2012高考数学文科学生版
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标
绝密＊启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷）文科数学注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x2－x－2〈0},B=｛x｜－1<x<1｝，则（A）A错误!B （B）B错误!A （C）A=B (D）A∩B=（2）复数z＝错误!的共轭复数是（A）2+i （B)2－i （C)－1+i （D）－1－i3、在一组样本数据(x1，y1)，（x2，y2),…，(x n，y n）（n≥2，x1,x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点(x i，y i）（i=1，2,…,n)都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1 （B)0 （C）错误!（D)1(4）设F1、F2是椭圆E:x2a2＋错误!＝1（a〉b〉0）的左、右焦点,P为直线x=错误!上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）（A）错误!（B）错误!(C）错误!（D)错误!5、已知正三角形ABC的顶点A（1,1),B（1,3），顶点C在第一象限，若点（x,y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（A）(1－错误!，2）（B)(0，2）（C）（错误!－1，2）(D）（0，1+错误!)(6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1,a2，…,a N，输出A，B，则（A）A+B为a1，a2,…，a N的和（B）错误!为a1,a2，…，a N的算术平均数（C）A和B分别是a1,a2，…，a N中最大的数和最小的数（D）A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A)6（B)9(C）12(D）18(8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为错误!,则此球的体积为（A）6π（B）4错误!π(C）4错误!π（D)6错误!π（9）已知ω>0，0〈φ<π，直线x=错误!和x=错误!是函数f(x）=sin(ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A）错误!（B）错误!（C）错误!（D）错误!（10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，｜AB|=4错误!，则C的实轴长为（A）错误!（B）2错误!（C）4 （D）8（11)当0<x≤错误!时，4x<log a x，则a的取值范围是（A）（0,错误!) （B）(错误!，1）（C）(1，错误!）（D）（错误!，2)（12）数列{a n}满足a n+1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n｝的前60项和为(A）3690 （B）3660 （C)1845 （D）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考全国卷文科数学含答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数Z= — l—i(i为虚数单位）,z的共轭复数为，则等于A. -1 -2iB. -2+iC. -l+2iD.1+2i2. 集合A={x|x2+x—6<0} ，B={y\y=lg( x2+l)}则A∩B 等于A. (-3,2)B. [0,3)C.[0，+oo)D. [0,2)3. 已知 , ，则等于A . 3 B. —3 C. 2 D. —24.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 +ba2 + …+ba6“等于A. 78B. 84C. 124D. 1265.已知抛物线:y2=2px(p>0)上的点A(m，2)到直线x=-3/2的距离比到抛物线焦点的距离大 1，则点A到焦点的距离为（2）2 B.5/2 C. 3 D.3/26.已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于A . B. C. D.7.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S=-10，则输出S的值为A. 8B. 9C. 10D. 118.已知命题p:” ”是“函数的图象经过第二象限”的充分不必要条件，命题q:a,b是任意实数，若a>b，则 .则A.“p且q”为真B.“p或q”为真C.p假q真D.p，q均为假命题9.将函数y=2sinxsin( +x)的图象向右平移少 ( >0)个单位，使得平移后的图象仍过点( ， )，则的最小值为A B. C. D.10. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，现要求甲安排在另外两位前面且丙不安排在周五，则不同的安排方法共有A. 14 种B. 16 种C.20 种D.24 种11.巳知双曲线 (a>0，b>0)，过其右焦点F且与渐近线y =- x平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A、B两点，且 ,则双曲线的离心率为A . B. C. D. 212.已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为.A. 1B.—3C. 1 或一3D. —1 或 3第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡中的横线上.13. =14.已知向量a，b夹角为，若 , , ,则(a+2b) • (a—b)= •15.在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q 为底面∆ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为2、2、，则以线段PQ为直径的球的表面积为 .16.数列的前n项和为 ,若数列的各项排列如下：…, , … ,…,若，则 =___.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分）在∆ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b- c=acos C.（1）求A的大小；（2）若∆ABC 的面积为，且 2abcos C—bc=a2 +c2，求 a.18.( 本小题满分12分）某娱乐中心拟举行庆祝活动，每位来宾交30元人场费，可参加一次抽奖活动，抽奖活动规则是:从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6六个相同小球的抽奖箱中，有放回地抽取两次，毎次抽取一个球，规定:若抽得两球分值之和为12分，则获得价值为m元礼品;若抽得两球分值之和为11分或10分，则获得价值为100元礼品；若抽得两球分值之和小于10分，则不获奖. (1) 求每位会员获奖的概率；(2) 假设这次活动中，娱乐中心既不赔钱，也不赚钱，则m应为多少元？19.(本小题满分1 2分）在如图的多面体中，EF丄平面 AEB，AE EB，AD//EF，EF//BC，BC=2AD = 4，EF=3,AE=BE=2，G是BC的中点.(1) 求证:BD丄EG; ](2) 求二面角C—DF—E的余弦值.20.(本小题满分12分）设Ai ,A2与B分别是椭圆E : 的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆 C：相切.(1) P是椭圆E上异于A1，A2 的一点,直线PA1，PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(2)直线I与椭圆E交于M，N两点，且，试判断直线I与圆C的位置关系，并说明理由.21.(本小题满分12分）已知a€R，函数， (其中e为自然对数的底数).(1) 巳知a>0，若函数f(x)在区间(0，e]上满足f(x)>2恒成立，求a的取值范围；⑵是否存在实数 ,使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出X 。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考真题--新课标全国卷数学(文)[解析版word版 附试题与答案 打印版]
![2012年高考真题--新课标全国卷数学(文)[解析版word版 附试题与答案 打印版]](https://img.taocdn.com/s3/m/f118bde1f121dd36a32d829f.png)
2012年普通高等学校招生全国统一考试---新课标全国卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【解析】集合}21{}02{2<<-=<--=x x x x x A ，又}11{<<-=x x B ，所以B 是A 的真子集 ，选B. 【答案】B2.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 【解析】i ii i i i i i z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1，选D.【答案】D 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D. 【答案】D4．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点， 12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.【答案】C 5、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【解析】 做出三角形的区域如图，由图象可知当直线z x y +=经过点B 时，截距最大，此时231=+-=z ，当直线经过点C 时，直线截距最小.因为x AB ⊥轴，所以2231=+=C y ,三角形的边长为2，设)2,(x C ，则2)12()1(22=-+-=x AC ，解得3)1(2=-x ，31±=x ，因为顶点C 在第一象限，所以31+=x ，即)2,31(+代入直线y x z +-=得312)31(-=++-=z ，所以z 的取值范围是231<<-z ，选A.【答案】A6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C. 【答案】C 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.【答案】B8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【解析】球半径3)2(12=+=r ，所以球的体积为ππ34)3(343=⨯，选B.【答案】B9.已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==TT.又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A. 【答案】A10.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.【答案】C11.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)【解析】当1>a 时，显然不成立.若10<<a 时当21=x 时，24421==，此时对数221log =a，解得22=a ，根据对数的图象和性质可知，要使x a x log 4<在210≤<x 时恒成立，则有122<<a ，如图选B. 【答案】B 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830【解析】由12)1(1-=-++n a a n nn 得，12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n a n n ，即1212)1(2++--=++n n a a n n n ）（，也有3212)1(13+++--=+++n n a a nn n ）（，两式相加得44)1(2321++--=++++++n a a a a n n n n n ，设k 为整数，则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k a a a a k k k k k ，于是1830)10`16()(14443424141460=+=+++=∑∑=++++=k a a a aS K k k k k K 【答案】D二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【解析】函数的导数为4ln 331ln 3)('+=⨯++=x xx x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为 4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y . 