章b 理想流体的有旋和无旋流动

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第四章流体的有旋流动和无旋流动

第四章流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。

本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。

第一节流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。

但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。

因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。

所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。

变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。

下面我们分别讨论这几种运动情况。

一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx 、dy 、dz ，形心a 处的速度为u，沿三个坐标轴的速度分量分别为u x 、u y 、u z ，如图4－1所示。

如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是u x 、u y 和u z ，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。

图4－1 微团移动分析4－2 微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy 平面的轴(z 轴)转动的情况，如图4－2所示。

设O 点在x 轴和y 轴方向的速度分量分别为u x 和u y 。

当A 点在y 轴方向的分速度不同于O 点在y 轴方向的分速度及B 点在x 轴方向的分速度不同于O 点在x 轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。

A 点在y 轴方向的分速度和B 点在x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为x xu u d y y ∂∂+和y yu u d xx ∂∂+，它们相对于O 点的对应分速度(相对于O 点的线速度)分别为x xu d y ∂∂和y yu d x∂∂，所以它们相对于O 点的角速度(逆时针方向旋转为正)应为A 点上xu x x xu ∂∂=∂∂y y d /dB 点上 yuy y y u ∂∂-=∂∂-x x d /d 而对于微团中其它各点绕z 轴转动的角速度(如C 点等)则是由该点y 向的分速度在x 轴方向的变化量和x 向的分速度在y 轴方向的变化量共同产生的。

第五章漩涡理论基础

第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。

本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。

第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。

另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。

本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。

一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。

流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。

强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。

”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。

在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。

二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。

如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。

流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。

速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。

有旋流动和无旋流动

转换条件的满足
分析流体的速度场、流体性质和边界条件是否满足有旋流动和无旋流动的转换条件。
转换过程的实现
通过改变流体的某些参数，如速度、压力、温度等，促使有旋流动和无旋流动之间的转换。
转换的影响因素
能量损失
有旋流动和无旋流动之间的转换会导致能量损失，包括摩擦损失
和能量转换损失。
流动稳定性
转换过程可能会影响流体的稳定性，导致流体的状态发生波动或失稳。
产生条件
恒定流
在恒定流场中，流线是平行且均匀的，因此不会产生旋涡。
势流
在势流中，流体受到的力与流速的大小和方向无关，因此不会产生旋涡。
实例分析
河流中的平直河段
在平直河段中，水流是平顺的，没有旋涡产生。
飞机在空中飞行时，机翼下方的气流
由于机翼的形状和气流的速度，机翼下方的气流会形成无旋流动。
04
有旋流动和无旋流动的研究对于理解流体运动规律、优化流体机械设计、提高流体输送效率等方面具有重要意义。
对未来的展望
未来研究可以进一步深入探索有旋流动和无旋流动的内在机制和演化规律，以及它们在不同条件下的表现和相互作用。
在实际应用方面，可以结合具体工程背景，研究有旋流动和无旋流动在流体机械、能源利用、环境保护等领域中的应用，提出更加高效、环保的解决方案。
有旋流动与无旋流动的转换
转换条件
速度场条件
有旋流动和无旋流动的转换取决于速度场的条件，包括速度的大小和方向。
流体性质
边界条件
流体的边界条件，如管道的形状、入口和出口条件等，也会影响有旋流动和无旋流动的转换。
流体的粘性、密度、弹性等物理性质对转换过程也有重要影响。
转换过程

第八章理想流体有旋流动和无旋流动

y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角点具有相同的速度分量 vx 、 vy 。导致矩形 ABCD 平移 vxδt, 上移 vyδt, ABCD的形状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：（1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；（2）绕该点的旋转运动；（3）含有线变形和角变形的变形运动。

流体力学课程自学辅导资料

流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。

总成绩中，作业占15分。

第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。

研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。

研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。

特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。

有旋流动和无旋流动_1~9

v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2

理想流体的旋涡运动-PPT课件

速度的旋度称为流场的涡量
( x ,y ,z ,t) 是矢量流场，称为涡量场
rotV
1 涡线、涡管和涡束 1843年H.L.F赫姆霍茨 Evaluation only. 1. 涡线 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 定义 : 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为
如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比．
(b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流．注意，自由面呈现抛物曲面形状． (c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺着圆柱向上“爬”．
(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替排列的涡，称为卡门涡街．
e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达 1000m． (f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流．和柱状涡相反，其直径达1000km，而高度约10km．
Evaluation only. (g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流， ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭．涡的这个作用 Copyright 早已由达芬奇指出 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
有旋流动
Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.

