =所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球半径为:=,点P 到正四棱柱1111ABCD A B CD -外接球表面的最小距离为点P 到球心的距离减去半径，即63h -=,故选：B【点睛】本题考查的知识点有：几何体的体积公式，利用导数解决最值问题，几何体的外接球问题，属于较难题.二、填空题13．已知实数x 、y 满足1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】252【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，找出使得直线2z x y =+在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组1036010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立36010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得9272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域内的点97,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距最大， 此时，目标函数2z x y =+取得最大值，且max 97252222z =⨯+=. 故答案为：252. 【点睛】本题考查简单线性规划问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 14．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a 的值为____________【答案】43- 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，即可求得a 值．【详解】解：圆2228130+--+=x y x y 的圆心坐标为：(1,4)，故圆心到直线10ax y +-=的距离211d a ==+，解得：43a =-， 故答案为：43-． 【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，属于基础题．15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①④【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确； 因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误； 故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围. 16．已知正项数列{}n a ，满足()*12nn n a a n N +⋅=∈，且()20201232020321a aa a ++++<-，则首项1a 的取值范围是______． 【答案】(1,2)【分析】根据()*12nn n a a n N +⋅=∈，利用递推得到22n na a +=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n 项和公式分别求和，再根据条件得到123a a +<求解. 【详解】因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以()1*212n n n a a n N +++⋅=∈，所以22n na a += 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列， 所以()()1010101012132019242020,12121122a a a a a a a a =--+++++=--+所以()()()2020202012320212021321a a a a a a =+++++-<-，所以123a a +<， 因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以212a a ⋅=，即212a a =， 所以1123a a +<，即211320a a -+<， 解得112a <<， 故答案为：(1,2)【点睛】方法点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明()*12,nn a q n n a -=≥∈N ；二是等比中项法，证明211n n n a a a -+=⋅.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3(cos )sin b C a c B -=，4a c +=，23b =． （1）求角B 的大小； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）23π；（2）3． 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得3cos sin sin sin B C C B -=，进而可得tan 3B =-，即可得解；（2）由余弦定理可得()212a c ac =+-，进而可得4ac =，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理，得3(sin cos sin )sin sin B C A C B -=． 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 得3cos sin sin sin B C C B -=．由0C π<<，得sin 0C ≠．所以3cos sin B B -=． 又cos 0B ≠，所以tan 3B =-． 又0B π<<，得23B π=． （2）由余弦定理及23b =，得2222(23)2cos 3a c ac π=+-． 即212()a c ac =+-．将4a c +=代入，解得4ac =．所以113sin 43222ABCSac B ==⨯⨯=． 18．在如图所示的几何体中，底面ABCD 是矩形，平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAB平面MCD MN =，MAD ∆是边长为4的等边三角形，22CD MN ==.（1）求证：MN MD ⊥；（2）求二面角M BD N --的余弦值【答案】（1）见解析；（2）15【分析】(1)先证明AB⊥平面MAD，又MN AB，从而证明MN⊥平面MAD.即可得证.(2)以AD的中点为O 为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面MBD的法向量为1n，平面NBD的法向量2n 代入公式即可求解.【详解】（1）由底面ABCD为矩形可得AB AD⊥，又平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD⋂平面ABCD AD=，AB平面ABCD，所以AB⊥平面MAD因为,AB CD CD⊂平面MCD，AB⊄平面MCD，所以AB∥平面MCD，而平面MAB平面MCD MN=，所以MN AB，所以MN⊥平面MAD.又MD⊂平面MAD，所以MN MD⊥.（2）如图，设AD的中点为O，过O作OH AB交BC于H.易知,,OA OH OM两两垂直，以O为原点，分别以,,OA OH OM为,,x y z，轴建立空间直角坐标系O xyz-则()()2,2,0,2,0,0B D-，((0,0,230,1,2,23M N，所以()4,2,0BD=--，(2,2,23BM=--，(2,1,23DN=设平面MBD的法向量为()1111,,xn y z=.由11n BDn BM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111142022230x yx y z--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩可令13x=，可得(13,6,3n=--设平面NBD的法向量()2222,,.n x y z=由22n BDn DN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222242022230x yx y z--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，可得()21,2,0n=-则121212cos(,43n n n n n n⋅〉===⋅易知二面角M BD N --为锐角，所以二面角M BD N --的余弦值为4【点睛】本题考查立体几何中的垂直关系判定及二面角问题.考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算能力.属于一般性题目.19．