二十一章二节课时活页训练

1．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于
________．
解析：P (X ＝2)＝C 62(13)2(1－13)4＝80243.
答案：80243
2．从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)________．
解析：P ＝13×16×15＝190.
答案：190
3．甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员赛，负者又被淘汰，一直进行下去，直到有一方队员全部被淘汰时，另一方获胜，若每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是________．
解析：P ＝C 94(12)4(12)5＝63256.
答案：63256
4．每颗骰子是大小一样的一个小正六面体，其六个面上分别刻上1～6点，分别表示1、2、3、4、5、6，显然每掷一次骰子出现某一个
点的概率均为16，现在同时掷三颗骰子，那么至少有一颗骰子出现1
点的概率为________．
解析：1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫563＝91216. 答案：91216
5．甲、乙两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品；乙加工了60个，其中有50个合格，令A ＝{从100个产品中任意取一个，取出的是合格品}，B ＝{从100个产品中任
意取一个，取到甲生产的产品}，则P (A |B )＝________.
解析：P ＝P (AB )P (B )＝3540＝78.
答案：78
6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸
取一个球．定义数列{a n }：a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1， 第n 次摸取红球，1， 第n 次摸取白球，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 7＝3的概率为________．
解析：由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸到白
球，而每次摸取红球的概率为23.摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率
为C 72(23)2(13)5＝28729.
答案：28729
7．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个．甲从第一组中抽取1题，乙从第二组中抽取1题．甲、乙都能抽到物理题的概率是____，甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是________．
解析：A ＝“甲抽到物理题”，B ＝“乙抽到物理题．”
P (A )＝C 41C 101＝25，P (B )＝C 61C 101＝35， P (AB )＝P (A )P (B )＝625；
P ＝1－P (AB )＝1925.
答案：625 1925
8．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为________．
解析：按分步原理，前三次抽取的是黑球，最后一次抽到白球：P ＝(59)3(49)＝5006561.
答案：5006561
9．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
(1)他第3次击中目标的概率是0.9；
(2)他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
(3)他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是______．(写出所有正确结论的序号)
解析：因为是独立重复试验，每次射击之间没有影响，故(1)正确；由独立重复试验的概率公式，可知他恰好击中目标3次的概率是C 43·0.93×0.1，故(2)错误；因为他4次都没击中目标的概率是0.14，由对立事件的概率公式，可知他至少有一次击中目标的概率是1－0.14，故(3)正确．故所有正确结论的序号是(1)(3)．
答案：(1)(3)
10．甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从
一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110.
(1)求n 的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；
(3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和Eξ.
解：(1)C n 2C n ＋32＝n (n －1)(n ＋3)(n ＋2)＝110
，解得n ＝2. (2)记“一个标号是1”为事件A ，“另一个标号也是1”为事件B ，
所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 22C 52－C 31＝17
. (3)随机变量
Eξ＝2.4.
11．高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的第一志愿录取分数线开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿(同批或下一批)录取．某考生填报了二批共4个不同志愿(每批2个)，并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如下表所示(表中的数据为相应的概率，a 、b 分别为第一、第二志愿).
(1)
(2)若已知该考生高考成绩已达到第1批录取分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？
解：分别记该考生上第1、2批分数线为事件A、B，被相应志愿录取为事件A i、B i(i＝a、b)，则以上各事件相互独立．
(1)“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为
P＝P(A A a A b B a B b)＋P(A B B a B b)＝0.6×(1－0.8)×(1－0.4)×(1－0.9)×0.5＋(1－0.6)×0.8×(1－0.9)×0.5＝0.0196.
(2)由已知得，该考生可能被第1批或第2批录取，其中
被第1批a志愿录取的概率为P1＝0.8；
被第1批b志愿录取的概率为P2＝(1－0.8)×0.4＝0.08；
被第2批a志愿录取的概率为P3＝(1－0.8)×(1－0.4)×0.9＝0.108；
被第2批b志愿录取的概率为P4＝(1－0.8)×(1－0.4)×(1－0.9)×0.5＝0.006.
由此可知，该考生被第1批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第1批a志愿被录取．
12．(2009年高考山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结
(1)求q2的值；
(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
解：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知
P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，
解得q2＝0.8.
(2)根据题意
P1＝P(ξ＝2)
＝(1－q1)C21(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.
P2＝P(ξ＝3)
＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.
P3＝P(ξ＝4)
＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48.
P4＝P(ξ＝5)
＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.
因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则
P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.
P(D)＝q22＋C21q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.
故P(D)＞P(C)．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．。