《泛函分析》课后习题答案(张恭庆)

0
inf f tn
0,
n1
0
0, 1 .
1.3.3 在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的, 并且通 过考虑
2 的子集
1
ek k 1, ek 0, 0, , 1, 0,
k
来说明一个集合可以是有界但不完全有界.
证 设 M 是完全有界集, 那么
0,
M的
有限的
网. 特别对
1 ,设
n
M
B xk, 1
N
x1 , x2 , , xn , 则有
X 是紧集,求证 M
上连续函数必有界,亦达到它的上,下确界.
证明 f x0
f xnk
,
sup f x
fx
xM
0, x
M, f x
xn ,
1 n
f xn
f x0
f xnk
f x0
注 紧集条件不可少. 例 0, 1
. 上考虑
xn t , f tn
xn t 1 t2ndt
0
tn, f x
1 2n 1
1 x2 t dt
k1
. 于是
x M , 设 a 为空间 X 的一个固定元. 我们有
x, a
x, xk
xk, a
1
max
1kn
xk, a ,
即 M 是有界的.
下面说明 ek k 1 有界但不完全有界. 首先, 对
k , 2 ek,
1 , 其中
0, 0, , 0, .
由此可见 ek k 1 有界. 再注意到
ei ej 0, 0, , 1, 0,
1 n
0
x2
1 n2
1
1 n
x2
1 n2
1
1 n
I2
2 n
但是 fn x
x2
1 n2
1
dx
x2
1 n2
x
1
1
dx
n
x2
1 n2
x
0
1
dx
n3
x2
1 n2
x
1
dx
x2
1 n2
x
1
1 n
n3
n3
0
n
.
|x |
C1 0, 1 .
1
1 n
dx
2
21
n2
n
1.4.4 在 C 0, 1 中，对每个 x C 0, 1 令
x1, x2
max x1 1, x2 2
其中 1 和
2 分别是 X 1 和 X 2 的范数，求证：如果
X 1, X 2 是B空间，那末 X 也是B空间.
证明 设 x n 是 X 中的基本列.则
xn
xm
0 n, m
x
n 1
x
m 1
1
0 n, m
x
n 2
x
m 2
2
0 n, m
因为 X 1 是 B 空间,所以 x1
注 折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定.
x(t)
x(a)
a
xt |x t |
xa
bx ba
|x a
|
bx ba
x(b)
bt
xb
xa ba
|x
b
|
xa ba
max |x a |, |x b | .
2
1.4.3 在 C 1 a, b 中令
x1
b
|x t |2
1
|x t |2 dt 2
x
C1 a, b
网,
0 , 取定一个 n 充分大, 使得
1 2n
点的集合
, 考虑形如 H , 其中
hn 1, 2,
1, 2, , n, 0, 0,
n
, n, n 1,
的 A.因
为
x, hn
1
| k|
k n 1 2k 1 | k|
1 k n 1 2k
1 2n
.
所以 H 是 A 的 网.
再证 H 是在 S 中列紧的. 事实上, 可以将 H 看做
d
1 nk
,
并令
k
.
再证 d 0. 用反证法．如果 d 0,
则有 d
f x0 , f f x0
x0, f x0
d ， 矛盾．
1.3.9 设 M, 是一个紧距离空间,又 E
CM , E
中函数一致有界并满足下列:
|x t1 x t2 | c t1, t2
x
E, t1, t2
M ,其中 0
证 E 在 C M 中是列紧集.证
0,
M0 ,
|x2 x1 |
|F x2 F x1 |
F E.
即 E 等度连续.
1.3.6 求证 sin nt n 1 在 C 0,
中不是列紧的.
证: 只要证 sin nt n 1 非等度连续.
对0
1,
0, 取 k N, 使得
1 k
, nk
2k,
tk
4k
0, ,
|tk 0|
4k
1 k
t0
0,
,
|sin nk tk sin nk 0|
n 1
x1
,
1
x
n 2
x2 2
2
n N.
1.4.7 设 X 是 B 空间,求证： X 是 B 空间，必须且仅须
对
6
xn
X,
xn
n1
mp
xn
n1 mp
收敛.
xn
xn
证
由
m
m
显然.
设 xn 是基本列, 由1.2.2 只要 xn 存在一
串收敛子列.
事实上, 对 k 是基本列,
, 取k
1 2k
,
因为
xn
所以 N k, 使得
但因为 F 2 紧, 存在它们的子序列 ynkj 收敛,设
y nk j
x2
F 2 , 即有
d
xnkj , ynkj
d
1
j
nkj
d
x1, x2 .