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）根据条件构建方程求解即可（2）设直线l 的方程为()y k x n =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得221224414k n x x k -=+，2122814k n x x k+=+，然后由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，即12120y y x m x m +=--，即()12122()20x x mn x x mn -+++=，然后得出4m n=即可. 【详解】解：（1）椭圆的半焦距为c ．根据题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为()y k x n =-，0k ≠联立2214()x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()22222148440k x k nx k n +-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知12x x ≠，且12,x x 均不等于m ．由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k+=+． 由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m+=--． 所以()()()1221121202()20y x m y x m x x m n x x mn -+-=⇔-+++=，所以222224482()201414k n k nm n mn k k -⨯-++=++整理可得4mn =，即4m n =． 因为02n <<，所以(2,)m ∈+∞．【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，12x x ，由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，然后表示出0PB QB k k +=得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．20．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【分析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可（2）根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=. 所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题.21．已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=. （1）讨论()f x 的导函数()'f x 的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥. 【答案】（1）当0a >时，()'f x 存在唯一零点，当0a ≤时，()'f x 无零点.（2）证明见解析【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可 （2）先由条件求出1ln ()2xg x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1x x e x --≥，令()2()2ln x h x x e x =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-. 显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()'f x 无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-， 则22()40xat x ex'=+>，即()'f x 单调递增， 又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()'f x 存在唯一零点.故当0a >时，()'f x 存在唯一零点，当0a ≤时，()'f x 无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()e ef x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=， 所以1(1)01mg -'==，所以1m =. 又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+. 根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥. 令()2()2ln xh x x ex =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()F x 有唯一的零点011,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201e x x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为2,21,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,1)P -，求PA PB ⋅．【答案】（1）l 的普通方程为：10x y +-=，C 的直角坐标方程：2y x =；（2）2．【分析】（1）首先消去参数t 即可得到l 的普通方程，再根据sin y ρθ=，cos x ρθ=即可得到曲线C 的直角坐标方程.（2）首先将直线l 的参数方程代入2y x =，得到220t -=，再利用根系关系和直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）直线l的参数方程为2,21,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得l 的直角坐标方程为：10x y +-=．曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即22sin cos ρθρθ=， 将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程：2y x =，（2）把直线l的参数方程2,1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C 的方程2y x =，得220t --=，设1t ，2t 分别为A 、B 对应的参数，则122t t ⋅=-， 所以12||||2PA PB t t ⋅=⋅=． 23．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，第21页 由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。
河南省郑州一中2021届高三上学期开学测试数学(理)试题 PDF版
已知点
1,
1 2
是函数
f
x
ax
a
0, a
1 的图象上一点，数列an 的前 n 项和是 Sn
f
n 2 ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若 bn loga an1 ，求数列an bn 的前 n 项和 Tn .
18. （12 分） 某土特产超市为预估 2021 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2020 年元旦期间的 90 位游客购买
12．已知函数
f
(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
log3
x
|,0
cos 3 x,3
x x
3 9
，若存在实数
x1 ，
x2
，
x3
，
x4 ，当
x1
x2
x3
x4
时，
满足 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (x4) ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（ ）
A． (7, 29) 4
B． (21,135) 4
4
6
则所得函数图象的解析式为（ ）
A． y sin( x 5 ) 2 24
B． y sin( x ) 23
C． y sin( x 5 ) 2 12
D． y sin(2x 7 ) 12
4．已知向量 a (3, 2) ， b (2,3) ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B． (a b) (a b) C． a / /b
1 的取值 n
范围是
.
