北师大版数学必修四：《弧度制》导学案(含解析)

第2课时弧度制
1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化.
2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题.
3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度?
问题1:弧度制的定义
以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad.
问题2:角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度:360°=,180°=,1°=≈0.01745rad,n°= rad.
②将弧度化为角度:2π=,π=,1rad=()°≈57.30°=57°18',n
rad=()°.
问题3:弧度制下终边相同的角的表示
(1)与任意角α终边相同的角组成的集合为,其中α为角的弧度数.
(2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应.
(3)在表示与角α终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30°+2kπ或+k·360°,
即同一表达式中度量单位要.
问题4:弧长公式及扇形的面积公式
(1)弧长公式:
①弧度制:;
②角度制:.
(2)扇形的面积公式:
①弧度制:;
②角度制:.
上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算.
1.225°角的弧度数为().
A.B.C.D.
2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为().
A.40πcm2
B.80πcm2
C.40cm2
D.80cm2
3.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是.
4.两角差为1°,两角和为1rad,求这两角的弧度数.
角度与弧度的互化
(1)把22°30'化成弧度;
(2)把化成角度.
用弧度表示终边相同的角
(1)将-1485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π;
(2)若β∈[0,4π],且β与(1)中α的终边相同,求β.
与弧度制有关的综合题
已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.
(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
设角α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1、α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1、β2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们有相同终边的所有角.
单位圆上一点A(1,0)依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来的位置,那么θ是多少弧度?
(1)已知扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12cm,求弧长l.
(2)已知扇形的圆心角为90°,弧长为l,求此扇形内切圆的面积.
1.圆的半径是6cm,则圆心角为15°的扇形面积是().
A.cm2
B.cm2
C.πcm2
D.3πcm2
2.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为().
3.已知2kπ+<α<2kπ+(k∈Z),则为第象限角.
4.若2弧度的圆心角所对的弦长为2cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是多少?
设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是.
考题变式(我来改编):
第2课时弧度制
知识体系梳理
问题2:①2ππ②360°180°
问题3:(1)S={β|β=α+2kπ,k∈Z}(2)一一对应唯一唯一(3)统一问题4:(1)l=|α|r l=(2)S=lr=|α|r2S=
基础学习交流
1.C因为1°=rad,所以225°=225×=.
2.B72°=,S扇形=|α|R2=××202=80π(cm2).
3.2radα===2(rad).
4.解:设两角分别为α、β,则有α-β=,α+β=1,解得α=+,β=-.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)22°30'=22.5°=22.5×=rad.
(2)rad=×()°=()°=10°.
【小结】弧度制与角度制的互化应熟悉其互化规则.在利用弧度制表示角时,“弧度”或“rad”可省略不写.
探究二:【解析】(1)∵1485°=1485×==8π+,
∴-1485°=-8π-=-10π+.
(2)∵β与α的终边相同,
∴β=2kπ+α=+2kπ(k∈Z).
又∵β∈[0,4π],∴β1=,β2=+2π=.
【小结】在将角度化成弧度的过程中,要注意负角应怎么化,这里容易忽略β∈[0,4π]这个条件.
探究三:【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,
∵α=60°=,R=10,∴l=π(cm),
S弓=S扇-S△=×π×10-×10×10sin60°=50(-)(cm2).
(2)由已知得2R+l=c,∴R=(l<c),∴S=Rl=··l=(cl-l2)=-(l-)2+,
∴当l=时,S max=,此时α===2,
∴当扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.
【小结】本题是弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用,公式简明,运算非常简便.
思维拓展应用
应用一:(1)∵180°=πrad,
∴-570°=-570×=-,
∴α1=-=-2×2π+.同理,α2=2×2π+.
∴α1是第二象限角,α2是第一象限角.
(2)∵β1==×()°=144°,设θ=k·360°+β1(k∈Z),由-720°≤θ<0°
得,-720°≤k·360°+144°<0°,
∴k=-1或k=-2,∴在-720°~0°之间与β1有相同终边的角是-216°,-576°.
同理,β2=-×()°=-315°,且在-720°~0°之间与β2有相同终边的角是-315°和
-675°.
应用二:【解析】∵0<θ≤π,∴0<2θ≤2π,
又2θ在第三象限,∴π<2θ<π,
又∵14θ=2kπ,k∈Z,∴2θ=kπ,k∈Z.
当k=4,5时,2θ=π,π,它们都在(π,π)内,
因此θ=πrad或θ=πrad.
应用三:
(1)设扇形的半径为R cm,如图.
由sin60°=,得R=4cm.
所以l=|α|R=×4=π(cm).
(2)设扇形的半径为R,其内接圆的半径为r,则有l=R·,r+r=R,于是r=l·(-1).
故内切圆的面积S=πr2=π·[l·(-1)]2
=l2.
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1.B∵15°=,∴l=×6=,∴S=lr=××6=(cm2).
2.C∵P0(,-),∴∠P0Ox=,按逆时针转时间t后得,∠POP0=t,∠POx=t-,此时点P的纵坐标为2sin(t-),∴d=2|sin(t-)|.当t=0时,d=,排除A、D;当t=时,d=0,排除B,故选
C.
3.一或三
4.解:由弧长公式l=|α|r可知,r===1cm,故圆心角所夹的扇形的面积为S=lr=×2×1=1(cm2).
全新视角拓展
2由题意得S=(8-2r)r=4,整理得r2-4r+4=0,解得r=2.又l=4,故|α|==2(rad).
思维导图构建
所对的圆心角|α|r2。