【答案】34-=x y(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______【解析】显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得q q a q q a --⨯-=--1)1(31)1(2131，即04323=-+q q ，即0)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q . 【答案】2-(15)已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =【解析】因为102=-，所以10)2(2=-b a ，即104=+•-b a ，所以104540=-+06=--23=2-=（舍去）.【答案】 (16)设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____【解析】1sin 211sin 211sin )1()(22222+++=++++=+++=x x x x x x x x x x x f ，令1sin 2)(2++=x xx x g ，则)(x g 为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即0)()(min max =+x g x g ，而max max )(1)(x g x f +=，min min )(1)(x g x f +=，所以2)()(min max =+x f x f . 【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA(1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.（20）（本小题满分12分）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.B 1 CBA DC 1A 1（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= e x－ax－2(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FGDE ABC(Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
高考-2012年高考新课标文科数学试题及答案
2012年高考新课标文科数学试题及答案2012年高考新课标文科数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2（A ）A ?≠B （B ）B ?≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=?（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，ⅠF 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在ⅠABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅰ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考新课标Ⅱ文科数学试题及标准答案(精校版-解析版-word版)
2０12年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共１2小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A =｛x |x 2－x -2<0}，Ｂ={ｘ|-１<x <１｝，则（ ）A.Ａ⊂≠Ｂﻩ Ｂ.Ｂ⊂≠ＡﻩﻩC ．Ａ=BﻩﻩＤ．A ∩B =∅２.复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A ．２＋i ﻩﻩﻩ B.2－i ﻩC ．－1+iﻩﻩＤ．－１－i3．在一组样本数据(x 1，y １)，(x ２,ｙ２），…，（x n ，y ｎ）（n ≥２,ｘ１, x ２,…, x ｎ不全相等）的散点图中，若所有样本点(x ｉ，ｙｉ）(i ＝1, 2,…，n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( ) A.-1 ﻩﻩB ．0ﻩﻩﻩC ．12ﻩﻩ D.14．设F 1、Ｆ2是椭圆E :22221x y a b +=(ａ>b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点,△F 1PF 2是底角为３0°的等腰三角形,则E 的离心率为（ ) A ．12Ｂ．23 ﻩﻩC ．34ﻩ ﻩD.455.已知正三角形ABC 的顶点Ａ(1,１)，B (１,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）Ａ．(1- B.(0,2)C.1,2) D ．1) ６．如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N ≥２)和实数a 1，a 2,…,ａN ，输出A 、B ，则( ） Ａ.A +Ｂ为ａ1,a ２，…，a N 的和 B ．2A B +为a １,ａ2,…，a N 的算术平均数C ．A 和Ｂ分别为a 1，ａ2，…，a Ｎ中的最大数和最小数D.A 和B 分别为ａ1，a 2，…,a N 中的最小数和最大数 ７.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) Ａ.6B.9C ．1２Ｄ．188.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为则此球的体积为（ ）A πﻩ B.ﻩﻩC ．ﻩ9.已知ω>0,0ϕπ<<，直线x =4π和x ＝54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=( ) Ａ.π4ﻩ B.错误!ﻩﻩ Ｃ.错误!ﻩD ．错误!10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在ｘ轴上,C 与抛物线ｙ2=１６x 的准线交于A ，Ｂ两点，||AB =则C 的实轴长为( ）Ｂ．ﻩC.4ﻩD.８11．当0＜x ≤12时，4log xa x <，则ａ的取值范围是( )Ａ.（0）ﻩﻩＣ．（ ﻩＤ２）1２.数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{n a ｝的前6０项和为（ )A.３６90 ﻩﻩB ．3６60 ﻩ C .18４5ﻩＤ．1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第2１题为必考题，每个试题考生必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题:(本大题共４小题，每小题5分，共20分.)13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1，1）处的切线方程为 . １4．等比数列｛n a ｝的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q ＝ .１5.已知向量a ,b 夹角为４5º，且|a |=1,|2-a b ｂ|= .。
2012年湖北高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（)A．1B．2 C．3 D．4【测量目标】集合的基本运算。
【考查方式】子集的应用.【参考答案】D【试题解析】求，易知。
因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有个。
故选D。
2．容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间的频率为（）A．0。
35B．0.45 C．0。
55D．0。
65【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算，对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率。
【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为。
故选B。
3．函数在区间上的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4D。
5【测量目标】函数零点求解与判断。
【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想。
【参考答案】D【试题解析】由，得或；其中，由,得，故。
又因为，所以.所以零点的个数为个.故选D。
4．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（）A．任意一个有理数,它的平方是有理数B．任意一个无理数,它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数,它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定。
【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定,千万别忽视了改变量词；【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定,需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数"。
故选B.5．过点的直线，将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（)A．B. C。
2012年陕西高考数学文科试卷带详解
2012陕西高考数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =…，则M N = （ ） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ． [1,2] 【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】解不等式，用描述法表示集合，求两集合的交集． 【参考答案】C【试题解析】{}{}{}1,22,12, C.M x x N x xM N x x =>=-∴=< 故选剟?2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 【测量目标】函数单调性和奇偶性的判断．【考查方式】一一列举各种函数，直接考查函数的奇偶性和单调性． 【参考答案】D【试题解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）第3题图A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 【测量目标】茎叶图．【考查方式】给出茎叶图直接计算平均数，众数，极差． 【参考答案】A【试题解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56．所以选A ．4．设,a b ∈R ，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】复数的基本概念，充分必要条件的逻辑关系． 【考查方式】用复数的代数式直接考查充分必要条件． 【参考答案】B【试题解析】当0ab =时，0a =或0b =，i b a +不一定是纯虚数，反之当iba +是纯虚数时，因此B 正确．5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ． q =NM B ． q =MNC ． q =NM N +D ． q =MM N+【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】用算法计算及格和不及格的人数，补充算法中所需的条件． 【参考答案】D【试题解析】因为执行判断框“是”计算的及格的总分数M ，“否”统计的是不及格的成绩，所以及格率.Mq M N=+选D ．6．已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 （ ） A ．l 与C 相交 B ． l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ． 以上三个选项均有可能【测量目标】点，直线与圆的位置关系．