高三 理科数学试题 第 2 页（共 4 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. （12 分）
河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学(文)(wd无答案)
河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（文）一、单选题(★★) 1. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（）A．1B．2C．D．(★★) 3. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤(★★★) 6. 在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A．B．C．D．(★) 7. 对于直线和平面，的一个充分条件是（）A．，∥，∥B．，，C．，，D．，，(★★) 8. 函数的图象大致是( )A．B．C．D．(★★) 9. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的（）A．B．C．D．(★★★) 10. 以为顶点的三棱锥，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则以为顶点，以面为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）A．2B．4C．6D．7(★★) 11. 设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是（）C．A ．B ． D ．二、填空题(★★★) 13. 已知（且），若有最小值，则实数 的取值范围是_____.(★★★) 14. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若，则 的大小为______.(★★★) 15. 已知直线与圆： 相切且与抛物线 交于不同的两点则实数 的取值范围是_____(★★★) 16. 若，设函数的零点为，的零点为 ，则的取值范围是______.三、解答题(★★★) 17. 已知点是函数的图象上一点，数列的前 项和是.（1）求数列 的通项公式：（2）若，求数列的前 项和 .(★★★) 18. 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从 届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各 名，得到下表中的数据.就业专业 毕业学历就业为所学专业就业非所学专业本科研究生（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过 的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为 的样本，要从 人中任取 人参加座谈，求被选取的 人中至少有 人就业非毕业所学专业的概率.附： ,(★★) 19. 如图，在四棱锥中，， 平面，，点 为线段的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求三棱锥的体积.(★★★★) 20. 已知椭圆 ：四个顶点中的三个是边长为 的等边三角形的顶点.（1）求椭圆 的方程： （2）设直线 与圆 ：相切且交椭圆 于两点 ， ，求线段 的最大值.(★★★) 21. 已知函数，为 的导函数．（1）设 ，求的单调区间； （2）若，证明：．(★★★) 22. 已知直线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）若点在直线 上，且，求直线 的斜率；（2）若，求曲线上的点到直线的距离的最大值.(★★★) 23. 已知（其中）.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.。
河南省郑州一中2021届高三上学期开学测试物理试题含答案
郑州一中2021届高三上学期开学测试物理试题一.选择题（共12小题，其中9—12为多选。
每小题4分，共48分。
）1.如图所示，一段半径为R 的圆弧固定在竖直平面内，两个轻环a 和b 套在圆弧上，一轻质细线穿过两环，其两端各系一质量为m 的小球，在a 和b 之间的细线上悬挂一钩码。
平衡时，a 、b 间的距离恰好等于2R .不计一切摩擦，则此钩码的质量为A.mB.C.74mD.3m2.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m 和2m 的物块A 、B ，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A 、B 间的接触面和轻绳均与木板平行。
A 与B 间、B 与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
当木板与水平面的夹角为45°时，物块A 、B 刚好要滑动，则μ的值为A.13 B.14 C.15 D.163.一质量为m 的乘客乘坐竖直电梯下楼，其位移s 与时间t 的关系图象如图所示。
乘客所受支持力的大小用N F 表示，速度大小用v 表示。
重力加速度大小为g 。
以下判断正确的是A.0～t 1时间内，v 增大，N F mg>B.t 1～t 2时间内，v 减小，N F mg<C.t 2～t 3时间内，v 增大，N F mg<D.t 2～t 3时间内，v 减小，N F mg>4.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。
甲、乙两物体质量相等。
系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α=70°，则β等于A.45°B.55°C.60°D.70°5.如图所示，水平面上放有三个木块A 、B 、C ，质量均为m=1kg ，A 、C 与地面间的接触面光滑，B 与地面间的动摩擦因数0.1μ=，A 、B 之间用轻弹簧相连，B 、C 之间用轻绳相连。