第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程

亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz

工程流体力学第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解

式的连续性方程

x
vx

y
v y

z
vz

t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x

0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径；为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分：分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。
第三节有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。

vx y

2 x

2 y

2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE

vx

vx x
dx

vx y
dy

vx z
dz

v yE

vy

vy x
dx
vy y
dy

vy z
dz

vzE

四章理想流体无旋流动

D DV dl ( P ) dl d ( P ) 0 l l Dt l Dt D 0 ——凯尔文定理，汤姆逊定理 Dt
V dl ndA 0
l A
D 0 由开尔文定理： Dt
得到任意点 0, t
理想流体运动的基本性质
1.理想流体运动的控制方程； 2.理想正压流体有势流动的的性质——Kelvin定理； 3.柯西-拉格朗日积分应用——一维非定常流动；
第四章理想流体动力学 4.1 理想流体运动的基本方程和初、边值条件
4.1.1 欧拉方程——理想流体运动的控制方程
理想流体: 连续方程运动方程能量方程
理想正压流体在势力场中运动时，组成涡线的质点永远组成涡线。（2）涡管强度保持性定理（也称 Helmholtz 第二定理）涡面保持性定理：理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡面的流体质点永远组成此涡面。涡线保持性定理：理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡线的流体质点永远组成此涡线。涡管强度保持性定理（也称 Helmholtz 第二定理）：理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡管，并且涡管的强度不随时间变化。涡管表面是涡面，涡面具有保持性，因此，涡管有保持性。
p ij p ij
( V ) 0 t
V 1 V V f p t
不变!
理想流体简单运动的求解
4.理想不可压无旋流动流场求解思路——速度场（控制方程及定解条件）、压力场（柯西-拉格朗日）； 5.理想不可压无旋流动特定流场求解——均匀流、点源、偶极子、圆球绕流；
P V p ij ei e j Vk ek pV i ei pV

《流体力学》第八章绕流运动解析

x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章

绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体绕流物体的流动问题，即绕流问题。我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的运动。在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远大于粘性力，可将流体视为理想流体。在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数
工业液槽边侧吸气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则满足： u u
y
x

x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时，就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。

工程流体力学3.2流体运动的一些基本概念 2

流线
某一瞬时，速度方向线欧拉法
微分方程
u

dx dt

（t为自变量，
v

dy dt

x, y, z 为t
w

dz dt
的函数）
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
(x,y,z为t的函数，t为参数）
第二节流体运动的一些基本概念
质量流量（kg / s）：
qv V dA
A
qm V dA
A
平均流速——是一个假想的流速，即பைடு நூலகம்定在有效截面上各点都以相
同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
V qv A
第二节流体运动的一些基本概念
知识点（三）
流管流束流量
第二节流体运动的一些基本概念
一、流管、流束和总流
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线
组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。
流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。
第二节流体运动的一些基本概念
二. 一维流动、二维流动和三维流动
一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流动
定常流动： x, y, z

8-第8讲理想流体的有旋与无旋流动

21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、流函数与势函数满足科希-黎曼关系式由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、等流函数线与等势线正交对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）

q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注：设常数，得到流线方程为如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流的流函数与势函数的推导如下。点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函数，记作，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有

第4章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动

的平均值，称作 A 点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。用符号 ω 表示
ω x
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂w ∂y
−
∂v ∂z
⎟⎟⎠⎞
ω y
=
1 2
⎜⎛ ∂u ⎝ ∂z
−
∂w ⎟⎞ ∂x ⎠
ω z
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂v ∂x
−
∂u ∂y
⎟⎟⎠⎞
写成矢量形式为
ω = ω2 +ω2 +ω2
x
y
z
ωr
=
ω
x
二、速度势函数的性质（1）不可压缩流体的有势流动中，势函数ϕ 满足拉普拉斯方程，势函数 ϕ 是调和函数。
∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ = ∇ 2ϕ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
结论：在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这
样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 ϕ 值之差。与曲线的形状无关。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
思考题：
4-1 流体微团的运动一般由哪几部分组成？ 4-2 何谓流体微团的体积膨胀速率？ 4-3 什么是有旋流动和无旋流动？流体是有旋流动还是无旋流动是否与流体微团的运动轨迹有关？ 4-4 何谓速度环量和旋涡强度？两者之间有什么关系？ 4-5 何谓涡量？涡量和流体运动速度有何关系？
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第4章
第 4 章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
授课教师洪文鹏、张玲、郭婷婷、孙斌、张志达授课对象