【考查方式】给出圆的一般方程和过直线点的坐标，直接判断直线和圆的位置． 【参考答案】A【试题解析】因为点P （3,0）在圆的内部，所以过点P 的直线必与圆相交．选A ． 7．设向量a =（1,cos θ）与b =（1-，2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ） A．2B ．12C ．0D ．1-【测量目标】平面向量的数量积运算，二倍角公式．【考查方式】给出向量坐标，根据向量垂直的关系式，利用2倍角公式转化，求值． 【参考答案】C【试题解析】220,12cos 0cos22cos 10θθθ⊥∴=∴-+=∴=-= a b a b 正确的是C ． 8．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）图1 图2第8题图AB C D【测量目标】平面图形的直观图和三视图.【考查方式】通过观察想象图形的三视图，得出答案． 【参考答案】B【试题解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中1D A 的正投影是 正方形的对角线（实线），1B C 的正投影被遮住是虚线，所以B 正确．9．设函数2()ln f x x x=+ 则 （ ） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x)的极小值点C ．x =2为 f (x )的极大值点D ．x =2为 f(x )的极小值点 【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】对所给函数求导，判断导函数的单调性，求出极值点． 【参考答案】C【试题解析】22212()x f x x x x-'=-+= ，当2x >时，()0f x '>；当2x <时()0f x '<，2x ∴=时极小值点．选C ．10．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a < b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a <vB ．vC ．v <2a b + D ．v =2a b+ 【测量目标】基本不等式与应用．【考查方式】通过一个实际问题列出不等式，并用均值不等式求出题中代数的关系式． 【参考答案】A【试题解析】设从甲地到乙地所走的路程为S ，则22221122,, A.2S ab v S S a b a ba bab a a b v a a v a b a==<=+++<∴=>=∴<<+ =二．填空题11．设函数发0()1,02x x f x x ⎧⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩…，则f （f （4-））=______【测量目标】分段函数值的求解．【考查方式】给出分段函数的解析式，直接求出函数值． 【参考答案】4【试题解析】41(4)()16,((4))(16)42f f f f --==∴-== ．12．观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111512343+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 ____________________________ 【测量目标】合情推理．【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜出一般的规律，得到答案． 【参考答案】2222211111111++.234566+++< 【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从1、2、3、4、5的平方依次增加1后的 平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和， 于是有：2222211111111++.234566+++<13. 在三角形ABC 中，角A ,B ,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a =2 ，B =π6，c b =_______【测量目标】解三角形．【考查方式】给出两边和一角，利用余弦定理直接求出三角形一边长． 【参考答案】2【试题解析】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理得b =2．14．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米【测量目标】抛物线的简单几何性质．【考查方式】用实际问题给出有关抛物线的数据，并计算出抛物线的标准方程，继而求出 水面的宽度．【参考答案】【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A （2，2-）则抛物线方程为2222,2=2(2),2=2,2,x py p p x y =---∴=-代入得当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B （a ,3-)则代入抛物线方程得：a 因此水面宽15.A （不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-…成立，则实数a 的取值范围是____【测量目标】绝对值不等式．【考查方式】直接根据绝对值不等式的性质求出a 的取值． 【参考答案】24a -剟【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得)(1)3,13,2 4.x a x a a ---∴--（剟剟15 B （几何证明选做题）在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB = 【测量目标】相似三角形的性质，相交弦定理．【考查方式】从圆中相似三角形得到相似比，再根据圆中相交弦定理得出结果． 【参考答案】5【试题解析】22Rt Rt ,,=,=15 5. 5.DF DEDEF DEB DE DF BD DE BDDE AE EB DF BD ∴==⨯=∴= △△即又由相交弦定理得 15 C （坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 【测量目标】极坐标方程．【考查方式】将给出极坐标化成普通方程，再由勾股定理求弦长．【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线 三．解答题：16.已知等比数列{}n a 的公比为q =12-． （1）若3a =14，求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ，k a ，2k a +，1k a +成等差数列【测量目标】等比数列的前n 项和及等差数列的性质．【考查方式】给出公比和数列一项求出首项，再求出等比数列前n 项和；并根据等比数列的概念和通项公式进行证明． 【试题解析】解：（1）由通项公式可得2311111()1,(1)241111()2()22.131()2n n n a a a S -=-==⎡⎤⨯--+-⎢⎥⎣⎦==--得步骤再由等比数列求和公式得：（步骤2）（2）证明：112111112121121,2()2()11(21)(2()()1)0,222()0,k k k k k k k k k k k k a a a a q a q a q a q q q a q a a a +-++--++∈∴-+=-+=--=----=∴-+=∴+N 成等差数列.（步骤3）17． （本小题满分12分）函数π()sin()16f x A x ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【测量目标】三角函数的图象和性质、由函数图象求解析式．【考查方式】根据图象的性质求出函数的各项系数，得到三角函数解析式；利用解析式和三角函数的关系判断出所给角度的大小． 【试题解析】1)132π2π,π.222π()2sin(2) 1.6A A T T Tf x x ω+=∴=∴==∴==∴=-+ 解：（，，又函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期，，（步骤1）（步骤2）ππ12()2sin()12,sin(),2662ππππ0,,2663πππ,.663f ααααααα=-+=∴-=<<∴-<-<∴-=∴= （）（步骤3）（步骤4）（步骤5）18．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C - 中，1AB AA =，π2CAB ∠=． （1）证明11CB BA ⊥；（2）已知2AB =，BC =，求三棱锥11C ABA -的体积． 【测量目标】垂直关系的证明，直三棱柱体积的计算．【考查方式】由线面垂直到线线垂直之间的不断转化.体积公式求解三棱柱体积．【试题解析】（1）如图，连结1AB , ∵111ABC A B C -是直三棱柱，π2CAB ∠=．， ∴AC ⊥平面11ABB A ，∵1BA ⊂平面11ABB A ∴1AC BA ⊥．（步骤1）又∵1AB AA =，∴四边形11ABB A 是正方形，∴11BA AB ⊥，又1CA AB A = ， ∴1BA ⊥平面1CAB ，∵1CB ⊂平面1CAB ，∴11CB BA ⊥．（步骤2）（2）∵12AB AA ==，BC =，∴111AC AC ==．（步骤3） 由（1）知，11AC ⊥平面1ABA ， ∴1111111221333C ABA ABA V S AC -==⨯⨯= △．（步骤4） 19．（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：甲品牌 乙品牌（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【测量目标】频率分布直方图． 【考查方式】通过频率直方图直接计算概率，据总体计算出甲达到要求的数量计算所求概率．【试题解析】5+2011200=10041200.4解：（）根据题意知：甲品牌产品寿命小于小时的频率为，因为用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于小时的概率为 2+=751515=.1452929（）有抽样结果，寿命＞200小时的产品有7570145个，其中甲品牌产品75个，因而在样本中寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，由此估计概率为 20．（本小题满分13分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点,A B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线的方程，直线与椭圆的位置关系．【考查方式】给出一个椭圆的标准方程求另一个与之有相同离心率的椭圆方程，根据点在直线上，点在椭圆上的坐标关系求出过两点的直线标准方程．【试题解析】（1）由已知可设椭圆2C 的方程为2221(2)4y x a a +=>，（步骤1）∵椭圆1C 和椭圆2C的离心率为2，=4a =． ∴椭圆2C 的方程为221164y x +=．（步骤2） （2）设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由2OB OA =及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，∴可设直线AB 的方程的方程为y kx =．（步骤3）∴椭圆2C 的方程为221164y x +=，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得212414x k =+，由221164y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222164x k =+，（步骤4） 由2OB OA = ，得22214x x =，即221616414k k =++， 解得1k =±，∴直线AB 的方程为y x =或y x =-．（步骤5） 21．（本小题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c =++∈∈*N R ．（1）设2,1,1n b c ==-…，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点； （2）设n 为偶数，(1)1,(1)1f f -剟，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，求b 的取值范围． 【测量目标】函数零点的求解和判断，求函数的最大最小值，函数性质的综合应用． 【考查方式】通过问题条件解出函数解析式，根据原函数单调性确定零点；计算具体函数值的代数形式，依靠不等式判断代数和的大小；以及利用分析推理论证，运算等方式解决更深层次的函数导数问题．【试题解析】(1)当2,1,1n b c ==-…时，()1n n f x x x =+-， ∵111()(1)(())10222nn n f f ⋅=-⨯<，（步骤1） ∴()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．又∵1(,1)2x ∈，1()10n n f x nx -'=+>，（步骤2）∴()n f x 在区间1(,1)2上是单调的，∴()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点．（步骤3）（2）由题意，知(1)1(1)1f b cf b c -=-+⎧⎨=++⎩，∴(1)(1)2f f b --=，(1)(1)12f f c +-=-，（步骤4）∴32(1)(1)3b c f f +=+--，∵1(1)1,1(1)1f f ---剟剟，∴630b c -+剟，∴3b c +的最小值为6-，最大值为0．（步骤5）（3）当2n =时，22()f x x bx c =++．对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，（步骤6）等价于2()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值之差4M …,据此分类讨论如下： （ⅰ）当12b >，即2b >时，22(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾；（步骤7） （ⅱ）当102b -<-<，即02b <…时，（步骤8） 222(1)()(1)422b b M f f =--=+…恒成立； （ⅲ）当012b -剟，即20b -剟时， 222(1)()(1)422b b M f f =---=-…恒成立； 综上可知，22b-剟．（步骤9）。
