微积分练习题及解析

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微积分试题及答案

微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。

解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。

因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。

接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。

将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。

答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。

解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。

首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。

根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。

3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。

解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。

首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。

导数与微分练习题及解析

导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。

它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。

为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。

练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。

f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。

f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。

根据导数的定义，导数即为切线的斜率。

所以切线的斜率为m = 7。

将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。

2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。

练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。

解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。

乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。

根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。

设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。

外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。

根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。

(完整)微积分练习题及解析

练习题1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t,y 轴上的坐标为y=—4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：⑴物体的速度是多少?()'10sin(2)x dx V x t t dt===- ()'10cos(2)y dy V y t t dt===10V ==⑵物体所受的合外力是多少？222(3)(4)5x y -+-=运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？匀速圆周运动⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？圆心（3，4），半径52、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动,该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2，试问当位移x 为多少时F 变为零. 34dW F x dx==- ，所以当x=3/4时,F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=错误!，请验证Ａ点处的电势公式为：U = 错误!.规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的，则2kQq dW F dr dr r=-•=-• 所以20W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr rϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r rϕ∞=-=4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。

在杆上距离O 端点为x 处取点A,令M 为细杆上OA 段的质量。

已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=错误!,问当x=错误!处B 点的线密度为何？ 2dM kx dxρ== ,2L x kL ρ∴==5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置错误!振幅处，其势能E P = ，动能E k = 。

首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k,伸长量为x 时的势能为E(x ）弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功dW F dx kx dx =•=• 00W xdW kx dx ∴=•⎰⎰ 2()2kx E x ∴= 所以在距平衡位置错误!振幅处的弹性势能为总能量的14，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。

微积分变态题及答案

微积分变态题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。

一、选择题a．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比b．一个函数c．一个常数，不是变数d．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] c[解析] 由定义，f′(x0)是当δx无限趋近于0时，δyδx无限趋近的常数，故应选c.[答案] b[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴δs＝s(t0＋δt)－s(t0)＝3(3＋δt)2－＝18δt＋3(δt)2∴δsδt＝18＋3δt.当δt→0时，δsδt→18，故高文瑞b.[答案] b[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴δy＝f(1＋δx)2－f(1)＝(1＋δx)2－1＝2δx＋(δx)2∴δyδx＝2＋δx当δx→0时，δyδx→2∴f′(1)＝2，故高文瑞b.[答案] d[解析] ∵δsδt＝4(5＋δt)2－3－4×52＋3δt＝40＋4δt，∴s′(5)＝limδt→0 δsδt＝limδt→0 (40＋4δt)＝40.故应选d.a．δy＝f(x0＋δx)－f(x0)叫作函数值的增量b.δyδx＝f(x0＋δx)－f(x0)δx叫做函数在x0到x0＋δx之间的平均变化率 c．f(x)在x0处的导数记作y′d．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] c[解析] 由导数的定义可知c错误．故应选c.a．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)b．f′(x0)＝limδx→0[f(x0＋δx)－f(x0)]c．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)δxd．f′(x0)＝limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx[答案] d[解析] 由导数的定义知d正确．故应选d.[答案] d[解析] ∵δyδx＝a(2＋δx)2＋b(2＋δx)＋c－4a－2b－cδx＝4a＋b＋aδx，∴y′|x＝2＝limδx→0 δyδx＝limδx→0 (4a＋b＋aδx)＝4a＋b.故应选d. [答案] d[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选d.[答案] b[解析] ∵δsδt＝3(0＋δt)－(0＋δt)2δt＝3－δt，∴s′(0)＝limδt→0 δsδt＝3.故高文瑞b.[答案] c[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limδx→0f(x0－δx)－f(x0)δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－[解析] limδx→0 f(x0－δx)－f(x0)δx＝－limδx→0 f(x0－δx)－f(x0)－δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx＝－12f′(x0)＝－.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵δy＝1＋δx＋11＋δx－1＋11＝δx－1＋1δx＋1＝(δx)2δx＋1，∴δyδx＝δxδx＋1.∴y′|x＝1＝limδx→0 δxδx＋1＝0.13．未知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等同于______．[答案] 2[解析] ∵δyδx＝a(2＋δx)＋4－2a－4δx＝a，∴f′(1)＝limδx→0 δyδx＝a.∴a＝2.14．未知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值就是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可以化成limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、答疑题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义存有f′(x0)＝limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx＝limδx→0 (x0＋δx)2－x20δx＝limδx→0 δx(2x0＋δx)δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 加速度公式为s＝12at2∵δs＝12a(t0＋δt)2－12at20＝at0δt＋12a(δt)2∴δsδt＝at0＋12aδt，∴limδt→0 δsδt＝limδt→0 at0＋12aδt＝at0，未知a＝5.0×m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝m/s.所以枪弹箭出来枪口时的瞬时速度为m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点p(1,4)及附近一点(1＋δx,4＋δy)，求(1)δyδx (2)f′(1)．[解析] (1)δyδx＝f(1＋δx)－f(1)δx＝(1＋δx)2＋3－12－3δx＝2＋δx.(2)f′(1)＝limδx→0 f(1＋δx)－f(1)δx＝limδx→0 (2＋δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处为与否存有导数？若存有，谋出，若没，表明理由．δy＝f(0＋δx)－f(0)＝f(δx)∴limx→0＋δyδx＝limδx→0＋ (1＋δx)＝1，limδx→0－δyδx＝limδx→0－ (－1－δx)＝－1，∵limδx→0－δyδx≠limδx→0＋δyδx，∴δx→0时，δyδx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。