第三章势流理论

新的复杂流动
（1）基本解
均匀直线流
ua
vb
ax by cz
wc
点源汇流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q
4r 2
(r) Q 4r
(x, y, z)
Q
4 x2 y2 z2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在 lim 2aQ M （M为偶极强度），这样的 a0 Q
在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良好近似。
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：
dux duy 0 dux duy
dx dy
dx dy
存在流函数：
d
x
dx
y
dy
uxdy uydx
0
一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数。
AB
d
AB
B
A
3 流函数与势函数的关系
（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
ux
x
y
uy
y
x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交。
0
y y x x
y y x x
4 平面无旋运动的流网流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线
M 2U R3
U
x
U
R3 2
(x2
x y2
z 2 ) 32
U
r
cos
(1
R3 2r 3
)
速度场球面速度
球面压强
vr

第七章__有旋流动和无旋流动_10~15

叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
Fx vx
Fy vy
F Fx2 Fy2 v tg Fx vx
Fy vy
理想不可压缩流体绕过叶栅作定常无旋流动时，
流体作用于叶栅中每个叶型上合力的大小等于密度、来流速度、和速度环量三者的乘积，合力的方向为几何平均速度矢量沿反速度环流的方向旋转90o。
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
无旋流动的特性: 几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。
证明: 已知几个简单无旋流动 1,2,3...
叠加得: 1 2 3 ... 2 21 22 23 ... 2 (1 2 3 ...) 0
叠加后速度势函数满足拉普拉斯方程，
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流动描述：
一个速度为V的均匀平行来流，对半径r0的无限长圆柱体作横向绕流，该流动可认为是由平行流和偶极流叠加而成。
y
o
x
y
o x
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
势函数和流函数的确定：
平行流的势函数和流函数 Vx
r02 r2
)r sin
2
ln
r
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
驻点位置
y
O
A
B
x
sin 4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流线图
y
O
A
B
x
4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加

流体力学势流

r0
x
r
中心区的流动
速度分布
ux y, uy x
u0
r0
涡量处处为常数
z
u y x
ux y
2
绕 r r0 的速度环量 Γ0 2r0 u0
y
u0
Γ0
u
C
用涡通量计算得到
r0
x
同样的结果
Γ0
r02
2
u0 r0
2r0u0
r
流速分布
外围区的流动
u
r0 r
u0
ux
y r
u
r0u0
y r2
已知
例
速度场
ur 0,
u
Γ
2 r
r = 0 奇点
求证此流动是不
可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。
A
dA
Ω
I Ωn d A (u) n d A 2ωn d A
A
A
A
留下一个问题：为什么可取任一截面
计算涡管强度
AΩ
• 速度环量、斯托克斯定理
速度环量定义流速矢量 u 沿有向曲线 L 的线积分为速度环量
Γ udl
L
斯托克斯定理 n
Ωn d A u d l
A
L
dA
Ω
封闭曲线 L 是 A 的周界，
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
u x
x
u y
y
u
z
z
无旋流动
有势流动
ij u
x x
x y
无旋流动
k 0 x
z
等价
u
有势流动
§5—2 理想不可压缩流体的旋涡动力学特性

理想流体的有旋流动和无旋流动

A
Ω
S
C
n
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K v ds vx dx v y dy vz dz
K
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向形成右手螺旋系统。
v yB v yC v xA v xB d dx dy 2 2 v v yA v xC v xD dx yD dy 2 2
0
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
v y vx d x y dxdy
v y vx d 2 z dxdy x y
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度
流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
v v v x y z x y z
v M i vi
vi xj x j
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM i
v vi i x j x j
vi 1 vi v j 1 vi v j ij ij ( ) ( ) x j 2 x j xi 2 x j xi
不可压缩流体定常流动
即
常数
divv 0
vx v y vz 0 x y z

《工程流体力学》第五章理想流体多维流动基础

5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体实际流体：有粘性一般粘性系数：很小紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性附面层以外流体：可按理想流体处理求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量：上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
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第三节有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面流出的流体所穿过控制面的面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面流进的流体所穿过控制面的面积
但随流物理量总是正的在积分前加负号
一、涡线、涡管：旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量：速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量：质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：