2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数53i4i+=-( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i2．设变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．33．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为()A ．8B ．18C ．26D ．80 4．已知a ＝21.2，0.81()2b -=，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 5．设x ∈R ，则“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．e e 2x xy --=，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A ．13 B ．1 C ．53D ．2 8．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP u u u r ＝λAB u u u r ，AQ uuur ＝(1－λ)AC u u u r ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r，则λ＝( )A ．13B ．23C ．43D ．2第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为__________．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知双曲线C 1：22221x y b -=(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：221416x y -=有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F 0)，则a ＝__________，b ＝__________．12．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，c =cos 4A =-． (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC =1，PC =，PD =CD =2．(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．19．已知椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0)，点P (5a ，2a )在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．20．已知函数f (x )＝13x 3＋12a -x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间［t ，t ＋3］上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值．1． C 2253i (53i)(4i)205i 12i 3i 1717i=1i 4i (4i)(4i)16i 17+++++++===+--+-． 2． B 由约束条件可得可行域：对于目标函数z =3x －2y ， 可化为3122y x z =－， 要使z 取最小值，可知过A 点时取得． 由220,240,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得0,2,x y =⎧⎨=⎩即A(0,2)，∴z =3×0－2×2=－4．3． C n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2； n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3； n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4； 4≥4，输出S ＝26． 4． A a ＝21.2，b ＝(12)－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1． ∴c ＜b ＜a ．5． A ∵2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或12x >， ∴“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件． 6． B 对于A 项，y ＝cos2x 是偶函数，但在区间(1，π2)内是减函数，在区间(π2，2)内是增函数，不满足题意．对于B 项，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C 项，()e e e e ()()22x x x xf x f x -------===-， ∴e e 2x xy --=是奇函数，不满足题意．对于D 项，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 7． D f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y =sin ［ω(x －π4)］． 又所得图象过点(3π4,0)， ∴3ππsin ()044ω=［－］． ∴πsin 02ω=． ∴ππ2k ω=(k ∈Z )． ∴ω=2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2． 8． B 设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0．()()BQ CP AQ AB AP AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝［(1－λ)b －a ］·(λa －b )＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴23λ=． 9．答案：－3解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3． 10．答案：30解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．∴几何体的体积V ＝V 棱柱＋V 长方体＝(12)12+⨯×4＋4×3×2＝6＋24＝30(m 3)． 11．答案：1 2解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴2b=．又C 1的右焦点为F 0)，∴c =a 2＋b 2＝5．∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2． 12．答案：3解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2=∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16． l 与x 轴交点A (1m，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴111111||||6322||2AOB S m n mn ∆=⋅=⋅≥⨯=． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =．14．答案：(0,1)∪(1,2)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩ 函数y =kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k ＜1或1＜k ＜k OC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜2．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以31()155P B ==．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A =，可得sin A =．又由sin sin a cA C=及a ＝2，c =sin C =． 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0．因为b ＞0，故解得b ＝1．所以sin C =，b ＝1．(2)由cos 4A =-，sin 4A =，得cos2A ＝2cos 2A －1＝34-，sin2A ＝2sin A cos A ＝所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝38-+．17．解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD =BC 且AD∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan 2PDPAD AD∠==． 所以，异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2．(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故A D ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB ．由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，23PC =，可得∠PCD ＝30°． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°3．由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ， 因此BC ⊥PC ．在Rt △PCB 中，2213PB PC BC =+=在Rt △PEB 中，39sin 13PE PBE PB ∠== 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913． 18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2证明：由(1)得 T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1．② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1． 所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2．19．解：(1)因为点P (55a ，22a )在椭圆上，故2222152a a a b+=，可得2258b a =． 于是222222318a b b e a a -==-=，所以椭圆的离心率64e =．