2021-2022学年河南省高三(上)入学数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年河南省高三（上）入学数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−xx≥0}，B={x|x2<4}，则A∩B=()A. (0,3]B. (−2,0)C. (0,2)D. [0,2)2.已知复数z=1+2i+1+2i2−i，则z的虚部为()A. 3B. 1C. −1D. 23.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y−3≤0x−3y+1≤0，则目标函数z=2x+y的最大值为()A. 5B. 4C. 3D. 24.已知sin(θ−π)=45，且tanθ<0，则sin2θ=()A. 2425B. 1225C. −2425D. −12255.某班统计某次数学测验的平均分与方差(成绩不完全相同)，计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次．已知第一次计算所得平均分和方差分别为x−，s2，第二次计算所得平均分和方差分别为x1−，s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. x−<x1−，s2=s126.甲、乙、丙做同一道题：已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且满足m⊂α，n⊂β，α∩β=l，….甲说：“α⊥β”，乙说：“m⊥n”，丙说：“n//l”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是()A. m//βB. n⊥aC. 直线m，l不一定垂直D. 直线m，n为异面直线7.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=acosC+2accosA，则a=()A. 14B. 1 C. 12D. 28.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为AF1的中点，若△ABF2的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±√3xB. y=±√2xC. y=±√32x D. y=±√22x9. 已知函数f(x)={lgx,x ≥1−lg(2−x),x <1，则( )A. f(x)存在最小值B. f(x)在[1,+∞)上是增函数，在(−∞,1)上是减函数C. f(x)的图象关于点(1,0)对称D. f(x)的图象关于直线x =1对称10. 已知定义在[0,3π4]上的函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)有且仅有三个零点，f(0)+f(3π4)=0，则ω的值为( )A. 113或3B. 329或4C. 329或3D. 113或411. 在四面体ABCD 中，AB =AD =BD =√2BC =√2CD =√2，AC =√3，则该四面体外接球的表面积为( )A. 9πB. 6πC. 3πD. 12π12. 若关于x 的方程lnx x+x lnx+x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则(1−lnx 1x 1)√(1−lnx 2x 2)(1−lnx 3x 3)的取值范围为( )A. (1−2e 2+e ,1)B. (1−2e 2+e ,1+2e 2+e ) C. (2e 2+e ,1)D. (0,2e 2+e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若“∃x ∈R ，e x ≤m ”为假命题，则实数m 的取值范围是______．14. 在菱形ABCD 中，|AC|=2，点M 为线段BD 上一点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 某足球比赛共有8支球队参赛，其中有2支种子队，以抽签的方式将这8支球队平均分为两组，2支种子队不在同一组的概率为______．16. 已知点M(−2,2)和抛物线C ：y 2=8x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则k =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3=4a 1+4a 2，S 6=126．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =2log 2a 2n−1⋅log 2a 2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面A1ABB1，D为棱AA1的中点，BB1=2AB=2．(1)证明：B1D⊥平面BDC．(2)若二面角A−CC1−B为45°，求二面角D−B1C−B的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点和右顶点分别为F，A，P是椭圆C上一点，PF⊥x轴，直线PA的斜率为−12．(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线PA与y轴交于点E(0,1)，过E的直线l与椭圆C交于M，N两点，EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗，求直线l的方程．20.有一种双人游戏，游戏规则如下：每人各分得一个装有4个球(2个白球和2个黑球)的布袋，并轮流到对方袋中摸出1球，若摸出的是白球，则放回对方的袋中，若摸出的是黑球，则放入自己袋中，两人各摸取一次算为一轮．(1)求第一轮比赛后先摸球的人的袋中黑球个数X的分布列与期望；(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定最多玩3轮，每轮游戏由小李先摸球，并且规定每轮结束后，一方袋中若有4个黑球，则该方获胜并结束游戏，否则进行下一轮摸球游戏，求小李获胜的概率．21.已知函数f(x)=ln(x+a)．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程．(2)证明：当0<a≤1时，对一切x∈[0,+∞)，都有3xf(x)<2e x成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√2cosθy=√2sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=α(0≤α≤π)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|=√6，求直线l的直角坐标方程．23.已知函数f(x)=2|x−1|−x．(1)求不等式f(x)<2x−4的解集．