解析：首先，我们需要找到函数的极值点。

极值点对应于函数的导数为零的点。

对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。

使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。

所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。

接下来，我们需要找到函数的拐点。

拐点对应于函数的二阶导数为零的点。

对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。

令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。

综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。

第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。

解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。

对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。

根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。

将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。

所以切线的斜率 m = 1。

切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。

由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。

将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。

综上所述，切线方程为 y = x + 1。

第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。

大一微积分试题及答案详解

大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。

由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。

2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。

3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。

答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。

2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。

答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。

3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。

微积分综合练习试题和参考答案与解析

(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。

高考数学微积分(附答案解析

定积分与微积分基本定理【考点导读】1．了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。

2．了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。

【基础练习】1．下列等于1的积分是（3）。

（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。

3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。

4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。

5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。

【范例导析】例1．计算下列定积分的值：（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。

解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。

微积分考试题库（附答案）

微积分考试题库（附答案）85考试试卷（⼀）⼀、填空1．设c b a,,为单位向量，且满⾜0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ?dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．?>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b⼆、选择1．曲线==-0122z y x 绕x 轴旋转⼀周所得曲⾯⽅程为（）。

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'?dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上⾄少有⼀点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=?)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1．求与两条直线??+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平⾏且过点（3，-2，1）的平⾯⽅程。