(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故0221a x k-=+，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·22a b ＋4． 由(1)知2285a b =，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5．所以直线OQ 的斜率5k =±．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0． 当x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值极小值 ． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当(2)0,(1)0,(0)0,f f f -<⎧⎪->⎨⎪<⎩解得0＜a ＜13．所以，a 的取值范围是(0，13)． (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1．由(1)知f (x )在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．①当t ∈［－3，－2］时，t ＋3∈［0,1］，－1∈［t ，t ＋3］，f (x )在［t ，－1］上单调递增，在［－1，t ＋3］上单调递减．因此，f (x )在［t ，t ＋3］上的最大值M (t )＝f (－1)＝13-，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈［－3，－2］时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在［－3，－2］上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝53-，所以g (t )在［－3，－2］上的最小值为154(2)()333g -=---=． ②当t ∈［－2，－1］时，t ＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t ，t ＋3］．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝53-，f (－1)＝f (2)＝13-，从而M (t )＝f (－1)＝13-，m (t )＝f (1)＝53-． 所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43．综上，函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值为43．。
2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。
2012年辽宁高考数学文科试卷(带答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知向量a = (1,-1)，b = (2,x ).若a b = 1,则x = ( )A. -1 B .-12 C. 12D.1 【测量目标】平面向量的数量积与向量的坐标运算.【考查方式】给出含未知数向量的坐标表示和数量积，求未知数的值. 【参考答案】 D 【试题解析】21,1x x =-=∴=a b .（2）已知全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A =｛0,1,3,5,8｝，集合B =｛2,4,5,6,8｝，则()()UUA B =痧 ( )A. {5，8}B.{7,9}C. {0,1,3}D.{2,4,6} 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出集合，根据补集与交集的运算求解. 【参考答案】B【试题解析】因为全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A =｛0,1,3,5,8｝，集合B =｛2,4,5,6,8｝(步骤1)所以{}{}2,4,6,7,9,0,1,3,7,9U UA B ==痧.(步骤2)所以()()U U A B 痧={7,9}.（步骤3）（3）复数11i =+ （ ） A. 11i 22- B.11i 22+ C. 1i - D. 1i +【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，通过复数的四则运算化简求解. 【参考答案】A【试题解析】11i 1i 1i 1i (1i)(1i)222--===-++-. （4）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a += ( )A .12 B. 16 C. 20 D.24 【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的性质. 【考查方式】通过给出数列中两项之和，运用等差中项求解. 【参考答案】B 【试题解析】48111(3)(7)210,a a a d a d a d +=+++=+21011121048()(9)210,16a a a d a d a d a a a a +=+++=+∴+=+=.（5）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 ( )A. ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B. ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C. ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D. ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))+(x 2-x 1)<0 【测量目标】命题的否定以及全称命题和特称命题.【考查方式】给出一个命题，通过判断命题类型，得出命题的否定. 【参考答案】C【试题解析】命题p 为全称命题，所以其否定⌝p 应是特称命题，又(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)… 0否定为(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0.（6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则s i n 2α= ( )A. -1B.C.D. 1 【测量目标】三角函数的二倍角公式，同角三角函数的基本关系式.【考查方式】给出一个三角函数式，根据同角三角函数的基本关系式求解二倍角. 【参考答案】A【试题解析】2sin cos (sin cos )2,sin 2 1.ααααα-=∴-=∴=-（7）将圆x 2+y 2 -2x -4y +1=0平分的直线是 ( ) A. x +y -1=0 B. x +y +3=0 C. x -y +1=0 D.x -y +3=0【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出圆的一般方程，转化成圆的标准形式,求通过圆心的直线方程. 【参考答案】C【试题解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心. （8）函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为 ( ) A.（-1,1] B.（0,1] C. [1，+∞） D.（0，+∞） 【测量目标】利用导数判断函数的单调区间.【考查方式】给出函数运用求导公式得出导函数，再根据导函数的性质求解单调区间. 【参考答案】B 【试题解析】211ln ,,02y x x y x y x''=-∴=-由≤，.解得0,01x x x >∴<…-1≤≤1,又 （9）设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x +3y 的最大值为 ( )A. 20B. 35 C .45 D. 55 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出不等式组，根据目标函数找到最优解求出最值. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域，根据图形可知当x =5,y =15时2x +3y 最大，最大值为55.（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 ( )第九题图A. 4B.32C.23D. -1【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序图，根据程序的算法求S . 【参考答案】D【试题解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3S i S i S i ===-=== 3,4;4,5;1, 6.2S i S i S i =====-=（11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 ( ) A.16 B. 13 C. 23 D. 45【测量目标】函数模型的应用，几何概型.【考查方式】建立函数模型，利用矩形面积得到不等式，最后通过几何概型的运算得出概率. 【参考答案】C【试题解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2.（步骤1）由(12)20x x ->，解得210x <<.又012x <<.(步骤2) 所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23.（步骤3） （12）已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ,Q 的横坐标分别为4，-2，过P ,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ( ) A. 1 B. 3 C. -4 D. -8【测量目标】导数在实际问题中的应用.【考查方式】通过给出抛物线方程，代入得到两点的纵坐标，通过求导公式得出切线方程的斜率，联立方程组求交点. 【参考答案】C【试题解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2（步骤1）.由22,x y =则21,,2y x y x '=∴=所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,2 2.y x y x =-=--（步骤2） 联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4.(步骤3)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】观察给出三视图，直接利用相应几何体的体积公式求出体积. 【参考答案】12+π【试题解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高为1，所以该几何体的体积为341π11112π⨯⨯+⨯⨯⨯=+.（14）已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n +2）=5a n +1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________. 【测量目标】等比数列的通项公式.【考查方式】给出等比数列递推关系式，运用通项公式进行转化，求解q . 【参考答案】2【试题解析】22212()5,2(1)5,2(1)5,n n n n n a a a a q a q q q +++=∴+=∴+=,解得2q =或12q = 因为数列为递增数列，且10,a >所以1, 2.q q >∴= （15）已知双曲线x 2- y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________. 【测量目标】直线与双曲线的位置关系.【考查方式】给出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义得到线段之间的关系式，通过运算求解动点到两定点的距离之和.【参考答案】【试题解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=（步骤1）222121212,(2)8,24PF PF PF PF c PF PF ⊥∴+==∴=（步骤2）21212()8412,PF PF PF PF ∴+=+=∴+=（步骤3）（16）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为.若PA 则△OAB 的面积为_____________ 【测量目标】柱、锥、台、球的表面积.【考查方式】利用空间想象建立模型，将问题带到模型中去求面积.