(2)已知函数f(x)的最小值为m，且a，b，c都是正数，a+2b+c=−m，证明：1 a+b +1b+c≥4．答案和解析1.【答案】C≥0}，B={x|x2<4}，【解析】解：因为A={x|3−xx所以A=(0,3]，B=(−2,2)，所以A∩B=(0,2)．故选：C．先求出集合A，B，然后由交集的定义求解即可．本题考查了交集及其运算，考查运算求解能力，属基础题．2.【答案】B【解析】解：因为z=1+2i+1+2i2−i=1+2i+(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i，=1+2i+5i5所以复数z的虚部为3．故选：B．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的四则运算，求解即可．本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件画出可行域如图，联立方程组解得A(2,1)，由z=2x+y，得y=−2x+z，由图可知，当y =−2x +z 过点(2,1)时，z 取得最大值，最大值为5． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划，考查数形结合的思想，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵sin(θ−π)=45，∴sinθ=−45， ∴cosθ=±35，又∵tanθ<0，∴cosθ=35，∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选：C ．由已知利用诱导公式可求出sinθ，利用同角三角函数基本关系式可求出cosθ，再利用二倍角的正弦公式求出sin2θ的值．本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ， 假设第i 个同学的成绩录入了两次，第一次计算时，总分是(n +1)x −，方差为s 2=1n+1[(a 1−x −)2+(a 2−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+2(a i −x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]；第二次计算时，x −1=(n+1)x −−x−n =x −，方差为s 12=1n [(a 1−x −)2+(a 2−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i −x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n+1ns 2． 故有x −=x 1−，s 2<s 12．故选：B ．设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ，从而依次求平均数与方差，比较即可．本题考查平均数与方差，考查数据分析能力及化简运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：结合甲、乙、丙三人的说法，可知当α⊥β，m⊥n，n//l正确时，直线m，n为异面直线．故选：D．当α⊥β，m⊥n，n//l正确时，直线m，n为异面直线．本题考查线面垂直的判定、性质定理，考查逻辑推理能力，考查推理论证能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：因为b=acosC+2accosA，所以由正弦定理可知，sinB=sinAcosC+2asinCcosA，因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，则cosAsinC=2asinCcosA，因为△ABC为锐角三角形，sinCcosA≠0，则a=12．故选：C．由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosAsinC=2asinCcosA，又由已知可得sinCcosA≠0，即可求解a的值．本题考查正弦定理以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由对称性可知|BF2|=|BF1|，所以△ABF2的周长为6a，即|AF1|+|AF2|=6a，又|AF1|−|AF2|=2a，所以|AF1|=4a，|AF2|=2a．因为B为AF1的中点，所以|AB|=|BF1|=2a，则△ABF2为等边三角形，所以∠ABF2=π3，∠F1BF2=2π3，∠F1BO=π3．又因为|OF1|=c，所以在Rt△F1BO中，sin∠F1BO=OF1BF1=c2a=√32．所以c a =√3，ba =√2，即双曲线C 的渐近线方程为y =±√2x ．故选：B ．由对称性可知|BF 2|=|BF 1|，通过△ABF 2的周长为6a ，结合|AF 1|−|AF 2|=2a ，推出|AF 1|=4a ，|AF 2|=2a.说明△ABF 2为等边三角形，转化求解离心率，然后求解a ，b 关系，推出双曲线C 的渐近线方程．本题考查双曲线的定义以及几何性质，考查数形结合的思想和运算求解的能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：设点(x,y)是函数y =lgx ，x ≥1图象上任意一点， 它关于点(1,0)的对称点为(x′,y′)． 则{x +x′=2,y +y′=0, ∴{x =2−x′,y =−y′,代入y =lgx ，得−y′=lg(2−x′)，∴y′=−lg(2−x′)，x′≤1．∴函数y =lgx ，x ≥1的图象与函数y =−lg(2−x)，x ≤1的图象关于点(1,0)对称， 即f(x)={lgx,x ≥1,−lg(2−x),x <1的图象关于点(1,0)对称，易知f(x)在定义域R 上单调递增．故选：C ．利用函数的对称性以及函数的单调性，判断选项的正误即可． 本题考查函数的性质，考查逻辑推理能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由x ∈[0,3π4]，可得ωx −π3∈[−π3,3π4ω−π3]，令2π≤3π4ω−π3<3π，可得289≤ω<409．因为f(0)+f(3π4)=0，所以√32=sin(3π4ω−π3)．即3π4ω−π3=π3+2kπ或3π4ω−π3=2π3+2kπ，k∈Z，即ω=89+83k或ω=43+83k，k∈Z，所以ω为329或4．故选：C．