大一微积分下册经典题目与解析.doc

习题 8-1 多元函数的基本概念1. 填空题：（1）若 f ( x, y)x 2y 2xy tan x，则 f (tx , ty ) ___________y（2）若 f ( x, y)x 2 y 2y 2xy ，则 f (2, 3) ________, f (1, ) ________x（3）若 f ( y)x 2y 2 ( y 0) ，则 f (x) __________yx（4）若 f ( xy, y) x 2 y 2 ，则 f ( x, y) ____________x（5）函数 z4x y 2的定义域是 _______________ln(1 22x y )（6）函数 z xy 的定义域是 _______________(7) 函数 zarcsin y的定义域是 ________________x（8）函数 zy 22x y 2的间断点是 _______________2x2. 求下列极限：2xy 4（ 1） limx 0xyy 0(2)lim sin xyx 0xy 0(3) lim1 cos(x2 y 2 )(x 2y 2 ) x 2 y 2xy 03. 证明limxyx 2y 2(x , y)(0,0)4. 证明：极限limx2 y 0 不存在4y 2( x, y ) (0 ,0)xx sinx2,( x, y) (0,0)5. 函数 f ( x, y)y 2 在点（ 0， 0）处是否连续？为什么0,( x, y) (0,0)习题 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用1. 填空题（1）设 zln tan x，则 z________, z__________;y xy（2）设 ze xy ( x y) ，则 z ________, z__________ ;x y（3）设 ux y，则 u ________, u__________,u________ ;zx yz（4）设 zaxc tan y，则2z_________,2z_________,2z________xx 2y 2x y（5）设 u( x) z ，则 2u________ ;yx y（6）设 f ( x, y) 在点 (a, b) 处的偏导数存在，则 limf ( a x,b)f (a x, b)_________x 0 x2. 求下列函数的偏导数(1) z (1 xy) y(2)u arcsin( x y) z3. 设 z y x ，求函数在（ 1， 1）点的二阶偏导数4. 设 zx ln( xy) ，求3z 和3zx 2 yx y 21 1zy 2 z()5. z exy，试化简 x 2xy, (x, y)(0,0)f ( x, y)x 2 y 2 6. 试证函数( x, y) 在点（ 0， 0）处的偏导数存在，但不连续 .0, (0,0)习题 8-3 全微分及其应用公司和 Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px 1000 5Qx; PY 1600 4QY公司 X 、 Y 现在的销售量分别是 100 个单位和 250 个单位。