【参考答案】【试题解析】点P A B C D 、、、、为O 内接长方体的顶点， 球心O 为该长方体对角线的中点，OAB ∴△的面积是该长方体对角面面积的14,26AB PA PB ==∴=，OAB ∴△的面积164=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分12分)在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值.【测量目标】三角形的正弦定理、余弦定理、及等差、等比数列的性质. 【考查方式】给出三角形的内角之间的关系，求解B ∠的余弦值. 【试题解析】解:(Ⅰ)有已知2,180B A C A B C =+++=，解得60B =,所以1c o s2B =.（步骤1） ……6分(Ⅱ)(解法一)由已知2,b a c =以及1cos ,2B =根据正弦定理得到223sin sin sin ,sin sin =1cos .4B AC A C B =-=（步骤2） ……12分（解法二）由已知2,b ac =及1cos ,2B =根据余弦定理得 22cos ,2a c acB ac+-=解得a c =，所以B =A =C =60，故3sin sin =.4A C （步骤3） ……12分 （18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，2,AB AC ==AA '=1，点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面A ACC '';(Ⅱ)求三棱锥A MNC '-的体积. （锥体体积公式V =13Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 【测量目标】空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算. 【考查方式】以三棱柱为载体，考查线面平行和锥体的体积.【试题解析】(Ⅰ)解：(证法一)连结AB ',AC ' ,由已知90,BAC ∠= AB =AC ,三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱. 所以MN A C ''∥, MN ⊄平面A ACC ''A C ''⊂平面,A ACC ''因此MN ∥平面A ACC ''.（步骤1）……6分（证法二）取A B ''中点P ，连结MP 、NP .由于M 、N 分别为AB B C '''与的中点，所以,MP AA PN A C '''∥、∥所以MP ∥平面A ACC '',PN ∥平面A ACC '',又,MP NP P =因此平面MPN ∥平面A ACC ''.由于MN ⊂平面MPN 因此MN ∥平面A ACC ''.……6分 (Ⅱ)（解法一）连结BN ，由题意,A N B C '''⊥平面A B C '''平面B BCC B C ''''=所以A 'N ⊥平面NBC .又112A NBC '''==，故 111.226A MNCN A MC N A BC A NBC V V V V ''''----==== （步骤3）……12分（解法二）11.26A MNC A NBC M NBC A NBC V V V V '''----=-==（步骤4）……12分（19）(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【测量目标】统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型.【考查方式】给出频率分布直方图，运用其特点，并利用独立性检验与实际问题的联系，考查古典概型求概率.【试题解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：（步骤1）……3分 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22211222221121()10030104515)100= 3.030.7525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯（≈因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. （步骤2） ……6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为()()()()()1213231112={,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b Ω()()()()()2122313112,,,,,,,,,}.a b a b a b a b b b 其中i a 表示男性，i =1,2,3.j b 表示女性，j =1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现时等可能的.用表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A =()()()()()()()11122122313212={,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b b b Ω， 事件A 由7个基本事件组成，因而()7.10P A =（步骤3） ……12分 （20）(本小题满分12分)如图，动圆2221:C x y t +=,1<t <3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点. (Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.【测量目标】圆锥曲线的轨迹问题，圆锥曲线中的探索性问题..【考查方式】给出动圆方程及椭圆方程，将几何问题转化为函数的最值问题，并根据待定系数法求解直线方程，再利用圆锥曲线与动直线的关系求解轨迹方程. 【试题解析】解（Ⅰ）设()00,,A x y 则矩形ABCD 的面积S =400x y .由22001,9x y +=得220019x y =-，从而 222222000001991.9924x x y x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2200max 91,=6.22x y S ==，从而t =ABCD 的面积最大，最大面积为6.（步骤1）……6分（Ⅱ）由00(,)A x y ，()0,012(),(3,0),3,0B x y A A --知直线1AA 的方程为00(3).3y y x x =++ ① 直线2A B 的方程为 200(3).3y y x x -=-- ② 由①②得 222020(9)9y y x x -=-- ③ 又点()00,A x y 在椭圆C 上，故220019x y =- ④ 将④代入③得2219x y -= ()3,0.x y <-< 因此点M 的轨迹方程为2219x y -=()3,0.x y <-<（步骤2） ……12分 （21）(本小题满分12分)设()ln 1f x x =，证明：(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤32（1x -） (Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+ 【测量目标】利用导数解决不等式问题，利用导数求函数的单调区间.【考查方式】给出不等式，考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力.【试题解析】(Ⅰ)(证法一)记()3()ln 11,2g x x x =--则当x >1时()132g x x '=+<.又g (x )<0.有()0,g x <即f （x ）<3(1)2x -（步骤1 ）……4分 （证法二）由均值不等式，当x >1时，1,x + 故1.22x<+ ①令k （x ）=ln 1.x x -+则1(1)0,()10.k k x x '==-<故()0,k x <即ln 1.x x <- ②由①②得，当1x >时，3()(1).2f x x <-（步骤2）……4分 (Ⅱ)(证法一) 记9(1)()().5x h x f x x -=-+由（Ⅰ）得2154()(5)h x x x '=++22542(5)x x =-+ 25544(5)x x x +<-+ 32(5)216.4(5)x xx x +-=+令3()(5)216,g x x x =+-则当13x <<时2()3(5)2160.g x x '=+-<因此g （x ）在（1,3）内是递减函数，又由(1)0,g <得g （x ）<0,所以()h x '<0.（步骤3）……10分因此h （x ）在（1,3）内是递减函数，又(1)0,h =得()0.h x <于是当13x <<时，9(1)().5x f x x -<+（步骤4） ……12分 （证法二）记()(5)()9(1).h x x f x x =+--则当1<x <3时，由(Ⅰ)得 ()()(5)()9h x f x x f x ''=++-()()311592x x x ⎛<-++- ⎝13(1)(5))182x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦ 11[3(1)(5)(2)18]222x x x x x x ⎡⎤<-++++-⎢⎥⎣⎦21(73225)0.4x x x =-+<（步骤5） ……10分 因此h （x ）在（1,3）内单调递减，又h （1）=0，所以h （x ）<0,记9(1)().5x f x x -<+ （步骤6） ……12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O '相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB =；(Ⅱ) AC AE =.【测量目标】直线与圆，圆与圆的位置关系.【考查方式】考查了平面几何的基础知识，通过数形结合考查了学生的转化能力，而且体现了相似三角形的相关概念.【试题解析】证明：（Ⅰ）由AC 与⊙O '相切于A ，得,CAB ADB ∠=∠同理,ACB DAB ∠=∠所以ACB DAB △∽△,从而,AC AB AD BD= 即AC BD AD AB =.（步骤1）……4分（Ⅱ）由AD 与⊙O 相切于A ，得,AED BAD ∠=∠又,ADE BDA ∠=∠得,EAD ABD △∽△从而,AE AD AB BD= 即.AE BD AD AB =（步骤2） ……8分 结合（Ⅰ）的结论，AC =AE . （步骤3） ……10分(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆12C C 与圆的公共弦的参数方程.【测量目标】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.【考查方式】通过圆的标准方程来获得圆的极坐标方程，考查了参数方程的求法.【试题解析】（Ⅰ）解：圆1C 的极坐标方程为ρ=2，圆2C 的极坐标方程ρ=4cos θ.解24cos ρρθ=⎧⎨=⎩ 得ρ=2，π,3θ=± 故圆1C 与圆2C 交点的坐标为（2，π3）,(2,π3-).（步骤1） ……6分 注：极坐标系下点的表示不唯一.（Ⅱ）（解法一）由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标分别为（11，.故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1x y t=⎧⎨=⎩，t（步骤2） ……10分（或参数方程写成1x y y =⎧⎨=⎩t （解法二）将x =1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1,ρθ=从而1cos ρθ=. 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1tan x y θ=⎧⎨=⎩ ，ππ.33θ-剟（步骤3）……10分 (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|1|()f x ax a =+∈R ，不等式()3f x …的解集为{|2x -剎1x …｝.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若|()2()|2x f x f k -…恒成立，求k 的取值范围.【测量目标】分段函数、不等式的基本性质、含有绝对值不等式的求解.【考查方式】给出了带未知系数的绝对值函数，考查绝对值不等式的应用，用恒成立问题考查分段函数的运用,也考查分类讨论思想在解题中的灵活运用. 【试题解析】解：（Ⅰ）由13ax +…得4 2.ax -剟又()3f x …的解集为{}21,x x -剟(步骤1)所以当0a …时，不合题意.当0a >时，42,x a a-剟得 a =2. （步骤2） ……5分(Ⅱ)记()()2(),2x h x f x f =-则1,1,1()43,1,21,1,2x h x x x x -⎧⎪=---<<-⎨⎪-⎩-…… 所以()1h x …因此1.k …（步骤3）……10分。