根据条件2π≤3π4ω−π3<3π，可得289≤ω<409，然后由f(0)+f(3π4)=0，求出ω的值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由AB=AD=BD=√2BC=√2CD=√2，可知△BCD为等腰直角三角形，△ABD为等边三角形，AC=√3，将四面体ABCD可补形成正方体，如图所示．AC即为外接球直径2R，则R=√32，从而外接球表面积S=4π×(√32)2=3π．故选：C．由已知可得△BCD为等腰直角三角形，△ABD为等边三角形，将四面体ABCD可补形成正方体，则AC即为外接球直径2R，再由球的表面积公式求解．本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了分割补形法，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由方程lnxx +xlnx+x+m=0，可得lnx x+1lnxx+1+m=0．令lnxx =t，则有t+1t+1+m=0，即t2+(m+1)t+m+1=0．函数g(x)=lnxx ，则g′(x)=1−lnxx2.g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．作出图象如下：要使关于x 的方程lnx x+xlnx+x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，结合图象可得关于t 的方程t 2+(m +1)t +m +1=0一定有两个实根t 1，t 2(t 1<0<t 2<1e ,t ≠−1)．且lnx 1x 1=t 1，lnx 2x 2=lnx 3x 3=t 2，t 1+t 2=−(m +1)，t 1t 2=m +1，所以m +1<0，1e 2+m+1e+m +1>0，解得−1−1e 2+e <m <−1．故(1−lnx 1x 1)√(1−lnx 2x 2)(1−lnx 3x 3)=(1−t 1)(1−t 2)=1−t 1−t 2+t 1t 2=2m +3∈(1−2e 2+e ,1)． 故选：A ．将所给的函数进行变形，然后利用换元法构造新函数，研究新构造函数的性质，确定x 1，x 2，x 3的范围，结合题意和韦达定理进行计算即可求得(1−lnx 1x 1)√(1−lnx 2x 2)(1−lnx 3x 3)的取值范围．本题考查导数的应用，函数与方程，考查数形结合与化归与转化的数学思想，属于中等题．13.【答案】(−∞,0]【解析】解：若“∃x ∈R ，e x ≤m ”为假命题， 则其否定“∀x ∈R ，e x >m ”为真命题， 而y =e x >0，故m ≤0． 所以m 的取值范围为(−∞,0]． 故答案为：(−∞,0]．若原命题为假命题，则其否定“∀x ∈R ，e x >m ”为真命题，再求出m 的范围即可．本题考查命题的否定，考查逻辑推理能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：如图，设O 为AC 与BD 的交点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠MAO =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故答案为：2．结合图形，由平面向量数量积的运算及其性质即可求解．本题考查平面向量的数量积公式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．15.【答案】47【解析】解：这8支球队分为两组，则一共有44C 84CA 22=35(种)，其中2支种子队不在同一组，则有33C 63CA 22A 22=20(种)，故所求概率为2035=47， 故答案为：47．利用排列组合知识分别求出这8支球队分为两组的情况种数和2支种子队不在同一组的种数，再利用古典概型的概率公式求解．本题考查排列组合知识和古典概型的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．16.【答案】2【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=8x 1,y 22=8x 2,，所以y 12−y 22=8x 1−8x 2，所以k =y 1−y 2x 1−x 2=8y 1+y 2．取AB 的中点M′(x 0,y 0)，分别过点A ，B 作准线x =−2的垂线，垂足分别为A′，B′．因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠AMB =90°，所以|MM′|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA′|+|BB′|)， 因为M′为AB 的中点，所以MM′平行于x 轴因为M(−2,2)，所以y 0=2， 则y 1+y 2=4，即k =2． 故答案为：2．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用平方差求解直线的斜率，取AB 的中点M′(x 0,y 0)，分别过点A ，B 作准线x =−2的垂线，垂足分别为A′，B′.然后转化求解k 即可．本题考查抛物线的定义以及几何性质，考查数形结合的思想和运算求解的能力，是中档题．17.【答案】解；(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由3a 3=4a 1+4a 2，可得3q 2−4q −4=0，解得q =2或q =−23(舍去)． 因为S 6=126，所以S 6=a 1(1−26)1−2=126，解得a 1=2．所以a n =2⋅2n−1=2n ． (2)b n =2log 2a 2n−1⋅log 2a 2n+1=12n−1−12n+1，所以T n =(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出； (2)利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，则BB 1⊥BC ． ∵平面BCC 1B 1⊥平面A 1ABB 1，平面BCC 1B 1∩平面A 1ABB 1=BB 1， ∴CB ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1D ⊥BC ．∵BB 1=2AB =2，ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，∴B 1D =BD =√AB 2+AD 2=√2．∴BB 12=BD 2+B 1D 2，∴B 1D ⊥BD ．