高考数学微积分练习题及答案

高考数学微积分练习题及答案1. 题目：求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。

解析：首先，根据导函数的定义，我们需要对函数f(x)进行求导。

根据求导法则，对于幂函数f(x)=x^n (n为常数)，其导函数为f'(x)=n*x^(n-1)。

因此，将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导，得到f'(x)=2x+2。

答案：f'(x)=2x+2。

2. 题目：计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。

解析：根据积分的定义，我们需要对被积函数进行积分，并将积分上限减去积分下限。

对于多项式函数的积分，我们可以按照常规的积分法则进行计算。

首先，对被积函数2t+1进行积分，得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。

然后，将积分上限x代入积分结果，得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。

答案：g(x) = x^2 + x。

3. 题目：对函数h(x)=sin(x)进行求导。

解析：根据导函数的定义，我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。

根据求导法则，对于三角函数sin(x)，其导函数为cos(x)。

因此，函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。

答案：h'(x)=cos(x)。

4. 题目：求函数f(x)=e^x的不定积分。

解析：函数f(x)=e^x是指数函数，其不定积分可以根据指数函数积分的常规法则进行计算。

根据指数函数积分的法则，不定积分∫e^x dx = e^x。

答案：∫e^x dx = e^x。

5. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的表达式。

解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。

根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。

由已知条件f(0)=1，将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C，解得C=1。

《微积分（二）》同步练习册（最终使用版）解析

《微积分（⼆）》同步练习册（最终使⽤版）解析第五章不定积分 §5.3 凑微分法和分部积分法（第5.1~5.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“⾃测题”前的附加材料）1. 求下列不定积分：(1) ?-dx e x2； (2)dx x x ln 1；(3)?+xx dx 2； (4) ?-dx x x 21； (5) dx x x x ?-+-2211； (6)()?-dx x 21sin 2；(7)?xdx x 32cos sin ； (8)dx x 4sin 1；(9) ?+dx xx 231；(10)；(11)?dx xx x cos sin 1； (12*)?+dx ex11；ln 1； (14*)()+2cos 2sin x x dx．3. 求下列不定积分： (1)[]?++dx x x )1ln(arcsin ； (2)?-dx e x x 22；(3)?xdx e x2sin ； (4)()dx e x x x221?+；(5) ?xdx ln sin ； (6)?+dx x 21．4. 求下列有理函数的不定积分：(1)+dx x x )1(17； (2)?++dx x x x 21.5. 求下列不定积分： (1) 已知)(x f 是2x e -的⼀个原函数，求?'dx x f x )(；(2) 已知2x e -是)(x f 的⼀个原函数，求?'dx x f x )(.§5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1)?+dx x 1； (2)?+-dx x 3211；dx x x cos ；(6)?-dx e x； (7)()-dx x x 21012981(7) ?++dx xx)11ln(．2*. 求不定积分?-+dx x x xx cos sin cos sin 2.3*. 试求不定积分2ln 1(ln )x dx x -?．4*. 已知ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ?.第六章定积分 §6.1 定积分的概念与性质1. 利⽤定积分的⼏何意义，计算下列定积分： (1）?-201dx x ； (2）?-11sin xdx ；(3）--22121dx x .2. 不计算积分，⽐较下列各积分值的⼤⼩（指出明确的“=<>,,”关系，并给出必要的理由）. (1）?10xdx ； (2）?212dx x 与21xdx ；(3）?20sin πxdx 与20πxdx ； (4）?40tan πxdx 与40πxdx ．3. 利⽤定积分的性质，估计?-=20dx xe I x 的⼤⼩.4. 设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且满⾜()()?=31031dx x f f ，试证：在()1,0内⾄少存在⼀点ξ，使得()0='ξf .5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）?-111dx x ； (2）()?20dx x f ，其中()?=≠=1,21,2x x x x f ．6*.根据定积分的定义，试将极限+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim表§6.2 微积分基本定理1．求下列函数关于x 的导数： (1）()1/1 2sin3x tt dt -?； (2）?12xt dt te ；(3）22x xt dt e ； (4*）()?-xtdt t x 0sin ．2．求下列极限： (1）?→x x du x u 02tan lim； (2）()?+→xu x du u x 010211lim ；(3）?-→2040)cos 1(1lim x x du u x．3．求函数()()()?---=xudu e u u x f 0221的极值点．4．计算下列定积分： (1）?3231dx x x x ； (2）?ππ2121sin 1dx x x；(3）?-20cos 21πdx x ； (4）{}-322,1min dx x ；(5）()?-21dx x f ，其中()≥<=1,1,2x xe x xe x f x x ；(6）?-b dx x 1，其中b 为常数．5．设()x f 在[]1,0上连续，且满⾜()()?+-=132dx x f x x f ，试求()x f ．6*．试利⽤定积分的定义及计算原理求解数列极限n n S ∞→lim ，其中nn n n S n ++++++=21221121 ．§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利⽤定积分的换元法计算下列积分： (1）?-2ln 01dx e x； (2）()?+-212(3）?-122221dx xx ； (4）?++202422dx x x x ；(5）-π3sin sin dx x x .2. 利⽤函数的奇偶性计算下列定积分：(1）()-++22221ln sin ππdx x x x ； (2）()-+-+1122513dx x x x x.3. 设()x f 是R 上的连续函数，试证：对于任意常数0>a ，均有()()??=2002321a a dx x xf dx x f x .4*. 设()x f 是R 上的连续函数，并满⾜()20x dt e t x f x t =-?5. 利⽤定积分的分部积分法计算下列积分：(1）?40sin πxdx x ； (2）()+121ln dx x ；(3）?21ln cos πe xdx .6*. 试计算()?20πdx x f ，其中()?=2sin πxdt ttx f .7*. 已知()x f 是R 上的连续函数，试证：()()()?=-x t x dt du u f dt t x t f 000.§6.4 定积分的应⽤1. 计算下列曲线围成的平⾯封闭图形的⾯积： (1）0,43=-=y x x y ； (2）x y x y x y 2,,===.2. 假设曲线()1012≤≤-=x x y 、x 轴和y 轴所围成的区域被曲线()02>=a ax y 分为⾯积相等的两部分，试确定常数a 的值.3. 求由下列曲线围成的平⾯图形绕指定轴旋转⼀周⽽成的⽴体体积： (1）1,41,0,14====x x y xy ；绕x 轴，（ii ）绕y 轴4. 已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为()642+-=q q q MC ，()q q MR 2105-=，其中q 为产品的销售量（产量），试求最⼤利润.5. 已知某产品在定价1=p 时的市场需求量a Q =，在任意价格p 处的需求价格弹性为Qb E p =，其中0,0<>b a 均为常数，Q 为产品在价格p 处的市场需求量。

