微积分基本定理(17)

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微积分基本公式16个

微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。

可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。

可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。

2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。

可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。

它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。

4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。

可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。

5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。

6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。

17定积分与微积分基本定理(含答案)

17定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x . 性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )b a ＝□02F (b )－F (a )． 5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)S ＝□02⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ； (4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6．定积分与函数奇偶性的关系函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0.练习1.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3D ．9答案 A解析设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2,9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝＝8ln 3. 2.已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0 到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 答案 B 解析3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在答案 C 解析＝＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2－12×22－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝13＋4－2－2＋12＝56. 4. ＝( )A ．7 B.223 C.113 D ．4答案 C 解析＝＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －x 3310＝4－13＝113.5. 的值为________．答案 2(e －1) 解析＝2⎠⎛01e x d x ＝2·e x 10＝2(e －1)．6．若f (x )＝3＋2x －x 2，则＝________.答案 π解析令y ＝3＋2x －x 2，则(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，所以函数f (x )的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x 轴上方(包括x 轴)的部分，所以＝14×π×22＝π7．如图，已知点A (0,1)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上移动，过P 点作PB垂直x 轴于点B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为________．答案 (1,1)解析由题意，点P (x 0，y 0)，则梯形AOBP 的面积为12(1＋y 0)x 0＝12(1＋x 20)x 0，且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形AOBP 面积的13，∴13x 30＝13×12(1＋x 20)x 0，解得x 0＝0或x 0＝±1；取x 0＝1，则y 0＝1，∴P 点的坐标为(1,1)．8.如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x .A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.43－1πB.42－1πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π答案 B解析由题可知图中阴影部分的面积故选C.9．如图，点M 在曲线y ＝x 上，若由曲线y ＝x 与直线OM 所围成的阴影部分的面积为16，则实数a 等于( )A.12B.13C ．1D ．2答案 C解析由题意，M (a ，a )，直线OM 的方程为y ＝xa，故所求图形的面积为得a ＝1，故选C.10．若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．答案2－32解析由图可知，A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，T ＝2π，∴ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴图中的阴影部分的面积为＝1－32＝2－32. 11．一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运动路程为________ m.答案 494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t <1，21≤t ≤3，13t ＋13<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m.12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析由题意知电视塔高为＝2g －12g ＝32g .13.若则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B 解析因为所以，S 2<S 1<S 3.14．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．5 3 C.323D.353答案 C解析联立⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝3－x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－6，由图可知，阴影部分的面积可表示为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×－3－13×－33－－32＝323. 15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854答案 B解析图中阴影部分的面积为⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×23≈6667，故选B.16．若＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵(x 2)′＝2x ，(ln x )′＝1x ，∴⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝＝(a 2－1)＋ln a ，由＝3＋ln 2(a>1)，所以(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以a ＝2.17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2答案 C解析由f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝0是原函数的一个极值点，∴f ′(0)＝b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，⎠⎛a 0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 30a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，得a ＝－1.18．如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．答案4 3解析令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以。

微积分基本公式和基本定理

x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式二、微积分基本定理三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C

微积分基本定理

0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,

微积分基本定理

2 2 2π π 3π 2π
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故【答案】 2π
2 / 15
同步课程˙微积分基本定理四、微积分基本定理如果 F ( x) f ( x) ，且 f ( x) 在 [a , b] 上可积，则 f ( x)dx F (b) F (a) ，其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数．由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数．一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0

高中数学 3.17微积分基本定理

微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S 上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211xd x； (2)ʃ31(2x－1x2)d x； (3)ʃ0－π(cos x－e x)d x.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1探究点二分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．23．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .呈重点、现规律1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2 D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)d x，求f(a)的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃba f (x )d x ＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．解图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|＋x |＋(12x 2－x )|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2. 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案43解析 ʃ2(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπf (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x ＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|＋sin x |＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1. 呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( B )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1 C ．2 D.π－24答案 D 解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2， ∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．33 解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为ff (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176.由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e－0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．解由定积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