又BD ∩BC =B ，∴B 1D ⊥平面BDC ．(2)解：∵CC 1⊥平面ABC ，二面角A −CC 1−B 的平面角为∠ACB ，即∠ACB =45°，∴BC =1．以B 为原点，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ， 则B 1(2,0，0)，C(0,1，0)，D(1,0，1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)为平面B 1BCC 1的一个法向量． 设平面DB 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−2x +y =0,−x +z =0,令x =1，得y =2，z =1，则n⃗ =(1,2,1)， cos〈BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=11×√6=√66， 所以二面角D −B 1C −B 的余弦值为√66．【解析】(1)证明BB 1⊥BC.B 1D ⊥BC.B 1D ⊥BD.推出B 1D ⊥平面BDC ．(2)以B 为原点，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系B −xyz ，求出平面B 1BCC 1的一个法向量．平面DB 1C 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D −B 1C −B 的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设点F(−c,0)，A(a,0)，P(−c,y 0)，则c 2a 2+y 02b 2=1，则y 02=b 4a 2， 又直线PA 的斜率为−12，所以b 2a−0−c−a =−12，则2c 2+ac −a 2=0，即2e 2+e −1=0，解得e =12，所以椭圆C 的离心率为12． (2)因为直线PA 与y 轴交于点E(0,1)，所以直线PA 的方程为y =−12x +1，则A(2,0)， 所以a =2，c =1，b =√3，即椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．当直线l 的斜率不存在时，MN 的方程为x =0，此时|EM||EN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件舍去．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)． 因为EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以x 1=−3x 2． 联立{y =kx +1,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以{x 1+x 2=−8k3+4k 2,x 1x 2=−83+4k 2, 将x 1=−3x 2代入得{−2x 2=−8k3+4k 2,3x 22=83+4k 2,所以3(4k 3+4k 2)2=83+4k 2， 所以k 2=32，k =±√62，所以直线l 的方程为y =√62x +1或y =−√62x +1．【解析】(1)设点F(−c,0)，A(a,0)，P(−c,y 0)，推出y 02=b 4a 2，结合直线PA 的斜率为−12，求解椭圆C 的离心率．(2)直线PA 的方程为y =−12x +1，求解a =2，c =1，b =√3，得到椭圆C 的方程，当直线l 的斜率不存在时，验证即可．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +1.设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，通过EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，推出x 1=−3x 2.联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，转化求解直线l 的方程即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．20.【答案】解：(1)由题意，X 的值可能为1，2，3，P(X =1)=24×24=14，P(X =3)=24×25=15，P(X =2)=24×24+24×35=1120，故随机变量X 的分布列为：故E(X)=1×14+2×1120+3×15=3920．(2)若游戏进行2轮且小李获胜的概率为P =24×25×13×26=145，若游戏进行3轮且小李获胜的概率为P =(24×24+24×35)×145+24×25×(23×25+1 3×46)×13×26=1878100，所以小李获胜的概率为145+1878100=3678100．【解析】(1)由题意，X的值可能为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．(2)分布求出游戏进行2轮且小李获胜，游戏进行3轮且小李获胜的概率，并求和，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．21.【答案】(1)解：f(x)=ln(x+1)，f(0)=0，f′(x)=1x+1，则f′(0)=1，所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x．(2)证明：因为0<a≤1，所以ln(x+a)≤ln(x+1)，又x∈[0,+∞)，所以xf(x)≤xln(x+1)，易证得ln(x+1)≤x，所以xf(x)≤x2，令ℎ(x)=x2e x ，x∈[0,+∞)，ℎ′(x)=2x−x2e x，当x∈[0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，ℎ(x)max=ℎ(2)=4e2<23，所以当0<a≤1时，对一切x∈[0,+∞)，都有3xf(x)<2e x．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(2)令ℎ(x)=x2e x，x∈[0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．22.