高中数学练习题微积分与解析几何

高中数学练习题微积分与解析几何高中数学练习题 -- 微积分与解析几何（正文内容开始）题目一：已知曲线C的参数方程为：x = t³ - 3t² + 3t, y = t² - 2t + 1.求曲线C的切向量和法向量，并求曲线C在t=1处的切线和法线方程。

解答：首先，我们需要求曲线C的切向量和法向量。

曲线C的切向量可以通过对参数方程求导得到，即：dx/dt = 3t² - 6t + 3, dy/dt = 2t - 2.所以，曲线C的切向量为 (dx/dt, dy/dt) = (3t² - 6t + 3, 2t - 2).接下来，我们需要求曲线C在t=1处的切线和法线方程。

将t=1代入切向量表达式中，可得曲线C在t=1处的切向量为 (0, 0).由于切线的方向与切向量平行，切线方程的斜率为0，即切线方程为x = 1.同时，我们知道切线与曲线C相切于同一点，并且切线的法向量与曲线的切向量垂直。

所以，曲线C在t=1处的法向量与切向量垂直，即 (3t² - 6t + 3, 2t - 2)·(x-1, y) = 0.将曲线C的参数方程代入，可得曲线C在t=1处的法线方程为 (t³ - 3t² + 3t - 1)(x-1) + (t² - 2t + 1)(y) = 0.题目二：已知直线L1过点A(1, 2, 3)和点B(-2, 1, 4)，直线L2过点C(-1, 0, 1)且与L1平行，求直线L2的解析式。

解答：首先，我们可以通过点A和点B来确定直线L1的方向向量d1，即d1 = AB = (1 - (-2), 2 - 1, 3 - 4) = (3, 1, -1).由于直线L2与L1平行，所以直线L2与直线L1具有相同的方向向量d1。

因此，直线L2的方向向量为d2 = (3, 1, -1).接下来，我们可以通过已知点C和L2的方向向量d2来确定直线L2的解析式。

导数与微分的应用练习题及解析

导数与微分的应用练习题及解析在微积分学中，导数和微分是重要的概念和工具，它们在很多实际问题中有着广泛的应用。

本文将通过一些经典的导数和微分应用练习题，为读者展示它们的具体运用，并给出相应的解析。

1. 题目：一个长方形的长和宽分别是x和y，且满足x+y=20。

求长方形面积的最大值。

解析：设长方形的长为x，宽为y，则由题意可知x+y=20。

长方形的面积为S=x*y。

我们的目标是求解长方形面积S的最大值，即求解关于x的函数S=f(x)的最大值。

由题意可知，我们可以将y表示为y=20-x，代入面积函数得到S=x*(20-x)=20x-x^2。

为了求解函数S的最大值，可以使用导数法。

对函数S关于x求导，得到S'=(20-2x)。

令S'=0，解得x=10。

再对x=10进行二阶导数检验得到S''=(-2)，小于0。

所以x=10是S的极大值点。

将x=10代入S得到S=10*(20-10)=100。

因此，当长方形的长为10时，面积取得最大值100。

2. 题目：一个矩形的周长为12m，求解矩形面积的最大值。

解析：设矩形的长为x，宽为y，则由题意可知2x+2y=12，即x+y=6。

矩形的面积为S=x*y。

我们的目标是求解矩形面积S的最大值，即求解关于x的函数S=f(x)的最大值。

由题意可知，我们可以将y表示为y=6-x，代入面积函数得到S=x*(6-x)=6x-x^2。

同样地，为了求解函数S的最大值，可以使用导数法。

对函数S关于x求导，得到S'=(6-2x)。

令S'=0，解得x=3。

再对x=3进行二阶导数检验得到S''=(-2)，小于0。

所以x=3是S的极大值点。

将x=3代入S得到S=3*(6-3)=9。

因此，当矩形的长为3m时，面积取得最大值9。

3. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为x、y和z，且满足xyz=8。

求长方体表面积的最小值。

解析：长方体的表面积为S=2(xy+xz+yz)。

微积分考试题库(附答案)