微积分学基本定理

b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b

b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b

c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ，间间隔[T1 , T2 ]上求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

微积分的基本定理

微积分的基本定理微积分是数学的重要分支和基石，广泛应用于物理、工程学、经济学和其他各种领域。

微积分的基本定理是微积分中最基本的一条公式，它用于计算定积分和求导数，是微积分计算的基础。

定积分是将函数在一定区间内的面积进行求和的过程。

而求导是计算函数的变化率，也就是斜率的过程。

微积分的基本定理连接了这两种计算方法。

基本定理分为两部分：第一部分，也被称为牛顿-莱布尼茨公式，描述了一个定积分的值可以通过函数的原函数来计算：∫a~b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是函数f(x)的原函数，a和b是积分区间的端点。

第二部分是求导和积分的关系，它描述了函数f(x)和它的原函数F(x)之间的对应关系：d/dx ∫a~x f(t)dt = f(x)这意味着，积分与求导是互逆的操作。

如果我们首先用函数f(x)在区间[a, x]上的面积来定义函数F(x)，那么F'(x) = f(x)。

也就是说，如果我们知道函数f(x)的积分，那么就可以计算出它的导数。

基本定理是微积分的基础之一，它允许我们对复杂的函数进行计算。

例如，我们可以用基本定理来计算一个函数的平均值、最大值和最小值。

这些计算在数学模型、数据分析和工程中都非常有用。

此外，基本定理还允许我们计算偏导数。

如果一个函数有多个自变量，那么我们需要对其中一个自变量求偏导数。

基本定理可以用于计算偏导数，从而得到函数在某个变量上的变化率。

基本定理的重要性还体现在物理中。

如果我们想计算一个物体的速度或加速度，我们需要知道其位置或速度随时间的变化率。

基本定理允许我们计算这些变化率，从而在物理学中得到非常有用的结果。

微积分的基本定理是微积分中最基本的定理之一，它连接了定积分和求导两个计算方法，为微积分提供了基础。

基本定理的应用非常广泛，既包括学术领域，也包括实际应用中。

熟练掌握这个定理是理解微积分和充分利用微积分的关键。

专题17 定积分与微积分基本定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大，故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π，，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ，故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2，令﹣10a 2＝﹣40，解得a ＝±2，又a ＞0，所以a ＝2．则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92；故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。

微积分基本公式与基本定理

12微积分基本公式微积分基本定理13不定积分主要内容12微积分基本公式微积分基本定理13不定积分主要内容12微积分基本公式微积分基本定理13不定积分主要内容2 微积分基本定理],[b a C f ∈)())((x f dt t f xa ='⎰定理2（微积分学第一基本定理）设,则],,[b a C f ∈f ],[b a 推论1设则在上必有原函数.⎰-=Φ220)(x t dt e x )(x Φ',sin )(023dt t x F x e ⎰=).(x F '例2 1）设，求2）设求⎰-=Φ220)(x t dte x 解1）dt e u g u t ⎰-=02)(2)(x x u ==ϕ与的复合=Φ')(x )()(x u g ϕ'')2(2x e u -=42x xe -=dt t x F x e ⎰=023sin )(2）=')(x F ⎰-=x e dtt 302sin )3(sin 36x x e e -x x e e 63sin 3-=)sin (22'⎰dt t x e x )sin sin (02022'+=⎰⎰dt t dt t x e x xx e e x x 24sin sin 2-=12微积分基本公式微积分基本定理13不定积分主要内容)(x f I Cx F +)(3 不定积分在区间上所有原函数的定义2（不定积分）一般表达式⎰='))((dx x f ⎰=dx x f d )(⎰='dx x f )(⎰=)(x df 性质1性质2=±⎰dx x g x f )]()([)(x f dxx f )(C x f +)(C x f +)(⎰⎰±dxx g dx x f )()(=⎰dx x f )(=⎰dx x kf )(⎰dxx f k )(。