1.3.5 设 M 是 C a, b 中的有界集,求证集合
x
M
Fx
f t dt | f M
a
是列紧集.
证: 设 E
Fx
x f t dt | f
a
M,
f M, |f t | M 0
2
集，求证
x1 其中
F1, x2
F 2 , 使得 F 1, F 2
x1, x2 ,
F1, F2
def inf
x F1,y F2
x, y .
证明 记 d
F1, F2 ,
x
F1, y
F2.
n
N, xn
F1, yn
F2,
d
xn, yn
d
1 n
设 xnk
x1
F 1, 相应的 ynk
ynk 未必收敛,
F 2, 序列
全体，对于每个 f BC 0, 及 a 0, 定义
fa
e ax|f x |2 dx
0
1 2
.
(1)求证 a 是 BC 0, 上的范数．
(2)若 a, b 0, a b
4
求证 a, b 作为 BC 0, 上的范数是不等价的．
证明 不妨假设 b a 0, 显然有 f b
f a, 由
此可见,为了证明
不等价性, 只要证不存在 c 0, 使得
x
M
Fx
f t dt | f M
a
是列紧集.
证: 设 E
Fx
x f t dt | f
a
M,
f M, |f t |
|F x |
x f t dt
a
F E. 即 E
M0
t
Hale Waihona Puke Baidu
b|f t |dt
a
一致有界.
a, b M0 b a
|F x2 F x1 |
x2 f t dt
x1
x2 |f t |dt
x1
M 0|x2 x1 |
x1
1
|x t |2dt
1
2; x 2
1
1
1
t |x t |2dt 2 ,
0
0
求证 1 和
2 是 C 0, 1 中两个等价范数.
证明 显然 x 1
x 2.
x
2 2
11
0
1|x t |2dt
0
t |x t |2dt 1 t |x t |2dt
0
2 1|x t |2dt
0
2
x
2 1
x2
2 x 1.
1.4.5 设 BC 0, 表示 0, 上连续且有界的函数 f x
求证 T 在 X 上存在唯一的不动点. 证记 d inf x, f x | x M ,
5
证明 先证 存在 x0
M, 使得
x0, f x0
d.
这从下确界的定义出发, n
,
xn M, 使得
d
xn, f xn
d
1 n
,
又因为 M
列紧，
故存在 nk, 即
d
xnk
x0
xnk , f xnk
, 将上面不等式中的 n 改为
列
m
A 可以取出收敛子序列
mk
. 因为
S 中的收敛与按坐标收敛等价, 所以点列
m 中的每一
m
个点 ( 固定 m ) 的坐标序列 n
n 1, 2,
也可以从其任意无穷子集中取出收敛子
序列 , 而坐标序列构成数集，要从其任意无穷子集中取出收
敛子序列显然应该要求它们有界.
为了证明充分性, 根据习题 1.3.1, 只要构造 A 的列紧的
n, m
Nk, 有
xn xm
1 2k
,
于是
nk, nk 1
nk
Nk, 使得
xnk
xnk 1
1 2k
,
取 yk
xnk k
改写
1, 2, .
是元素为 1, 2, , n 的 n 维空间中的子集, 由假设
| k | C k k 1, 2, n , 即每个坐标都是有界的, 所
以 H 可看做是 n 维空间中的有界集. 从而是列紧的.
1.3.8 设 X, 是距离空间, M 是 X 中的列紧集,若映射
T : X M 满足
Tx, Ty
x, y
x, y X, x y ,
|AB |2
2 . |AB |3 max |1 0|, |0 1|
1.
|AB |4
2
1 4
.
1.4.2 C 0, 1 表示 0, 1 上连续且有界的函数 x t 全体．
对x
C 0, 1 ，令 x
sup|x t |.
0t1
求证：
(1)
是 C 0, 1 空间上的范数；
(2) l 与 C 0, 1 的一个子空间是等距同构的．
0
1 m2
x2
1 n2
x2
1
x2
1 m2
1
x2
1 n2
I1 I2
I1
2
1 n2
1
21
m2
0
1
x2
1 m2
2 n2
0n
.
I2
2 1 x2
0
1
x2
1 m2
1
x2
1 n2
2 1 x2
0
x2
1 n2
x2
1 m2
x2
1 m2
x2
1 n2
2
dx
2
2 dx
x2
1 n2
2 dx
2dx
3
2
1
n4 0
1
0
x2
1 n2
sin 2
1
0.
由此可见, sin nt n 1 非等度连续.