85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（）。

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1．求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。

高数微积分真题及答案解析

高数微积分真题及答案解析高等数学是大多数理科学生必修的一门课程，其中微积分是其中的重要组成部分。

在学习微积分时，遇到一些经典的高数微积分问题是很常见的。

本文将介绍一些常见的高数微积分真题，并给出详细的答案解析，希望能够帮助读者更好地理解微积分的概念和应用。

【真题一】计算函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 在 x = 2 处的导数。

【答案解析】首先，函数的导数可以通过求取函数的极限来计算。

对于本题中的函数 f(x)，可以使用导数的定义来求取其导数：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h as h -> 0将函数 f(x) 带入上述定义可得：f'(x) = lim [(x + h)^3 - 3(x + h)^2 - 9(x + h) + 5 - (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)] / h as h -> 0化简后得：f'(x) = lim [3hx^2 + 3h^2x + h^3 - 6hx - 6h^2 - 9h] / h as h -> 0进一步化简得：f'(x) = lim [3x^2 + 3hx + h^2 - 6x - 6h - 9] as h -> 0当 h 趋近于 0 时，可以忽略掉 h^2、h 以及 9 这三项，得到最终的导数表达式：f'(x) = 3x^2 - 6x - 6【真题二】已知一曲线的方程为 y = x^2 + ax + b，该曲线过点 (1, -1) 和 (2, 2)，求 a 和 b 的值。

【答案解析】首先，根据已知条件，可以得到两个方程：-1 = 1^2 + a(1) + b2 = 2^2 + a(2) + b化简上述两个方程得：-1 = 1 + a + b2 = 4 + 2a + b通过进一步化简，可以得到：b = -a - 2将该表达式代入第二个方程可得：2 = 4 + 2a + (-a - 2)化简得：2 = 4 + a - 2解得 a = 0将 a 的值代入第一个方程可得：-1 = 1 + 0 + b解得 b = -2因此，方程的解为 a = 0，b = -2。

微积分考试题库(附答案)

（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

高二数学微积分初步练习题及答案

高二数学微积分初步练习题及答案练习题一：1. 将函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2求导并求出f'(2)的值。

2. 求函数g(x) = sin(2x)在区间[0, π/2]上的定积分值。

3. 求函数h(x) = ln(x)的不定积分。

4. 已知函数y = x^2 + 2x，求曲线y = f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程。

答案及解析：1. 对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

将x = 2代入，可以得到f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。

2. 函数g(x) = sin(2x)在区间[0, π/2]上的定积分可以表示为∫[0, π/2] sin(2x) dx。

利用换元法，令u = 2x，dx = du/2，则原式变为∫[0, π] sin(u) du/2 = [-cos(u)/2] [0, π/2] = [-cos(π/2)/2 - (-cos(0)/2)] = [-0 + 1]/2 = 1/2。

3. 不定积分∫ln(x) dx可以通过分部积分法来解决。

令u = ln(x)，dv = dx，则du = 1/x dx，v = x。

根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，将其代入，得到∫ln(x) dx = xln(x) - ∫x(1/x) dx = xln(x) - ∫dx = xln(x) - x + C，其中C为常数。

4. 曲线y = f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程可以通过求导来解决。

首先对y = x^2 + 2x求导，得到y' = 2x + 2。

代入x = -1，可以得到y'(-1) = 2(-1) + 2 = 0。

切线的斜率为0，代表切线与x轴平行。

由于(-1, f(-1))处的切线与x轴平行，所以切线的方程为y = f(-1)。

将(-1, f(-1))代入曲线方程y = x^2 + 2x，可以得到f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1。