微积分的基本介绍

微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。

因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。

就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。

这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

高中数学《微积分》常用公式-微积分的牛顿-莱布尼茨公式

高中数学《微积分》常用公式-微积分的
牛顿-莱布尼茨公式
微积分是数学中的一个重要分支，它通过研究函数的变化率来分析和研究问题。

在微积分中，牛顿-莱布尼茨公式是一个常用的公式，它是微积分的基础之一。

1. 牛顿-莱布尼茨公式的定义
牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理，它是将微分与积分联系起来的公式。

它的数学表达式如下所示：
$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
其中，$\int_a^b f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

2. 牛顿-莱布尼茨公式的意义
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于它建立了微积分中积分和微分的联系。

通过该公式，我们可以通过求函数的原函数来计算函数在某个区间上的积分，或者通过求函数的导数来计算函数在某个点的变化率。

3. 牛顿-莱布尼茨公式的应用
牛顿-莱布尼茨公式在微积分中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：
- 计算曲线下面的面积：通过积分，我们可以计算出曲线在某个区间上的面积；
- 求函数的平均值：通过对函数在某个区间上的积分除以区间的长度，我们可以求得函数在该区间上的平均值；
- 解决微分方程：通过对微分方程两边同时积分，我们可以求得微分方程的解。

结论
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将微分和积分联系在一起，帮助我们解决了许多数学和物理上的问题。

在学习微积分的过程中，掌握并理解牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用是非常重要的。

微积分基本定理(17)