1.3.7 空间S中集合 A 的列紧性条件. A 在S中是列紧的，当
且仅当，对于任何 n 1, 2, , n,
, C n 0 , 使得对 A, 的点的第 n 个坐标的
4
数集是有界的，即 | n | C n n 1, 2,
.
证 必要性. 因为 A 在 S 中是列紧的, 任意一个无穷点
1
C
,当
t1, t2
|x t1
x t2 |
C t1, t2 注 .
续的.
注 C t1, t2
t1, t2
t1, t2
1
C
1, c 0, 取
0 ,求
时, 所以 E 是等度连
C
6
1.4.1 在 R 2 中， z
a, b ，令
z1
|a| |b| ; z 2
a2 b2 ;
z 3 max |a|, |b| ; z 4
2 a
n
fn
2 b
ba
.
1.4.6 设 X 1, X 2 是两个线性赋范空间，定义
X
X1 X2
x1, x2 | x1
X1, x2
X2 称
为 X1 与 X2 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：
x1, x2
y1, y2
x1
y1, x2
y2
5
,
K, x1, y1
X1, x2, y2
X 2 ，并赋以范数
fa
cfb f
BC 0, . 只需证
fn BC 0, , 使得
fn
2 a
fn
2 b
.
g n x def
eax, 0
x
n
eax n 1 x , n x n 1
0, x n 1
fn x def gn x
f
2 a
n e ax eaxdx
n,
0
f
2 b
e bx e ax dx
0
e b a xdx
0
1 ba
fn
t
a, b
|F x |
x f t dt
a
b a
|f
t
|dt
M0 b a
F E . 即 E 一致有界.
|F x2 F x1 | 0,
x2 f t dt
x1
M0 ,
x2 |f t |dt
x1
M 0|x2 x1 |
3
|x2 x1 |
|F x2
即 E 等度连续.
F x1 |
F E.
1.3.5 设 M 是 C a, b 中的有界集,求证集合
0, 0, , 1, 0,
i
j
j
0, 0, , 1, 0, , 1,
j i.
i
ei, ej
1
eik
ejk 2
2
2 j i.
k1
由此可见, ek k 1 与其任意子列都不收敛, 从而
ek k 1 不是列紧的, 根据Hausdorff定理, 也就不完全有界.
1.3.4 设 X, 是度量空间， F 1 ， F 2 是它的两个紧子
1.3.1 在度量空间中求证；为了子集 A 是列紧的，其充分
且必要条件是对
0 存在 A 的列紧的 网．
证明 必要性显然,只证充分性.
0, 设 N 是 A
的列紧的 2 网;
N0 是 N 的有限 2 网, 则有
x A,
N, x,
2
N, x
N0,
,x
2
x, x
x,
,x
2
2
.
N0 是 A 的有限 网.
1.3.2 给定距离空间 X, ,设 M
X1
使得
x
n 1
又因为 X 2 是 B 空间所以 x2
X 2 使得
x
n 2
x def
x2. x1, x2 .
下证 x n
x. 事实上,
N
使得 x n
xm
2
n, m
x
n 1
x
n 2
x
m 1
1
x
m 2
2
2
n, m
N
2
n, m N
x1;
0, N
m
x
n 1
x1 1
2
n
N
x
n 2
x2 2
2
nN
xn x
max
x
解 x C 0, 1 ,
x
x1 ,x
1 2
,
,x
1 n
,
l
1
x
反之,
sup|x
1 n
|
x.
n1
1, 2, , n,
l,
将点列 1, 1 , 得到一个函数
1 2
,
2
,
,
1 n
,
n,
用折线连接起来,
xt
C 0, 1 . x
sup| n|
.
n1
x
x
x.
x
1 n
,
n
1 2
,
2
(1, 1 )
1 11
1
n 32
a4
b4
.1
2
(1) 求证 R2, i i
i , i 1, 2, 3, 4 都是 R 2 上范数；(2) 画出 1, 2, 3, 4 各空间中的单位球面图形；(3) 取
O
0, 0 , A
1, 0 , B
0, 1 ，试在上述四种不
同范数下求出 OAB 三边的长度.
|AB |1
|1 0| |0 1|
2.
a
(1) 求证 1 是 C 1 a, b 上的范数;(2) 问 C 1 a, b , 1 是否完备？
考虑 C 1 0, 1 中的函数列:
fn x
x2
1 n2
可以验证 fn x 1
但是 fn x
|x |
1x
按范数
1
C1 0, 1 .
1 是基本列.
fn x
x
,
x2
1 n2
mn
fm x
fn x 2
2 1 x2