2012年天津市高考数学试卷(文科)及解析
2012年天津市高考数学试卷〔文科〕一、选择题〔共8小题，每题5分，共40分〕1．〔2012•天津〕i是虚数单位，复数=〔〕A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i2．〔2012•天津〕设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为〔〕A．﹣5B．﹣4C．﹣2D．33．〔2012•天津〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为〔〕A．8B．18C．26D．804．〔2012•天津〕已知a=2，b=〔〕，c=2log52，则a，b，c的大小关系为〔〕A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．〔2012•天津〕设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．〔2012•天津〕以下函数中，既是偶函数，又在区间〔1，2〕内是增函数的为〔〕A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0C．y=D．y=x3+1，x∈R7．〔2012•天津〕将函数y=sinωx〔其中ω＞0〕的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是〔〕A．B．1C．D．28．〔2012•天津〕在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．假设=2，则λ=〔〕A．B．C．D．2二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕9．〔2012•天津〕集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为_________．10．〔2012•天津〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，则该几何体的体积为_________m3．11．〔2012•天津〕已知双曲线C1：与双曲线C：〔a＞0，b＞0〕有相同的渐近线，且C1的右焦点为F〔，0〕．则a=_________，b=_________．12．〔2012•天津〕设m，n∈R，假设直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_________．13．〔2012•天津〕如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为_________．14．〔2012•天津〕已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________．三、解答题〔本大题共6小题，共80分〕15．〔2012•天津〕某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．〔1〕求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；〔2〕假设从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．〔ⅰ〕列出所有可能的抽取结果；〔ⅱ〕求抽取的2所学校均为小学的概率．16．〔2012•天津〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．〔1〕求sinC和b的值；〔2〕求cos〔2A+〕的值．17．〔2012•天津〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．〔1〕求异面直线PA与BC所成角的正切值；〔2〕证明：平面PDC⊥平面ABCD；〔3〕求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．18．〔2012•天津〕已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．〔1〕求数列{a n}与{b n}的通项公式；〔2〕记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n﹣8=a n﹣1b n+1〔n∈N*，n≥2〕．19．〔2012•天津〕已知椭圆，点P〔〕在椭圆上．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．假设点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．20．〔2012•天津〕已知函数f〔x〕=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕假设函数f〔x〕在区间〔﹣2，0〕内恰有两个零点，求a的取值范围；〔3〕当a=1时，设函数f〔x〕在区间[t，t+3]上的最大值为M〔t〕，最小值为m〔t〕．记g〔t〕=M〔t〕﹣m〔t〕，求函数g〔t〕在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．2012年天津市高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题5分，共40分〕1．〔2012•天津〕i是虚数单位，复数=〔〕A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年高考新课标全国卷文科数学试题附答案
学习资料收集于网络，仅供参考 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符一、选择题：本大题共12小题，每小题5 合题目要求的。
2 |?1<x<1}，则?x?2<0}，B={xx|A={（1）已知集合x??∩B=?（D）A （C）A=B （A）AA B （B）B??i?3?＝的共轭复数是（2）复数z i2?i1???i1?i?2?i2 C （））（D（A）（B）不全相等）的,xx,x,…，…，（x，y）（n≥2，，（3）在一组样本数据（x，y），（xy）n121nn12211y??x 上，则这组样本）(i=1,2,…,n)都在直线，散点图中，若所有样本点（xy ii2数据的样本相关系数为11）（D ）0 （C）B?（A）1 （222yxa b?FFE是椭圆＞：0=1（（4）设）的,＞2122baa3PFF?x P上一点，△为直线左、右焦点，122030E的离心率为的等腰三角形，则是底角为4231D.（B）C（A））（5423ABC在第一象限，若点（x，y）在△）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C（5y??x?z内部，则的取值范围是3) (0，1+ （D）（C）(3－1，2) 2) B (1（A），－32) （）(0，NN和实2)≥（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(aaaBA，输出，数，，则，…，N12aaa BA+的和为，，…，（A）N12BA?aaa，…，B（），的算术平均数为N122aaa BA中的最大数，…，）（C和分别为，N12和最小数学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考aaaBA，（D）中的最小数和最大数和，…，分别为N12，粗线画出的是）如图，网格上小正方形的边长为1（7某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6B）9 （）12 （C18（D）??，则此球的体积2到平面(8)平面的距离为截球O的球面所得圆的半径为1，球心O 为（D）π6C（）346π（A（）6πB）43π??5?????xx)x?f(?x?)?sin(0图像的两条=是函数，直线9）已知和>0，=（44?=相邻的对称轴，则3ππππ（D））（C A（）（B）44322x CC x16y?A、的中心在原点，焦点在轴上，的准线交于与抛物线（10）等轴双曲线C34|AB|B两点，=，则的实轴长为2228 D））（（C）4 （A）（B1x xxlog4?，则a的取值范围是(11)当0<时，≤2a222) ，）( （D1) ，（C）2(1（A）(0，，) （B）2) (22n aa1n??1)a?2a?(项和为的前，则{60}（12）数列{}满足nnn1n?1830 D）（）（C1845 （A）3690 （B）36605分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标[1]
![2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8bc484dae2bd960591c67725.png)
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.Ⅱ·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 （4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6（B ）9（C ）12（D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
(完整word版)2012年全国高考新课标1卷数学文科高考试题
2012年新课标1卷数学(文科)第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B φ=2．复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线112y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1B ．0C ．12D ．14．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．455．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ）A ．（13-，2）B ．（0，2）C ．（31-，2）D ．（0，13+）6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．AB +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数否是是1k k =+B x=A x=结束输出A ，B ?k N ≥?x B <kx a =?x A >开始输入N ，1a ，2a ，…，N a1k =，1A a =，1B a =否是 否D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．158．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的 距离为2，则此球的体积为（ ） A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．34π 10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．811．当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，22） B ．（22，1） C ．（1，2） D ．（2，2） 12．数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830第Ⅱ卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n ≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（0，1+）【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f （x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B12．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x ﹣3．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．14．（5分）（2012•新课标）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣215．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：316．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A ﹣）=1，所以A=；=bcsinA=，所以bc=4，（2）S△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（i）这100天的日利润的平均数为元；（Ⅱ）（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)学生版
