微积分练习题及解析

练习题

1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：

⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt

=

==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 22

10x y V V V =+=

⑵物体所受的合外力是多少?

222(3)(4)5x y -+-=

运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405

mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？

匀速圆周运动

⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？

圆心（3,4），半径5

2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变

为零。 34dW F x dx

=

=- ，所以当x=3/4时，F=0

3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=

KQ r 2 , 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r

。 规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功

我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2

kQq dW F dr dr r =-•=-

• 所以2

0W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr r

ϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r r ϕ∞=-=

4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段

的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2

处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx

ρ=

= ,2L x kL ρ∴==

5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12

振幅处，其势能E P = ，动能E k = 。

首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ）

弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功

dW F dx kx dx =•=•

00W x

dW kx dx ∴=•⎰⎰ 2

()2

kx E x ∴= 所以在距平衡位置12 振幅处的弹性势能为总能量的14

，即655*10, 1.5*10p k E J E J --==

6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022

1122q

q E Q q q dE dQ U

Q dE dQ C Q E CU C =•∴=∴==⎰⎰

7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V 0，若其他电阻不计，则

⑴求导体棒的速度v 随时间t 的函数表达式； 022*********

2200,1ln v t v B L t

mR

B L v F B L v F a R m mR

B L v dv a dt dt mR

B L dv dt v mR v B L t v mR

v v e -====-•=-=-∴=-∴=⎰⎰

⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S ； 22222200000022022|

B L t mR B L t s mR B L t mR ds v dt v e

dt ds v e dt mR s v e B L

mR s v B L --∞-∞=•=•∴=∴=-∴=⎰⎰ ⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I 随时间t 的函数关系； 22

0B

L t mR BLv BLv I e R R -== ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q 。

00

Q BL dQ I dt vdt R BL dQ vdt R mv BL Q s R BL

∞=•=

∴=∴==⎰⎰ 从这里可以看出安培力的冲量特点

dI BL dQ =•