微积分基本定理（2）一、【教学目标】重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数．能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分.教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主.二、【知识梳理】1. 定积分定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121-=<<<<<<<=i i n a x x x x x x b ，将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每一个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)ξ=i i n ，作和1()()ξξ=-∆=∑ni i ii b af x f n，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即1()lim ()nb ai n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰，这里a 、b 分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.()baA f x dx =⎰ =-⎰()baA f x dx 21[()()]b aA f x f x dx =-⎰2121=-=-⎰⎰⎰()()[()()]bbaabaA f x dx f x dx f x f x dx如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx -⎰表示由直线,x a x b==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号． 3.定积分性质（1）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰；（2）1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()()c b b ac a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰4.微积分基本定理；一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰.把()()F b F a -记成()ba F x ，即()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰.微积分基本定理表明，计算定积分()baf x dx ⎰的关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出()F x .特别强调：①原函数F （x ）不唯一，它们差一个常数.②微积分基本定理的作用是：建立了积分与导数间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法．5.常见基本函数的定积分:①b ba a(cx)c cdx cx |'=→=⎰ ②bn n 1n n 1ba a1(x )nx x dx x |n 1-+'=→=+⎰ ③bb a a(sin x)cos x cos xdx sin x |'=→=⎰ ④bba a(cos x)sin x sin xdx cos x |'=-→=-⎰⑤b b a a 11(ln x)dx ln x |(x 0)x x '=→=>⎰ ⑥a 1(log x)x ln a'=⑦x (e )'=xe →bxx baae dx e |=⎰⑧x bx xxba aa (a )a ln a a dx |ln a'=→=⎰【设计意图】核心知识网络化，题目千变万化，都围绕这些知识点,知识点为习题作理论指导.三、【范例导航】题型一直接应用微积分基本定理求定积分值例1. 计算下列定积分（1）32(sin cos )π⎰x x dx （2）ln 2(1)+⎰x xe e dx （3）12121xlgdx 1x-+-⎰【分析】(1)（2）是复合函数的积分，先化简，再求积分，准确找到原函数．（3）利用函数性质及定积分的几何意义求积分.【解答】（1）∵431(sin x)sin x cos x 4'=，∴320(sin cos )π⎰x x dx =44421111(sin x)|sin cos x sin 044244ππ=-=. （2）x x x 2x x 2x x 2x 1e (1e )e e ,(e e )e e 2'+=++=+，∴ln 2(1)+⎰x x e e dx =ln 220()+⎰x x e e dx=x2x ln 2ln 22ln 2000111(e e )|e e e e 222+=+--=115241222+⨯--= (3)记1xf (x)lg1x +=-,定义域为（-1，1），因为11x 1x f (x)lg lg()f (x)1x 1x--+-===-+-所以f (x)为奇函数,故12121xlgdx 1x-+-⎰=0. 【点评】求定积分应该注意的几点：（1）对被积函数不易求出F(x)时，要先化简，再求积分.（2）要注意复合函数求导法则的逆应用，要“见影想形”,由f (x)推测F(x)，再加以验证. （3）利用函数的奇偶性，奇函数的积分为零，偶函数的定积分是半个区间上的二倍. 变式训练：计算下列定积分（1）20cos 2cos sin xdx x xπ+⎰. （2）333x )dx -⎰答案：（1）2 (2)92π【设计意图】(1)是让学生学会先化简再积分;（2）是利用定积分的几何意义求积分.题型二借助函数图象求分段函数的定积分值例2.已知函数()sin ,02()1,221,24x x f x x x x ππ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≤≤⎪⎩，，，先画出函数图象,再求这个函数在[]0,4上的定积分.【分析】被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. 【解答】42420222242022()sin 1(1)1(cos )||()|21(2)(40)7.22f x dx xdx dx x dxx x x x ππππππ=++-=-++-=+-+-=-⎰⎰⎰⎰【点评】(1)分段函数在区间[],a b 的定积分可分成n 段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行.(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解. 变式训练：1．设(),xf x e =求42()f x dx -⎰. 答案：422e e +-.2. 34|2|x dx -+⎰答案：2923．(4|1||3|)-+-⎰x x dx 答案：10【设计意图】求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分.题型三综合应用——利用定积分求参数已知[](]22x 1,x 2,2,f (x)1x ,x 2,4,⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩,求使3k 40f (x)dx 3=⎰恒成立的k 值. 【分析】注意隐含条件积分下限小于积分上限，k<3,分类讨论k (2,3)∈时，或k [2,2)∈-问题. 例3.【解答】(1)当k (2,3)∈时,33233k k k1f (x)dx (1x )dx (x x )|3=+=+⎰⎰ =331140(33)(k k )333+⨯-+=∴3k 3k 40++=,解得k=-1,但k (2,3)∈,∴k=-1(舍去).(2) k [2,2)∈-时，3232kk2f (x)dx (2x 1)dx (1x )dx =+++⎰⎰⎰=2233k 21(x x)|(x x )|3+++=223311(22)(k k)(33)(22)33+-+++⨯-+⨯=24040(k k)33-+=∴2k k 0+=,解得k 0,k 1==-或, 综上所述，k 0,k 1==-或.【点评】利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限. 【变式训练】已知f (x)是二次函数，其图象过点(1,0),且1f (0)2,f (x)dx 0,f (x)'==⎰求的解析式.【答案】231f (x)x 2x 22=-+- 四、【解法小结】1.求定积分的一些常用技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. (4)利用函数的奇偶性求定积分2. 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．五、【布置作业】必做题：1.计算下列定积分（1）22xe dx ⎰（2）2sin 2xdx π⎰（3）2212x x 1dx x ++⎰ （4）41(2⎰x dx . 2.计算定积分（1）20sin x dx π⎰（2）221--⎰x x dx .3.求函数1220()(2)=-⎰f a axa x dx ，求f (a)的最大值.必做题答案：1.（1）22e -（2）24π- （3）4+ln2 （4）142ln 2-2.（1）4 （2）1163.29【设计意图】培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，查漏补缺. 选做题：1.求定积分（1）（2）x(sin t cos t sin t)dt,y .+⎰求的最大值2.已知函数()(124)-=+⎰xaf x t a dt ，120()[()3]=+⎰F a f x a dx ，求函数F(a)的最小值.选做题答案：1.（1）2（2）2 2. 1【设计意图】对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新.课外探究：计算由曲线22y x,y x ==所围图形的面积；总结解题步骤.【设计意图】让学生养成预习的好习惯.六、【教后反思】1.本教案的亮点是：一是对所学知识的宏观把握；二是例题选择有代表性，分别为分段函数、复合函数求定积分及定积分的综合应用；关注定积分的基础知识和利用定积分求封闭图形面积的一般思路与方法，三是讲解透彻，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，安排了必做题、选做题充分体现了分层作业，必做题对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：对一些具体问题处理的不够细致，例题的选择不够全面.。