2012 年全国一致高考数学试卷（文科） （纲领版）一．选择题1．（5 分）（2012?纲领版）已知会合 A={ x| x 是平行四边形 } ， B={ x| x 是矩形 } ，C={ x| x 是正方形 } ，D={ x| x 是菱形 } ，则（ ）A ．A? BB ．C? BC ．D? CD ．A? D2．（5 分）（2012?纲领版）函数的反函数是（）A ．y=x 2﹣ 1（ x ≥0）B ．y=x 2﹣1（x ≥ 1）C ．y=x 2+1（x ≥ 0）D ．y=x 2+1（x ≥1）3．（ 5 分）（ 2012?纲领版）若函数，是偶函数，则 φ=（ ）A ．B ．C ．D ．4 ．（5 分）（ 纲领版）已知 α为第二象限角，，则 sin2 α=（）2012?A ．B ．C ．D ．5．（5 分）（2012?纲领版）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 x=﹣ 4，则该椭圆的方程为（ ）A ．．B C ．．D6 ．（5分）（纲领版）已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1， nn +1，则当2012?=1 S =2an ＞1 时， S n =（ ）A ．（ ） n ﹣1B ．2n ﹣1C ．（ ） n ﹣1D ． （ ﹣ 1）7．（5 分）（2012?纲领版） 6 位选手挨次演讲，此中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不一样的演讲序次有（ ）A ．240 种B ．360 种C ．480 种D ．720 种8．（5分）（2012?纲领版）已知正四棱柱ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 中， AB=2，CC 1=2，E 为 CC 1 的中点，则直线 AC 1 与平面 BED 的距离为（）A ．2B ．C ．D ．19．（ 5 分）（ 2012?纲领版）△ABC 中，AB 边的高为 CD ，若= ， = ， ? =0，| | =1，| | =2，则 =（）A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）（ 2012?纲领版）已知 F 1、F 2 为双曲线 C ：x 2﹣ y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 1| =2| PF 2| ，则 cos ∠ F 1 2 （ ） C 上，| PF PF=A ．B ．C ．D ．11．（ 5 分）（2012?纲领版）已知 x=ln π， y=log 52，，则（）A ．x ＜y ＜zB ．z ＜ x ＜ yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x12．（ 5 分）（2012?纲领版）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， ．定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当遇到正方形的边时反弹， 反弹时反射角等于入射角． 当点 P 第一次遇到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（）A ．8B ．6C ．4D ．3二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，在试卷上作答无效）13．（ 5 分）（2012?纲领版）的睁开式中 x 2 的系数为．14．（ 5 分）（纲领版）若 x ， y 知足拘束条件则 z=3x ﹣y 的2012?最小值为．15．（ 5 分）（2012?纲领版）当函数 y=sinx ﹣ cosx （ 0≤ x ＜2π）获得最大值时，x= ．16．（ 5 分）（2012?纲领版）已知正方体 ﹣ 1 1 1 1 中，E ，F 分别为 BB 1，ABCD A BCDCC 1 的中点，那么异面直线 AE 与 D 1F 所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．（ 10 分）（ 2012?纲领版）△ ABC中，内角 A， B， C 成等差数列，其对边a，b，c 知足 2b2=3ac，求 A．18．（ 12 分）（ 2012?纲领版）已知数列 { a n} 中， a1=1，前 n 项和（1）求 a2， a3；（2）求 { a n } 的通项公式．19．（ 12 分）（2012?纲领版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD为菱形， PA ⊥底面 ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明： PC⊥平面 BED；（Ⅱ）设二面角A﹣ PB﹣ C 为 90°，求 PD 与平面 PBC所成角的大小．20．（ 12 分）（2012?纲领版）乒乓球竞赛规则规定：一局竞赛，对方比分在10平前，一方连续发球 2次后，对方再连续发球两次，挨次轮换．每次发球，胜方得 1 分，负方得 0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的输赢结果互相独立．甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1：2 的概率；（2）求开始第 5 次发球时，甲当先得分的概率．21．（ 12 分）（ 2012?纲领版）已知函数．（1）议论 f（x）的单一性；（2）设 f（x）有两个极值点 x1，x2，若过两点（ x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y=f（x）上，求 a 的值．2与圆：22（．12 分）（2012?纲领版）已知抛物线 C：y=（x+1）（r＞0）有一个公共点 A，且在 A 处两曲线的切线为同向来线l．（Ⅰ）求 r；（Ⅱ）设 m，n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线， m， n 的交点为 D，求D 到 l 的距离．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =
(A) —1 (B) —1
2 (C)
1
2 (D)1
2.已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则
(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}
3）复数
1
1i
= +
(A) 11
22
i
-
(B)
11
22
i
+
(C) 1i- (D) 1i+
4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
5）已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)≥0，则⌝p是
(A) ∃x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)≤0 (B) ∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)≤0 (C) ∃x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0 (D) ∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0
6
）已知sin cos
αα
-=，α∈(0，π)，则sin2α=
(A) -
1 (B) 2
-
(C) 2 (D) 1
7）将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是
（A）x+y-1=0 （B） x+y+3=0 （C）x-y+1=0 （D）x-y+3=0
8）函数y=1
2x2-㏑x的单调递减区间为
（A）（
-1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）
9）设变量x，y满足
10,
020,
015,
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
≤+≤
⎨
⎪≤≤
⎩
…
剟
剟
则2x+3y的最大值为
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是
(A) 4 (B) 3
2 (C)
2
3 (D) -1
11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45
12）已知P,Q 为抛物线x2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
_______________.
14）已知等比数列｛an ｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列｛an ｝的公比q = _______. 15）已知双曲线x2 - y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F1⊥P F2, 则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___.
16）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为
则△OAB 的面积为______________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。
角A ，B ，C 成等差数列。
(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。
18）(本小题满分12分)
如图，直三棱柱/
/
/
ABC A B C -，90BAC ∠=，
AB AC =AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
(Ⅰ)证明：MN ∥平面//
A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/
A MNC -的体积。
（椎体体积公式V=1
3Sh,其中S 为地面面积，h 为高）
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。
Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。
附
2
2
112212211212(),
n n n n n n n n n χ++++
-=
20）(本小题满分12分)
如图，动圆222
1:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2
219x y +=相交
于A ，B ，C ，D 四点，点
12,A A 分别为2C 的左，右顶点。
Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面
积；
Ⅱ)求直线AA1与直线A2B 交点M 的轨迹方程。
设()ln 1f x x =，证明： (Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 3
2（ 1x -）
(Ⅱ)当13x <<时，
9(1)()5x f x x -<
+
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 和⊙/
O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两
圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。
证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC AE =。
23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆
22
2:(2)4C x y -+=。
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点
坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆
12C C 与的公共弦的参数方程。
24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…｝。
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若|()2()|2x
f x f k
-≤…恒成立，求k 的取值范围。