【答案】解：(1)由曲线C的参数方程{x=1+√2cosθ,y=√2sinθ(θ为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=2，得x2+y2−2x−1=0，根据：{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−1=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−2ρcosα−1=0． 设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)， 则ρ1⋅ρ2=−1<0，所以|OA||+|OB|=|ρ1−ρ2|=√4cos 2α+4=√6， 则cosα=±√22，即α=π4或3π4．所以直线l 的直角坐标方程为y =±x ．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换，极径方程，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由题可得2|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f(x)<2x −4的解集为(2,+∞)． (2)证明：f(x)={x −2,x ≥1,−3x +2,x <1,则m =f(1)=−1，则(a +b)+(b +c)=1，1a+b +1b+c =(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)]=2+b+ca+b +a+bb+c ≥4，当且仅当a =c 时，取等号，即得证．【解析】(1)由题可得2|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4，解出x ，即可求解．(2)f(x)={x −2,x ≥1,−3x +2,x <1,则m =f(1)=−1，再结合基本不等式的公式，即可求证．本题考查了绝对值不等式的求解，以及基本不等式公式的应用，属于中档题．。
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河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（理）一、单选题
(★★) 1. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．
(★) 2. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（）
A．1B．2C．D．
(★★) 3. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）
A．B．
C．D．
(★★) 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
(★★) 5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）
A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤
(★★★) 6. 在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）
A．B．
C．D．
(★) 7. 对于直线和平面，的一个充分条件是（）
A．，∥，∥B．，，
C．，，D．，，
(★★) 8. 函数的图象大致是( )
A．B．
C．D．
(★★) 9. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的（）
A．B．C．D．
(★★★) 10. 以为顶点的三棱锥，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则以为顶点，以面为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）
A．2B．4C．6D．7
(★★) 11. 设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★★★) 12. 已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是（）
C．
A ．
B ． D ．
二、填空题
(★★) 13. 在 二项展开式中，常数项是_______.
(★★★) 14. 在
中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若
，则 的大小为______.
(★★★) 15. 已知直线
与圆： 相切且与抛物线 交于不同的
两点
则实数 的取值范围是_____
(★★★) 16. 若
，设函数
的零点为
，
的零点为 ，
则
的取值范围是______.
三、解答题
(★★★) 17. 已知点
是函数
的图象上一点，数列
的前 项和是
.
（1）求数列 的通项公式：
（2）若
，求数列
的前 项和 .
(★★★) 18. 某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额
（元）
人数 10 15 20 15 20 10
（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与
性别有
关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：，. 附表：
2.072 2.706
3.841 6.6357.879
0.1500.1000.0500.0100.005
(★★★) 19. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、分别是、的中点，点在线段上，且.
（1）求证：不论取何值，总有；
（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.
(★★★★) 20. 已知椭圆：四个顶点中的三个是边长为的等边三角
形的顶点.
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线与圆：相切且交椭圆于两点，，求线段的
最大值.
(★★★) 21. 已知函数，为的导函数．
（1）设，求的单调区间；
（2）若，证明：．
(★★★) 22. 已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若点在直线上，且，求直线的斜率；
（2）若，求曲线上的点到直线的距离的最大值.
(★★★) 23. 已知（其中）.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.。