微积分的基本定理

微积分的基本定理微积分是数学中非常重要的一个分支，它的基本定理是微积分学习的核心内容之一。

微积分的基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理，这两个定理在微积分的发展过程中起到了重要的作用。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最基本的定理之一。

它给出了积分和微分之间的关系。

根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是另一个函数f(x)的原函数，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b)减去F(a)，即∫[a, b]f(x)dx = F(b) -F(a)。

这个公式的推导过程相对简单，但它的意义却非常重大。

它将微积分中的两个基本运算——微分和积分联系了起来，为后续的微积分理论奠定了基础。

牛顿-莱布尼茨公式的推导过程可以通过微分和积分的定义来完成。

首先，我们可以通过微分的定义将函数f(x)在点x处的微分表示为df = f'(x)dx，其中f'(x)是f(x)的导数。

然后，我们可以通过积分的定义将函数f(x)在区间[a, b]上的定积分表示为∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σ(i=1 to n)f(xi)Δx，其中Σ(i=1 to n)f(xi)Δx是将区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，xi是每个小区间的中点。

接下来，我们可以将Σ(i=1 to n)f(xi)Δx表示为Σ(i=1 to n)f(xi)dx，其中dx是Δx的极限形式。

最后，我们可以将Σ(i=1 to n)f(xi)dx表示为F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。

因此，我们得到了牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的重要性体现在它将微积分中的两个基本运算联系了起来。

通过这个公式，我们可以通过求导来求解积分，或者通过积分来求解导数。

这为微积分的应用提供了很大的便利。

例如，在物理学中，我们经常需要求解速度、加速度等与时间相关的物理量，通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以将这些物理量与位移之间的关系表示为积分形式，从而更方便地进行计算。

微积分的基本定理

dx a
由 F(x)
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
F(x)是f(x)的一个原函数。
这说明，连续函数必有原函数。
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
2x x2 sint 2dt 2x3 sin x4 . 0
例 6.3.2 设f ( x)为连续函数，证明：
x
xt
0 ( x t) f (t)dt 0 (0 f (u)du)dt.
证
设F( x)
x
( x t) f (t)dt, G( x)
xt
( f (u)du)dt.
0
0

2 0 | cos x | d x
去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)

2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2

2sin
x
2 0

2sin x

2
2.
2
例6.3.6 设
x2, 1 x 0
f
(
x)

e

x
,
0 x1
求 1 f ( x)dx. 1
解
1 f ( x)dx
0
f ( x)dx
1

微积分基本公式16个

微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。

微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。

1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。

2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。

3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。

4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。

5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。

6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。

7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。

8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。

9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。

10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。

11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。

12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。

13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。

14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。

微积分基本定理

b a
又叫牛顿－莱布尼兹公式
记 F b F a F
b a

b
a
f x dx F |b a F b F a
例1 计算下列定积分:
11
解 1
2
1 dx; x
1 21 2 x 2 dx; x
3
关键找满足F' x f x
2

1 9 1 1 22 3
例2 计算下列定积分:

0
sin xdx,

2
sin xdx, sin xdx
0
2
解 (-cosx)=sinx

0
sin x dx cos x | 0 cos cos 0 2; y
ti tn-1 b(tn)
t
Si hi tanDPC t s' ti 1 t
S S( ti ) S=S( t )
D △Si hi
S( ti-1 )
P
△t
ti-1 ti
C
t
O
S Si hi vti 1 t s' ti 1 t
B
S=s(b)-s(a)
S
s=s(t)
A O
a
b
t
利用定积分
s
B
hn △Sn
ba t n
ba ti 1 ( t) Si hi vti 1 S t s' ti 1 s's=s n
△t很小时
hi
hi
△Si
A O
a(t0) t0
h1
h1 △S1

微积分17-微积分的基本公式

, , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f. d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰bax x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数. ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x xaxa∈==Φ⎰⎰一. 积分上限函数Oxya b x x)(x f yOxya b x x)(x f y =⎰xaxx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。

,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=abb ax x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=xbbxt t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数..d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1证. ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x b a R x f xa∈=Φ∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ⎰⎰⎰∆+∆+=-=xx xx axx att f t t f t t f d )(d )(d )(.|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x xx xx x x∆≤≤=∆Φ≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x x ∈Φ即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=Φ-∆+Φxx xt t f x x x 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x x x x x x∆==Φ-∆+Φ⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxxf x x x x x x ∆∆=∆Φ-∆+Φ→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么？定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa在则若⎰=Φ∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x xa≤≤==Φ'⎰例2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 222x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?例3解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=xxe xx2)sin(lim2cos--=→.21e=罗必达法则下面再看定理 2 .定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa 在则若⎰=Φ∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x x a≤≤==Φ'⎰定理],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x b a C x f x a∈=Φ∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f 即：而在前面已知原函数的一些性质：. )()())(( , )( x f x F C x F x F ='='+则存在若 .)()( ),()( ),()( 2121C x F x F x f x F x f x F =-='='则若 . d )( , )( ⎰ba x x f x F 就可以计算定积分若能找到这样的二. 微积分基本公式上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f x a ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x aa -=+===⎰故则令 , 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f ba b a -==⎰⎰基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 怎么办去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)。

莱布尼茨公式与导数的计算法则

莱布尼茨公式与导数的计算法则莱布尼茨公式是微积分中的一条基本定理，它是由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出的。

这个公式在计算导数以及求解一些特定问题时非常有效。

下面我将详细介绍莱布尼茨公式以及与导数相关的计算法则。

1. 莱布尼茨公式莱布尼茨公式可以用来计算一个函数的高阶导数。

它的表达形式如下：d^n(uv)/(dx^n) = Σ(n!/(k!(n-k)!)) * du/dx^k * dv/dx^(n-k)在上述公式中，n表示要求的导数阶数，u和v分别是关于自变量x的两个函数，du/dx表示u关于x的导数，dv/dx表示v关于x的导数。

Σ是求和符号，范围从k=0到n。

莱布尼茨公式的应用广泛，可以用于计算高阶导数，特别适用于需要多次求导的场景。

它提供了一种便捷的方法来计算复杂函数的导数，节约了计算时间和精力。

2. 导数的计算法则除了莱布尼茨公式，导数还有一些其他的计算法则，用于简化对函数导数的计算。

下面是几个常用的导数计算法则：a. 常数法则如果f(x)是常数，那么f'(x)等于0。

这是因为常数的导数始终为0，它的斜率没有改变。

b. 幂指数法则对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，f'(x) = n * x^(n-1)。

这个法则适用于求解幂函数的导数，可以通过简单的乘法和幂运算得到。

c. 求和和差法则对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)都可导，f'(x) = g'(x) ±h'(x)。

这个法则适用于对两个函数求和或差的情况，它允许我们按部就班地求解每个函数的导数，然后再通过相加或相减得到最终的导数。

d. 乘积法则对于函数f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)都可导，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。

这个法则使得我们能够通过分别求解每个函数的导数，并将结果相乘再相加来得到乘积函数的导数。